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6.4 多边形的内角和与外角和
教学内容 6.4 多边形的内角和与外角和 课时 1
核心素养目标 1.经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，进一步发展合情推理能力. 2.掌握多边形的内角和与外角和公式，进一步发展演绎推理能力.
知识目标 能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式； 2. 学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
教学重点 能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.
教学难点 学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
教学准备 课件、剪刀
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 问题1 上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗 与同伴交流， 小组合作，探究概念和性质 知识点一：多边形的内角和 问题2：小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和，你知道他们是怎样做的吗 师生活动：学生观察图形并思考，选择两名学生回答，其他同学判断正误. 追问：你能总结小明和小亮的求解方法吗？ 预设1：小明直接将五边形的五个内角分割在3个三角形中. 预设2：小亮则是分割成5个三角形，其中多了一个周角. 想一想： 按照 问题2 的方法一，六边形能分成多少个三角形 n 边形呢 你能确定 n 边形的内角和吗 师生活动：学生独立思考并作图，选一名学生板书，教师巡视. 完成六边形分割作图后，师生共同完成下表，教师引导学生总结规律. 总结归纳： 多边形的内角和公式 定理： n边形的内角和等于 (n - 2)×180° ( n 是大于或等于 3 的自然数). 师生活动：教师可以鼓励学生按照问题2的方法二再试一试，或用自己的分割方法获得多边形的内角和公式. 典例精析 例1：在四边形 ABCD 中，∠A +∠C = 180°，那么 ∠B 与 ∠D 有什么关系？ 师生活动：学生独立思考完成计算，学生代表板书： 教师顺势概括结论：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补. 想一想： 正三角形 (等边三角形) 、正四边形 (正方形) 、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度 师生活动：学生共同作答以上正多边形的内角和及内角，教师选一名学生说明他的求解过程. 预设：多边形内角和等于 (n - 2)×180°，正多边形每个内角都相等，所以等于正多边形内角和除内角个数. 教师引导学生思考 一个正n边形的一个内角是： . 议一议. 剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角 这个多边形的内角和是多少度 与同伴交流. 师生活动：学生可以用准备好的剪刀尝试操作，再小组交流，讨论后选派代表回答，教师引导学生总结归纳. 知识点一：多边形的外角和 如图 ，小刚沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步. 师生活动：教师播放课件，安排学生观察小刚的运动路径，再回答下列问题. (1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角 在图上标出这些角. 师生活动：学生独立思考，用铅笔再课本的配图上完成作图，教师巡视；对于有困难的学生，教师可以引导学生用箭头标明小刚的运动方向，在运动方向上作延长线，来得出所求角. (2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个 它们的和是多少 师生活动：教师引导学生分析解题思路——用数字一次标明角度，再利用平角和五边形内角和求出改变方向的角的和. 教师还可以让学生把各外角剪下来拼在一起，帮助学生理解此问题. 这里也可以让学生根据课本小刚的运算方法，说明小刚每一步的算理. 小刚是这样思考的，跑步方向改变的角分别是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5. ∵∠1 +∠EAB = 180°，∠2 +∠ABC = 180°， ∠3 +∠BCD = 180°，∠4 +∠CDE = 180°， ∠5 +∠DEA = 180°， ∴∠1 +∠EAB +∠2 +∠ABC +∠3 +∠BCD +∠4 + ∠CDE + ∠5 + ∠DEA = 900°. ∵五边形的内角和为 (5 - 2)×180°= 540°. 即∠EAB +∠ABC +∠BCD +∠CDE +∠DEA = 540°， ∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 +∠5 = 900° - 540° = 360°. 归纳总结： 多边形的外角与外角和 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角. 在多边形每个顶点处各取一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和. 想一想 如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样 师生活动：学生独立思考并计算，可提示学生作图辅助. 6×180°－ (6－2)×180°= 360° 8×180°－ (8－2)×180°= 360° 教师顺势引导学生归纳多边形的外角和 例2 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？ 师生活动：教学时应首先鼓励学生猜测新四边形的形状，之后再思考如何证明. 当堂练习，巩固所学 1. 判断对错： (1) 当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加. ( ) (2) 当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加. ( ) (3) 三角形的外角和与八边形的外角和相等. ( ) 2. 一个正多边形的内角和为 720°，则这个正多边形的每一个内角等于_____． 3. 一个多边形的内角和为 1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和. 设计意图：首先通过一个问题情境研究五边形的内角和，以此为基础继续研究六边形的内角和，进而归纳得到n边形的内角和公式. 然后，通过若干问题对公式进行应用. 设计意图：对于有困难的学生给出两种分割方法，提高课堂效率.教师要是是引导学生，多边形的内角和可以通过把多边形分割成多个三角形来求解（培养用已知求未知的求解习惯）. 设计意图：引导学生归纳分割多边形的方法，总结出一般的结论，锻炼学生的归纳总结能力，发展数感和推理意识. 设计意图：本例是运用多边形内角和公式解决简单的问题，在应用中巩固对多边形内角和公式的掌握. 设计意图：利用多边形内角和公式求解正多边形的内角，进一步增强学生对正多边形的认识. 设计意图：培养动手能力和几何直观；在小组讨论中培养合作交流的习惯；学会分类讨论，发展发散性思维. 设计意图：相对于多边形 内角和公式而言，多边形 的外角和公式更为一般， 所有多边形的外角和都是360°.对于该公式的推导，可以利用内角和公式，但这纯粹是从计算的角度出发，无法揭示其本质，也难以给学生留下深刻的印象，为此，本课时先从实践活动入手，再借助 内角和公式进行代数推导，最后进行简单应用. 设计意图：借助内角和公式进行代数推导，在直观的运算中掌握多边形外角和的算理. 设计意图：在研究了五边形外角和的基础上，进一步研究六边形、八边形的外角和，从而归纳得出多边形的外角和. 设计意图：这是多边形外角和公式的简单应用. 设计意图：考查对多边形的内角和与外角和定理的掌握. 设计意图：考查综合运用能力和对多边形的内角公式的掌握. 设计意图：考查综合运用能力、锻炼发散性思维.
板书设计 6.4 多边形的内角和与外角和 定理 n 边形的内角和等于 (n - 2)×180°. 多边形的外角和都等于 360° .
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
教学反思 多边形内角和公式反映了多边形的要素之——“角”之间的数量关系，是多边形的基本性质.多边形内角和公式是三角形内角和定理的应用、推广和深化，它源于三角形内角和定理又包含三角形内角和定理.多边形内角和公式为多边形外角和公式、四边形及正多边形的有关角的学习提供知识基础.

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