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22.1.3　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
●情景导入　许多桥梁都采用抛物线形设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘制成如图所示的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y轴对称．经过测算，中间抛物线的函数解析式为y＝－x2＋10.
你能计算出中间抛物线的最高点离桥面的高度吗？
【教学与建议】教学：通过对抛物线实际问题的导入，增加对抛物线y＝ax2＋k(a≠0)初步的了解和认识．建议：引导学生观察并分析二次函数的图象．
●复习导入　(1)二次函数y＝2x2的图象是__抛物线__，它的开口向__上__，顶点坐标是__(0，0)__，对称轴是__y轴__，在对称轴的左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__增大__，二次函数y＝2x2在x＝__0__时，取得最__小__值，其最__小__值是__0__．
(2)在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2和y＝2x2＋2的图象.
先让学生回顾画二次函数图象的步骤，列表、描点、连线，再画出二次函数y＝2x2和y＝2x2＋2的图象．
①列表：教师给出表格，学生填表．
x … －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 …
y＝2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y＝2x2＋2 … 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 …
　　②描点：用表格中的各组对应值作为点的坐标，进行描点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数y＝2x2和y＝2x2＋2的图象．
【教学与建议】教学：通过问题(1)的设置，对二次函数y＝2x2的图象与性质进行回顾，加强新旧知识之间的联系．建议：通过问题(2)的设置，根据二次函数y＝ax2(a≠0)的学习方法，类比学习新知识二次函数y＝ax2＋k的图象和性质．
命题角度1　抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的图象和性质
抛物线y＝ax2＋k的对称轴、开口方向和大小、顶点坐标、函数的增减性、最值等．
【例1】(1)抛物线y＝x2＋1的图象大致是(C)
(2)对于二次函数y＝－2x2＋3的图象，下列说法中不正确的是(B)
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝－3
C．顶点坐标为(0，3) D．x＞0时，y随x的增大而减小
(3)抛物线y＝x2＋1的最小值是__1__．
命题角度2　二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象的平移规律
当k>0时，将抛物线y＝ax2向上平移k个单位长度后，得到抛物线y＝ax2＋k；当k<0时，将抛物线y＝ax2向下平移|k|个单位长度后，得到抛物线y＝ax2＋k.
【例2】(1)把抛物线y＝－2x2向上平移1个单位长度，得到的抛物线是(C)
A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x－1)2
C．y＝－2x2＋1 D．y＝－2x2－1
(2)将二次函数y＝x2＋3的图象向下平移4个单位长度后，得到的图象所对应的函数解析式是__y＝x2－1__．
命题角度3　二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的实际应用
解决抛物线形问题，一般是先建立平面直角坐标系，把已知条件转化为点的坐标，从而求出二次函数的解析式．
【例3】
小迪同学以二次函数y＝2x2＋8的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE＝__11__．
高效课堂　教学设计
1．能画出二次函数y＝ax2＋k的图象．
2．掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的图象之间的联系．
3．掌握二次函数y＝ax2＋k的图象及其性质．
▲重点
1．二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的图象之间的联系．
2．二次函数y＝ax2＋k的图象及其性质．
▲难点
二次函数y＝ax2＋k的性质的基本应用．
◆活动1　新课导入
1．画函数图象利用描点法，其步骤为__列表__、__描点__、__连线__．
2．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条__抛物线__，当a>0时，它的开口向__上__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__增大__；当x＝__0__时，y取最__小__值．当a<0时又会有什么变化呢？
◆活动2　探究新知
教材P32　例2.
提出问题：
(1)观察图22.1－6，图中红色、蓝色抛物线分别是哪一个函数的图象？中间黑色虚线抛物线又是哪一个函数的图象？
(2)学生们观察图象，回答：
①抛物线y＝2x2＋1与y＝2x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？
②抛物线y＝2x2＋1，y＝2x2－1与抛物线y＝2x2有什么位置关系？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k的区别和联系：
函数解析式 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性
y＝ax2 (a≠0) (0，0) y轴 当a＞0时，抛物线开口向__上__；当a＜0时，抛物线开口向__下__． 当a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴右侧，y随x的增大而__增大__；当a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而__增大__，在对称轴右侧，y随x的增大而__减小__．
y＝ax2＋k (a≠0) (0，k)
　　2.二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2的图象向上或向下平移__|k|__个单位长度得到．当k＞0时，抛物线y＝ax2向__上__平移__k__个单位长度得到抛物线y＝ax2＋k；当k＜0时，抛物线y＝ax2向__下__平移__－k__个单位长度得到抛物线y＝ax2＋k.
◆活动4　例题与练习
例1　指出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值．
(1)y＝－x2＋4；(2)y＝2x2－3.
解：(1)y＝－x2＋4的图象开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为(0，4)，当x＝0时，有最大值y＝4；
(2)y＝2x2－3的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0，－3)，当 x＝0时，有最小值y＝－3.
例2　直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数解析式：
(1)经过点(－3，2)；
(2)与y＝x2的开口大小相同，方向相反；
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.
解：(1)y＝x2－1；(2)y＝－x2－1；(3)y＝－x2－1.
例3　能否适当地上下平移抛物线y＝x2，使得到的新图象经过点(5，－2)？若能，请你求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
解：设平移y＝x2的图象后经过点(5，－2)的图象的函数解析式为y＝x2＋k，则有－2＝×52＋k，解得k＝－7，故经过点(5，－2)的函数解析式为 y＝x2－7，即把抛物线y＝x2向下平移7个单位长度．
练习
1．教材P33　练习．
2．对于二次函数y＝－x2＋3，下列说法中错误的是(　B　)
A．最大值为3
B．图象与y轴没有交点
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．其图象关于y轴对称
3．已知抛物线y＝4x2＋2上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是(　C　)
　A．y1＜y2　　　B．y1＝y2　　　C．y1＞y2　　　D．无法确定
4．抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位长度得到抛物线y＝－3x2＋2，则a＝__－3__，c＝__4__．
◆活动5　课堂小结
1．二次函数y＝ax2＋k的图象和性质．
2．二次函数y＝ax2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象之间的关系．
1．作业布置
(1)教材P41　习题22.1第5题(1)；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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