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4.5 利用三角形全等测距离
教学内容 4.5 利用三角形全等测距离 课时 1
核心素养目标 让学生从问题中中观察抽象出全等三角形的模型，发展几何意识. 多种思路解题，扩展学生思维方式，强化学生逻辑思维能力，学会用数学解决实际生活的问题. 教会学生用数学的语言表述思路，提供“说理”的方式，为今后学习证明的形式化表述做铺垫，提高学生表达能力.
知识目标 1.能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系. 2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.
教学重点 能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系.
教学难点 能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、复习导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 温习旧知，导入新知 1. 要判定两个三角形全等有哪些方法？ 师生活动：学生积极回答，教师整理板书： （1）“SSS”：三边分别相等的两个三角形全等. （2）“ASA”：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. （3）“AAS”：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. （4）“SAS”：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 小组合作，探究概念和性质 知识点一：利用三角形全等测距离 你听过智慧炸碉堡的故事吗？ 师生活动：教师播放音频或者让学生阅读书上的故事内容. 教师提问这个战士的测量方法，学生积极发言，教师在示意图上标注讲解，并提问：(1) 按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证. 学生小组讨论，小组代表演示测量方法，教师适当指导与评价. (2) 你能解释其中的道理吗？ 师生活动：教师出示示意图，学生思考与交流，学生代表发言，教师引导与板书： 在△ACB和△ACD中， 因为∠CAB =∠CAD，AC = AC，∠ACB =∠ACD， 所以△ABC≌△DEC，所以AB = DE. 想一想 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案，解决此问题吗？ 说出你的设计方案； 你能说明其中的道理吗？ 师生活动：学生独立思考，教师展示一种方案帮学生打开思路： 方案一：先在地上取一个可以直接到达点A和B 的点C，连接AC并延长到D，使AC = CD；连接BC并延长到E，使CE = CB；连接DE 并测量出它的长度，则DE的长度就是A、B间的距离. 教师追问1：同学们知道这其中的原理吗？可以证明吗？ 教师追问2：你能说出每步的道理吗？ 学生代表回答并完善板书. 教师给时间让学生们继续思考其他方案： 你能设计出其他的方案来吗？（构建全等三角形） 若学生没有想出别的方案，教师也可通过PPT展示方案二与学生讨论；若学生能想出不同方案，教师也可追问以下问题，让学生根据所想方案作答. 方案二 教师追问：已知条件是什么？结论又是什么？ 学生积极回答，教师整理：在△ABC与△DEC中，已知AB⊥BE，BC = CE，DE⊥BE，结论：AB = DE. 教师追问：你能说明设计方案的理由吗？ 学生积极发言：ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 学生还有可能想到许多不同方案，如以下方案三、方案四等等，教师让学生仿照刚才的三个问题与解答过程，小组交流，再由小组代表展示结果，教师适时引导与补充. 方案三：如图，先作△ABD，再找一点C，使BC∥AD，并使AD＝BC，连接CD，量CD的长即得AB的长. 理由：因为AD∥CB， 所以∠1＝∠2. 在△ABD与△CDB中， 因为AD＝CB，∠1＝∠2， BD＝DB， 所以△ABD≌△CDB . 所以AB＝CD. 方案四：如图，找一点D，使AD⊥BD，延长BD至C，使CD＝BD，连接AC，量AC的长即得AB的长. 理由： 因为AD⊥BD， 所以∠ADB＝∠CDA＝90°. 在Rt△ADB与Rt△CDB中， 因为BD＝BD，∠ADB＝∠CDB，AD＝CD， 所以△ADB≌△CDB (SAS). 所以BA＝BC. 典例精析 例1如图，工人师傅要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径. 现在有两根同样长的木棒、一条橡皮绳和一把带有刻度的直尺，你能想法帮助他完成吗？ 师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师通过PPT展示示意图并引导学生说出方法和理由，教师给予鼓励与评价. 针对训练 1. 如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD = BC，再在BF的垂线DE上取点E，使A、C、E三点在同一条直线上，可以推出△EDC≌△ABC，从而得 ED = AB，因此，测得ED的长就是AB的长. 其中判定△EDC≌△ABC的理由是 ( ) A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师给予适当的评价. 2. 如图，已知AC = DB，AO = DO，CD = 100 m，则A，B两点间的距离 ( ) A. 大于100 m B. 等于100 m C. 小于100 m D. 无法确定 师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师引导学生简单说明理由，并给予适当的评价. 当堂练习，巩固所学 1. 如图，小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，只要量得CD的长度，就可知工件的内径AB是否符合标准. 问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？（ ） A. AO = CO B. BO = DO C. AC = BD D. AO = CO且BO = DO 2. 如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理. 设计意图：让学生回顾判定三角形全等的方法，为本节课的方案提供理论支持，起到铺垫作用. 设计意图：通过故事让学生学会测量方法，明白战士的具体做法，继而思考其中的道理，然后按教科书的要求，让学生们在教室里或操场上亲自做一做. 具体操作时，可用一张纸或一个本子代替帽檐，先确定好一个目标，再调整“帽檐”，使视线通过“帽檐”望去恰好落在目标上，然后保持“帽檐”不动，转过一个角度再望出去，视线所落的位置即为第二个目标. 最后让学生利用步测等方法测量出两个目标与观察者的距离，验证战士做法的合理性. 设计意图：这也是一个比较古老的测量方法.教学时，教师可以先提出需要解决的问题，鼓励学生尝试进行解决，然后介绍方案一，鼓励学生通过观察图，思考这种方法的道理，并用自己的语言表达理由. 需要说明的是，教科书以文字加数学符号的叙述方式给出思考过程，意在提供“说理”的一种方式，同时为今后学习证明的形式化表述做铺垫，但现阶段仍然是只要求学生能看懂、理解即可，不必强求他们使用. 学生完全可以按照自己的方式进行表达. 设计意图：启发学生多种方式思考，扩展学生思维方式，通过几个问题的回答，教会学生用数学的语言表述思路，提高学生表达能力. 设计意图：将全等三角形知识与实际生活结合，锻炼学生应用能力. 设计意图：加强学生对全等三角形的判定定理的掌握. 设计意图：将全等三角形知识与实际生活结合，锻炼学生应用能力. 设计意图：考察学生对全等三角形的判定定理的掌握情况.
板书设计 利用三角形全等测距离 构造全等三角形 方法：（1）延长法；（2）垂直法
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理知识点. 1. 知识：利用三角形全等测距离. 目的：变不可测距离为可测距离. 依据：全等三角形的性质. 关键：构造全等三角形. 2. 方法：（1）延长法构造全等三角形； （2）垂直法构造全等三角形. 3. 数学思想：树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想.
教学反思 本课设计的情境是一种估测，原理是三角形全等. 教学中，首先引导学生体会所设计情境的意义，明白战士的具体做法，继而思考其中的道理，然后按教科书的要求，让学生们在教室里或操场上亲自做一做. 具体操作时，可用一张纸或一个本子代替帽檐，先确定好一个目标，再调整“帽檐”，使视线通过“帽檐”望去恰好落在目标上，然后保持“帽檐”不动，转过一个角度再望出去，视线所落的位置即为第二个目标. 最后让学生利用步测等方法测量出两个目标与观察者的距离，验证战士做法的合理性. 确定第二个目标时，可让学生重复2~3次后求平均数，以避免出现较大的误差. 在实际体验的基础上，鼓励学生利用图说明理由，并与同伴进行交流.

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