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4.3 公式法
第1课时 平方差公式
教学内容 第1课时 平方差公式 课时 1
核心素养目标 经历通过整式乘法公式(a + b)(a b) = a2 - b2，的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力. 探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想. 3. 通过对运用平方差公式进行因式分解的探究学习，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.
知识目标 1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点； 2.掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式.
教学重点 理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点.
教学难点 掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 如图，在边长为 x (x＞5) 米的正方形上剪掉一个边长为 5 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？ x2 - 52 = (x + 5)(x - 5) 同理，根据此图形变换，你能得到什么公式？ 9x2 - y2 = (3x + 5)(3x - y) 师生活动：学生举手回答问题. 小组合作，探究概念和性质 知识点一：用平方差公式进行因式分解 观察下面两个等式，它们有什么共同特征 预设1：是两数的平方差的形式. 想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 师生活动：学生独立思考并回答问题，教师顺势引出本课知识点的探究. 定义总结： 将乘法公式 (a + b)(a b) = a2 - b2 反过来，就得到运用平方差公式因式分解 运算法则：a2 - b2 = (a + b)(a b) 文字说明：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 辨一辨 下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？ x2 + y2 × (2) x2 y2 √ x2 y2 × (4) x2 + y2 √ (5) x2 25y2 √ (6) 9m2 1 √ 师生活动：学生独立思考并作答，教师放映正确答案并引导学生总结：符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成 ( )2 - ( )2 的形式. 典例精析 例1 把下列各式因式分解： (1) 25－16x2； (2) 9a2－ b2. 解：(1) 原式＝52－(4x)2＝(5＋4x)(5－4x) (2) 原式＝(3a)2－ (b)2 ＝ (3a +b )(3a－b ) 例2 分解因式： (1) 9(m＋n)2－(m－n)2； (2) (a＋b)2－4a2. 解：(1) 原式＝(3m＋3n)2－(m－n)2 ＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． (2) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). 师生活动：学生独立完成计算，学生代表发言. 教师适时提示学生：检查是否还有能继续分解的因式，若有，继续分解. 先提公因式，再套用公式分解. 方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 例3 把下列各式因式分解： (1) 2x3－8x； (2) a3b－ab. 师生活动：学生独立完成计算，学生代表板书. 解：(1) 原式＝2x(x2－4) ＝2x( x + 2 )( x－2) (2) 原式＝ab(a2－1)＝ab(a + 1)(a－1). 练一练 1.把下列各式分解因式： (1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b. 师生活动：学生独立完成计算，学生代表板书. 解：(1)原式 ＝ 5m2(a4－b4) ＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2) ＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b). (2)原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b) ＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) ＝ (a＋2b)(a－2b－1). 2.已知 x2－y2＝－2，x＋y＝1，求 x－y，x，y 的值. 师生活动：学生独立完成计算，学生代表发言，教师引导并整理板书 解：∵x2－y2 ＝ (x＋y)(x－y)＝ －2， x＋y ＝ 1①， ∴ x－y ＝ －2②. 联立①②组成二元一次方程组， 解得 当堂练习，巩固所学 1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 (　　) A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9 2. 把下列各式分解因式： (1) 16a2－9b2 = _________________ ； (2) (a + b)2－(a－b)2 = _____； (3) 9xy3－36x3y =_________________； (4) －a4 + 16 =_________________ . 3. 已知 4m + n = 40，2m－3n = 5，求(m + 2n)2－(3m－n)2的值． 4. 如图，在边长为 6.8 cm 正方形钢板上，挖去 4 个边长为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积． 5. (1) 992－1 能被 100 整除吗？ (2) n为整数，(2n + 1)2－25 能否被 4 整除？ 设计意图：让学生借助已有的几何知识抽象问题中的数量关系，与前面学习的整式的乘法几何解释相结合，从而激发对本节知识的学习兴趣. 设计意图：这是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆向变形得到进行因式分解的方法，让学生进一步感受整式乘法与因式分解是互为逆变形的关系， 设计意图：先从观察多 项式x2 - 52，9x2 - y2人手， 体验这些多项式所具有的 平方差的特征，再对比乘法公式，得到因式分解的平方差公式 a2 - b2 = (a + b)(a b).在这一过程中让学生再次感受因式分解与整式乘法的关系. 设计意图：让学生充分交流，加深对这种方法的理解，用平方差公式因式分解的关键在于学生能否正确地把多项式看成两个数或式的平方差. 设计意图：通过例1、例2由简单到复杂地学习运用平方差公式进行因式分解的方法. 设计意图：进一步让学生理解平方差公式中的字母a, b不仅可以表示具体的数，而且可以表示其他代数式，如一个单项式或一个多项式等，在这里，平方差公式中的字母a，b都表示一个二项式. 这个多项式是两个二项式的平方差，分解后的两个因式往往需要进行去括号、合并同类项等化简整理的过程. 设计意图：引导学生体会因式分解的基本步骤：多项式中若含有公因式，就要先提出公因式；然后再进一步分解，直至不能再分解为止. 设计意图：加强学生对平方差公式分解因式和提公因式法的结合. 设计意图：加强学生对平方差公式分解因式和二元一次方程的结合. 设计意图：考查学生对平方差公式分解因式的运用. 设计意图：考查学生对平方差公式分解因式的实际运用.
板书设计 4.3.1平方差公式 运用平方差公式因式分解 运算法则：a2 - b2 = (a + b)(a b) 文字说明：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
课后小结
教学反思 运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征. 分析多项式的次数和项数，然后再确定公式. 如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底.

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