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25.3　用频率估计概率
●归纳导入　(1)我们知道，任意抛一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率是0.5，许多科学家曾做过成千上万次的试验，其中部分结果如下表：
试验者 抛掷次数n “正面向上”的次数m “正面向上”的频率
棣莫弗 2 048 1 061 0.518 1
布丰 4 040 2 048 0.506 9
费勒 10 000 4 979 0.497 9
皮尔逊 12 000 6 019 0.501 6
皮尔逊 24 000 12 012 0.500 5
　　观察上表，你发现了什么？
(2)两个同学一组多次抛硬币，计算出“正面向上”的频率；
(3)归纳：试验次数越多，频率越接近概率．
【教学与建议】教学：通过抛硬币试验的引入，体会频率与概率的关系．建议：让学生两个人合作抛硬币，记录并计算出频率．
●复习导入　通过前面知识的学习，请同学们回答下列问题：
(1)用列举法求概率的条件和方法是什么？
(2)列表法、画树状图法是不是列举法，它们在什么时候应用？
(3)当列举法不能求出某事件的概率时，还有没有其他的方法？
【教学与建议】教学：通过复习，使学生加深对列举法求概率的理解，同时产生探索其他方法求概率的兴趣．建议：问题3，教师可以直接点题．
命题角度1　频率与概率的关系
在做大量重复试验时，某事件发生的频率会稳定在概率值附近．
【例1】(1)在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算硬币正面朝上的概率，其试验次数分别为10，20，50，100次，其中试验相对科学的是(D)
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
(2)做重复试验：抛掷一枚啤酒瓶盖1 000次，经过统计得“凸面向上”的次数为420次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为(B)
A．0.22 B．0.42 C．0.50 D．0.58
命题角度2　频率估计概率的实际应用
理解和巩固利用频率估计概率的方法，灵活解决问题．
【例2】(1)为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞50条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞50条鱼，发现只有2条鱼是前面做了记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量为(A)
A．1 250条 B．1 750条 C．2 500条 D．5 000条
(2)含有4种花色的36张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一张记下花色后再原样放回，洗匀牌后再抽，不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为25%，那么其中扑克牌花色是红心的大约有__9__张．
(3)为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为4 m的正方形，使不规则区域落在正方形内．现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积约是__4__m2.
命题角度3　统计与概率在社会生活中的应用
让学生用数学知识和数学的思维方法去看待、分析、解决实际生活问题，加强应用统计与概率的意识．
【例3】某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种，为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表(数据分组包含左端值不包含右端值)：
教学方式 参与度
0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1
录播 4 16 12 8
直播 2 10 16 12
(1)你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由；
(2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？
(3)该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1∶3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？
解：(1)“直播”教学方式学生的参与度更高．理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数，所以“直播”教学方式学生的参与度更高；
(2)12÷40×100%＝30%.
答：估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%；
(3)“录播”总学生人数为800×＝200(人)，“直播”总学生人数为800×＝600(人)，所以“录播”参与度在0.4以下的学生数为200×＝20(人)，“直播”参与度在0.4以下的学生数为600×＝30(人)，所以参与度在0.4以下的学生共有20＋30＝50(人).
高效课堂　教学设计
1．学会根据问题的特点，用统计频率来估计事件发生的概率．
2．理解用频率估计概率的方法，渗透转化和估算的数学方法．
▲重点
对利用频率估计概率的理解和应用．
▲难点
比较用列举法求概率与用频率求概率的条件与方法．
◆活动1　新课导入
1．举例说明什么是确定事件，什么是不确定事件．
答：确定事件：太阳从东方升起．不确定事件：打开电视正在直播足球比赛．
2．什么是概率？
答：在一定条件下，重复做n次试验，m为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率逐渐稳定在某一数值p附近，那么数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记作P(A)＝p.
3．抛掷一枚硬币，落定后，正面朝上的概率是多少？你是怎样求出来的？
答：概率是0.5.
4．当试验的所有结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，该如何求事件发生的概率呢？
答：在相同的条件下，通过大量的重复试验，可以用这个事件发生的稳定的频率值作为这个事件发生的概率的估计值．
◆活动2　探究新知
1．教材P142～145.
提出问题：
(1)试验：把全班同学分成8组，每名同学掷一枚硬币10次，每组统计正面向上的总次数，并记录在表格中：
抛掷次数n “正面向上”的频数m “正面向上”的频率
80
160
240
320
400
480
560
640
　　(2)由上表发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面朝上”的频率在__0.5__左右摆动；
(3)随着抛掷次数的增加，一般地，频率呈现出一定的稳定性，在0.5左右摆动的幅度会越来越__小__．这时，我们称“正面向上”的频率稳定于__0.5__．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的__频率__稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率P(A)＝__p__．(注意：用频率估计概率的条件是大量重复试验)
◆活动4　例题与练习
例1　一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近__0.6__；
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是__0.6__，摸到黑球的概率是__0.4__；
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？
解：白球：20×0.6＝12(个)，黑球：20×0.4＝8(个).
练习
1．教材P147　习题25.3第1，2题．
2．小华练习射击，共射击600次，其中380次击中靶子，由此估计小华射击一次击中靶子的概率是(　C　)
　A．38% B．60% C．63% D．无法确定
3．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则布袋中红色球可能有(　B　)
　A．4个 B．6个 C．34个 D．36个
◆活动5　课堂小结
频率与概率的关系：
区别：①频率反映事件发生的频繁程度；概率反映事件发生的可能性大小；②频率是不能脱离具体的n次试验的结果，具有随机性；概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值．
联系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
1．作业布置
(1)教材P147～148　习题25.3第3，4，5题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
　　　

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