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4.1 因式分解
教学内容 4.1 因式分解 课时 1
核心素养目标 经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法. 经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观. 了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系. 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
知识目标 1.了解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解. 2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.
教学重点 了解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.
教学难点 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 教师活动：教师提出问题，学生思考并回答. 问题：993 - 99能被100整除吗 你是怎样想的呢？ 学生尝试计算，交流讨论，最后教师用课件出示 小明的方法： 993 - 99 = 99×992 - 99×1 =99×(992 - 1) =99×9800 =98×99×100 所以993 -99能被100整除 追问：我们一起来看看小明是怎样计算的？ 预设答案：小明是先提出了一个公因数99，然后再计算. 【思考】说一说，小明的方法的基本思想. 预设答案：先将993 -99（算式）变形为98×99×100 （几个数的乘积形式），变形后的式子就很直观的看到是100的倍数，所以肯定能被100整除. 追问：还能被哪些正整数整除？ 预设答案1：还能被98、99整除. 预设答案2：因为98=1×98=2×49=7×14，所以993 -99还能被1、2、7、14、49整除. 预设答案3：因为99=1×99=3×33=9×11，所以993-99还能被3、9、11、33、整除. 小组合作，探究概念和性质 知识点一：全等三角形的判定和性质 教师活动：通过类比数式的分解，对多项式进行分解，从而引出因式分解的概念. 议一议 你能尝试把 a3 - a 化成几个整式的乘积的形式吗 与同伴交流. 师生活动： 教师提示：类比 993 - 99 的因数分解 学生尝试分解，并交流反馈，得 a3 - a = a(a2 - 1) = a(a + 1)(a - 1) 做一做 观察下面拼图过程，写出相应的关系式. 问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？ 联系：等号左右两边是同一多项式的不同表现形式. 区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？ 师生活动：教师引导学生观察上列等式与图片，然后讨论问题1，在做问题2时引出总结： 归纳总结： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式. 其中，每个整式都叫做这个多项式的因式. 辩一辩 判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解： A. x(a﹣b) = ax﹣bx （ × ） B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2 （ × ） C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1) （ √ ） D. ax + by + c = x(a + b) + c （ × ） E. 2a3b = a2 2ab （ × ） F. (x + 3)(x﹣3) = x2﹣9 （ × ） 师生活动：学生举手回答问题. 做一做 计算下列各式： (1) 3x(x - 1) = 3x2 - 3x (2) m(a+b - 1) = ma+mb - m (3) (m+4)(m - 4) = ____m2 - 16 (4) (y - 3)2 = _____ y2 - 6y+9 根据左边的算式进行因式分解： (1) 3x2 - 3x = ( 3x )( x - 1 ) (2) ma+mb-m = ( m )( a+b - 1 ) (3) m2 - 16 = ( m+4 )( m - 4 ) (4) y2 - 6y+9 = ( y - 3 )( y - 3 ) 或 (y - 3)2 师生活动：按照左边右边是什么形式，自由的说一说. 知识点二：因式分解与整式乘法的关系 想一想： 由 a(a + 1)(a - 1) 得到a3 - a的变形是什么运算？ 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同？ 答：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是整式乘法，由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与上面的变形互为逆过程. 想一想：因式分解与整式乘法有什么关系 师生活动：教师提出问题，学生小组交流探讨，小组代表发言，教师适时引导并整理板书. 是互为相反的变形，即 x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) 因式分解等式的特征： 左边是多项式，右边是几个整式的乘积. 典例精析： 例 若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为a(x﹣2)(x + 3)，求 a，b 的值. 师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 解：∵ x2 + ax + b = a(x - 2)(x + 3)= ax2 + ax - 6a， ∴ a = 1，b = -6a = -6. 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可. 当堂练习，巩固所学 1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 ( ) A. a(a + b - 1) = a2 + ab -a B. a2 - a - 2 = a(a - 1) - 2 C. - 4a2 + 9b2 = ( - 2a + 3b)(2a + 3b) D. 2x + 1 = x(2 + ) 2. 把多项式 x2 + 4mx + 5 因式分解得 (x + 5)(x + n)，则 m + n 的值为 　 ． 3. 20242 + 2024 能被 2025 整除吗 4. 若多项式 x4 + mx3 + nx - 16 含有因式 (x - 2) 和 (x - 1)， 求 mn 的值. 5. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 (x + 2)(x + 4)；乙看错了 a，分解结果为 (x + 1)(x + 9)，求 a + b 的值. 设计意图：通过把一个数式分解成几个数的积的形式，从而为下面类比993 - 99的因数分解引出 a3 - a 的因式分解做好铺垫. 设计意图：通过类比993 - 99将多项式a3 - a 进行分解，经历由因数分解到因式分解的类比过程，感受因式分解的形式，发展学生的符号意识. 设计意图：以拼图前后面积不变的方式，丰富学生对因式分解的理解，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，有助于发展学生的几何直观，对学生的思维发展具有实际价值.学生通过观察，给出填空的答案，可能有不同的形式，只要合理都应给予鼓励，要注意的是，这里拼图前后的数量关系主要指向面积，教师要适当引导. 上面“议一议”环节关注的是如何类比，而本环节关注的是代数思维与几何思维的互相促进，以几何直观来解释因式分解的意义，从另一个角度理解因式分解， 设计意图：明确因式分解的概念. 设计意图：通过这组练习，可以渗透整式乘法与因式分解的关系，感受因式分解是否正确可以用整式乘法来检验. 设计意图：体会因式分解与整式乘法的互逆变形的联系，为因式分解提供检验方法. 设计意图：通过例题的解答，既检测了学生对因式分解概念的掌握程度，又让学生感受到应用所学知识解决问题的乐趣！ 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 需要注意的是，因式分解是整式范畴的概念，因此诸如 2 + 这样的代数式变形不能称之为因式分解，但可以认为是因式分解在代数式变形中的拓广应用.
板书设计 4.1 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式. x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) 因式分解等式的特征： 左边是多项式，右边是几个整式的乘积.
课后小结
教学反思 因式分解是北师大版八年级下册第四草第一节的内容. 本章的学习是后续学习分式和分式方程的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用，有着重要的地位和作用. 在学习本章之前学生已经学习了整式乘法，因式分解是整式乘法的互逆恒等变形. 通过本节课的学习有助于学生提高对这两者之间联系的认识. 本节课学习中所使用的类比分析问题和数形结合分析问题的方法，是数学学习中常用的数学思想方法. 因此，通过本节课的学习可以进一步发展学生的这些能力. 在学习本章之前，学生已经学习了因数分解和整式乘法. 但是通过对学生预习情况的调查，学生对于构造乘法对加减法分配律的逆运算形式存在问题，对于恒等变形缺乏认识.

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