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22.1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第1课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
●情景导入　多媒体演示：桥梁的两根钢缆的实物情景，如图所示．
若桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，右侧抛物线的函数解析式为y＝0.03x2－0.9x＋10，你能求出钢缆最低点到桥面的距离吗？
【教学与建议】教学：通过桥梁的钢缆呈抛物线形的实际问题的导入，增加对抛物线y＝ax2＋bx＋c初步的了解和认识．建议：为了研究y＝0.03x2－0.9x＋10这一类函数的图象，可以在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－6x＋21的图象．
●置疑导入　(1)你能说出函数y＝－2(x－1)2＋2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
(2)函数y＝－2(x－1)2＋2的图象与函数y＝－2x2的图象有什么关系？
(3)函数y＝－2(x－1)2＋2具有哪些性质？
(4)不画出图象，你能直接说出函数y＝x2－6x＋21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
(5)你能画出函数y＝x2－6x＋21的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？
【教学与建议】教学：讲解函数图象之间的关系，把二次函数的一般式转化为顶点式，通过顶点式研究一般式的二次函数的图象和性质．建议：引导学生将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c化为顶点式y＝a(x－h)2＋k.
命题角度1　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象及其性质
考查抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的增减性及最值等．
【例1】(1)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(－1，0)和B(3，0)，顶点坐标是(1，－2)，观察图象回答下列问题：
①AB＝__4__；
②当x＝__1__时，y的值最小，最小值是__－2__；
③当x＜__－1__或x＞__3__时，y＞0；
④当x__＜1__时，y随x的增大而减小．
(2)点A(2，y1)，B(3，y2)是二次函数y＝x2－2x＋1的图象上两点，则y1与y2大小关系为y1__＜__y2.(选填“＞”“＜”或“＝”)
(3)抛物线y＝－x2＋6x－5的对称轴是__x＝3__．
命题角度2　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的平移
一般要把二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式，再根据抛物线的平移规律解题．
【例2】(1)将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的函数解析式为(D)
A.y＝(x－8)2＋5 B．y＝(x－4)2＋5
C.y＝(x－8)2＋3 D．y＝(x－4)2＋3
(2)抛物线y＝ax2＋bx＋c向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a(x－3)2－1，且平移后的抛物线经过点A(2，1)，平移后的抛物线是__y＝2(x－3)2－1__．
命题角度3　二次函数与其图象上的点的关系
借助二次函数图象上的某特殊点(比如x取0，1，－1，2，－2等)满足函数解析式来解决．
【例3】(1)已知二次函数y＝x2＋bx＋c，若－b＋c＝0，则它的图象一定经过点(C)
A.(－1，－1) B．(1，－1) C．(－1，1) D．(1，1)
(2)已知二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则代数式1－a－b的值为(B)
A.－3 B．－1 C．2 D．5
(3)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)，(0，2)，且顶点在第一象限，设M＝4a＋2b＋c，则M的取值范围是__－6＜M＜6__．
命题角度4　利用抛物线的对称性解题
利用抛物线的对称性可以求对称点的坐标，判断增减性或利用增减性求字母系数的取值范围，求抛物线的函数解析式等．
【例4】已知二次函数y＝x2＋bx＋c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x … －1 1 2 4 5 …
y … m 1 p n m …
　　则m与n的大小关系正确的是(A)
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
命题角度5　a，b，c的符号与抛物线y＝ax2＋bx＋c的关系
①a的符号决定抛物线开口方向；②a，b的符号共同决定对称轴的位置；③c的符号决定抛物线与y轴交点的位置．
【例5】(1)在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝bx2＋a的大致图象可以是(D)
(2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，有下列4个结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③a＋＋＞0；④6a－b＋c＞0.其中正确的结论有__①③__．(填序号)
高效课堂　教学设计
1．会用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2．掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．
▲重点
用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质解决简单问题．
▲难点
通过配方将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并得到其性质．
◆活动1　新课导入
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及其性质吗？
解：开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，1)，在对称轴右侧y随x的增大而减小，在对称轴左侧y随x的增大而增大．当x＝2时，有最大值1.
2．函数y＝－4(x－2)2＋1的图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系？
解：函数y＝－4(x－2)2＋1的图象是由函数y＝－4x2的图象向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的．
◆活动2　探究新知
1．教材P37　思考．
提出问题：
(1)把二次函数y＝x2－6x＋21化成y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)写出二次函数y＝x2－6x＋21的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)画出y＝x2－6x＋21的图象；
(4)观察图象，回答：
①抛物线y＝x2如何平移得到抛物线y＝x2－6x＋21
②二次函数y＝x2－6x＋21的y随x的增减性如何？
学生完成并交流展示．
2．不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋2x－3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
提出问题：
(1)你能用上面的方法讨论二次函数y＝－x2＋2x－3的图象和性质吗？
(2)思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？
(3)你能由此总结归纳出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．如何画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象？一般地，先用配方法求抛物线的顶点坐标：y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋，则抛物线的对称轴为__x＝－__，顶点坐标为__(－，)__．
2．思考并完成下表：
函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
开口方向 a＞0，开口__向上__ a＜0，开口__向下__
对称轴 __x＝－__
顶点坐标 __(－，)__
最大(小)值 当x＝－时， y最小值＝____ 当x＝－时， y最大值＝____
增减性 当x＜－时，y随x的增大而__减小__；x＞－时，y随x的增大而__增大__ x＜－时，y随x的增大而__增大__；x＞－时，y随x的增大而__减小__
◆活动4　例题与练习
例1　求二次函数y＝－x2＋x－的顶点坐标及对称轴．
解：顶点坐标为(1，－2)，对称轴为x＝1.
例2　把抛物线y＝ax2＋bx＋c向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到抛物线y＝－x2，求原来的抛物线的解析式.
解：抛物线y＝－x2先向上平移6个单位长度，得到抛物线y＝－x2＋6，再将抛物线y＝－x2＋6向左平移4个单位长度，得到抛物线y＝－(x＋4)2＋6，即y＝－x2－4x－2.
练习
1．教材P39　练习．
2．已知二次函数y＝2x2－mx＋8，当x＜－3时，y随x的增大而减小；当x＞－3时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为__22__.
◆活动5　课堂小结
1．形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：
(1)当二次函数y＝ax2＋bx＋c容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程；
(2)当a，b，c比较复杂时，可直接用公式来确定：
抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－，顶点坐标为(－，).
2．解决二次函数y＝ax2＋bx＋c的平移问题时，应先将它化为y＝a(x－h)2＋k形式后进行．
1．作业布置
(1)教材P41　习题22.1第6，7题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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