资源简介

5.3 简单的轴对称图形
第3课时 角平分线的性质
教学内容 第3课时 角平分线的性质 课时 1
核心素养目标 从日常生活的常识，提炼出里面的数学思想，培养学生的数学思维能力和归纳总结的能力. 根据折叠的性质，由具体的客观事实，转化成抽象的猜想证明，让学生感悟数学思维解决问题的方法. 通过对角的平分线的的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.
知识目标 1.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性； 2探索并证明角的平分线的性质； 3.能用角的平分线的性质解决简单问题.
教学重点 探索并证明角的平分线的性质．
教学难点 能用角的平分线的性质解决简单问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 你发现了什么图形？ 角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？ 师生活动：教师通过放映PPT展示角在生活中的应用，通过追问引出后续探究. 小组合作，探究概念和性质 知识点一：角的轴对称性 如图，将∠AOB对折，你发现了什么？ 师生活动：学生独立画图折叠，发现∠AOB被平分. 学生积极讨论，教师引导学生总结：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 知识点二：角平分线的性质 做一做 (1) 在一张纸上任意画∠AOB ，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线. (2) 在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？ 师生活动：学生根据要求独立操作画图，然后通过观察发现：CD = CE. 教师追问：改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗？ 学生独立思考，然后小组讨论，发现结论不变，猜测：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 思考：你能验证这个结论吗？ 已知：如图，∠AOC =∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 试说明：PD = PE. 师生活动：学生独立思考，教师引导学生分析并完成板书： 解：因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDO =∠PEO = 90°. 在△PDO和△PEO中， 因为∠PDO =∠PEO， ∠AOC =∠BOC，OP = OP， 所以△PDO≌△PEO. 所以PD= PE. 由此教师引导学生总结角平分线的性质定理. 归纳总结 性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： 点在角的平分线上； 到角两边的距离（垂直）. 定理的作用：证明线段相等. 应用格式： 因为OC是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB， 所以CD = CE. 典例精析 例1利用尺规，作∠AOB的平分线. 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师给予评价并整理板书，如 作法： (1) 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N； (2) 分别以点M、点N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C； (3) 作射线OC. 射线OC即为所求. 想一想 如图所示，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E. DE与DC相等吗？为什么？ 师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师给予评价并整理为板书： 解：DE与DC相等. 因为射线BD是∠ABC的平分线，点D到角两边BA，BC的距离分别是线段DE，DC的长， 所以 DE = DC. 变式：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB＝14. (1) 则点P到AB的距离为_____； (2) 求△APB的面积. 师生活动：学生独立思考，教师温馨提示：存在一条垂线段——构造应用. 预测学生能在教师提示下想到方法 解：由角平分线的性质知PD = PC = 4， 故 AB·PD = 28. 教师引导学生回忆上述问题的思路并总结. 归纳总结 针对训练 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，若∠EDB =∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = . 师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师给予适当的评价. 2. △ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，且BC = 8，BD = 5，则点D到AB的距离是 . 师生活动：学生独立思考与画图，学生代表回答，教师引导学生代表叙述思路并给予适当评价. 3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 师生活动：学生独立思考，学生代表回答，教师引导学生代表叙述思路并给予适当评价. 4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则 AC 的长是 (　　) A．6 B．5 C．4 D．3 师生活动：学生独立思考，教师请学生代表回答，引导学生叙述思路并整理板书： 解析：过点D作DF⊥AC于F， 因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， 所以DF＝DE＝2. S△ABC＝×4×2 + ·AC×2＝7，解得AC＝3. 教师引导学生方法总结 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法. 当堂练习，巩固所学 1. 如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F. 试说明：CE＝CF. 设计意图：用实际生活中的景物导入，吸引学生的注意力的同时，感悟数学知识在实际生活中的应用. 设计意图：以操作性活动以及“你发现了什么”的问题探究角的轴对称性.由于角的两边是射线，图形具有一定的抽象性，建议让学生充分讨论“角是否是轴对称图形”的问题，关注学生是否能将直观与想象相结合.学生在回答“角是轴对称图形”后，建议要求进一步说明角的对称轴的特点. 设计意图：目的是通过折纸活动，得到角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 教学中应让学生经历这一活动过程，并把活动和思考结合起来，以加深对角平分线性质的理解，同时积累数学活动经验. 设计意图：验证结论，将学生的感性认知上升为理性认知，培养学生逻辑思考能力. 设计意图：尺规作图不要求学生写作法，但学生应能说明其中的道理，即以操作和理解为主，提高学生作图能力以及语言表达能力. 设计意图：强化学生对角平分线的性质的理解与应用. 设计意图：变式加大难度，提升学生的解题技巧，让学生学会逆向思维，锻炼学生的思考能力. 设计意图：通过归纳，帮学生理清思路，更好的把握不同题目中条件与思路的共性. 设计意图：考查学生对角的平分线性质的掌握. 设计意图：考查学生运用角的平分线的性质进行简单运算的能力. 设计意图：将本节课知识与之前学过的全等的知识相结合，综合考察学生对知识点的掌握. 设计意图：让学生进一步巩固角平分线的性质，通过说理分析提高学生的思维能力与语言表达能力. 设计意图：考查学生对角平分线的性质的掌握与应用情况．
板书设计 角平分线的性质 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 常见辅助线：作垂线段
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理知识框架.
教学反思 本课时探索角的轴对称性. 本课教学设计较好地体现了“教为主导， 学为主体，探索为主线，思维为核心”的教学理念：学生通过自己动手动脑，得到不同的折叠、剪纸、验证的办法，拓展了探究思路，学生在验证自己结论的同时培养了反思、修正、归纳的能力；在描述探究结果的过程中，学生通过有条理的语言表达，进一步提高了数学语言的运用能力，为八年级的推理和严格证明打下坚实基础.

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