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11.1 生活中的不等式
知识点一、不等式的概念
1．不等式：用不等号表示不等关系的式子叫作不等式．
2．常用不等号如下：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
3．常见的不等式基本语言与符号表示
不等式基本语言 符号表示
a是正数 a＞0
a是负数 a＜0
a是非正数 a≤0
a是非负数 a≥0
a、b同号 ab＞0
a、b异号 ab＜0
（1）不等号具有方向性，不等号两边的式子不能随意变换；
（2）不等式中可以含有未知数，也可以不含未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等式所表示的大小关系，不等式成立；否则，不等式不成立．
1．下列式子：（1）4＞0；（2）2x+3y＜0；（3）x=3；（4）x≠y；（5）x+y；（6）x+3≤7中，不等式的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点二、列不等式
1．列不等式就是用不等式表示不等关系．
2．列不等式的基本步骤：
（1）审题，找出题目中包含的数量间的大小关系；
（2）将题目中的不同数量用代数式表示出来；
（3）用不等号以及运算符号连接所列的代数式，列出不等式．
2．用不等式表示“与的差是非正数” ．
巩固练习
一．选择题（共10小题）
3．下列是不等式的是（　　）
A． B． C． D．
4．某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是（　　）
A． B． C． D．
5．2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车辆，租用53座客车辆，则不等式“”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于990人 B．两种客车总的载客量不超过990人
C．两种客车总的载客量不足990人 D．两种客车总的载客量恰好等于990人
6．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到下图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（ ）
A． B． C． D．
7．下列各式：①≠0；②|x|＋1＞0；③x＋2＜－5；④x＋y＝3；⑤＜0，其中是不等式的是( )
A．①②③⑤ B．①②③④
C．①②③④⑤ D．②③⑤
8．某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙＞150毫克”，它的含义是指（　　）
A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
9．在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义很明确．在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：表示不小于；表示不大于，表示远大于；表示远小于等．下列选项中表达错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．A疫苗冷库储藏温度要求为，疫苗冷库储藏温度要求为，若需要将A，两种疫苗储藏在一起，则冷库储藏温度要求为（ ）
A． B． C． D．
12．某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是，则的值分别为（ ）
用法用量：口服，每天．分次服用．
规格：□□□□□□
贮藏：□□□□□□
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
13．盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为 ．
14．对于下列结论：①x为自然数，则；②x为负数，则；③x不大于10，则；④m为非负数，则，正确的有 ．
15．据花都气象台“天气预报”报道，今天的最低气温是17℃，最高气温是25℃，则今天气温t（℃）的范围是
16．“x与y的2倍的和是正数”用不等式可以表示为 ．
17．甲种蔬菜保鲜的适宜温度（单位：℃）是，乙种蔬菜保鲜的适宜温度是，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，则保鲜的适宜温度t（单位：℃）的范围是 ．
18．的最小值是a，的最大值是b，则
19．某种药品的说明书上，贴有如下的标签，一次服用这种药品的剂量最多是 ．
20．假期里全家去旅游，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ．
21．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 ．
22．规定为不大于的最大整数，如．若，则的取值范围为 ．
三．解答题（共8小题）
23．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）52；（7）．
24．试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：
(1)它的非负整数解为0，1，2，3，4；
(2)它的整数解为，，，0，1，2，3．
25．在下列各题中的空格处，填上适当的不等号：
(1)______；
(2)______；
(3)______0；
(4)______0；
(5)______0；
(6)_____．
26．是否存在m的值使得关于x的不等式的解集是？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
27．在数轴上有，两点，其中点所对应的数是，点所对应的数是．已知，两点的距离小于，请你利用数轴．
(1)写出所满足的不等式；
(2)数，，所对应的点到点的距离小于吗？
28．用适当的符号表示下列关系：
(1)x的与x的2倍的和是非正数；
(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
(4)明天下雨的可能性不小于；
(5)小明的体重不比小刚轻．
29．已知有理数m，n的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．
（1）n﹣m 0；（2）m+n 0；（3）m﹣n 0；（4）n+1 0；（5）m n 0；
（6）m+1 0．
30．（1）阅读理解“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“”可理解为___________________________________________________；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为_______________．
我们定义：形如“”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）理解应用：根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，绝对值不等式的解集是．则：
①不等式的解集是_________________．
②不等式的解集是_______________．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【详解】根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以①②④⑥为不等式，共有4个，
故选C．
2．5a-6b≤0．
【分析】根据差和非整数的概念即可解答．
【详解】解：由题意得：5a-6b≤0．
故答案为5a-6b≤0．
【点睛】本题考查了列代数式，掌握差和非整数的意义是解答本题的关键．
3．A
【分析】依据不等式的定义来判断即可．
【详解】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
为不等式．
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的定义，要判断一个式子是不是不等式，主要看这个式子是否用“”“”“”“”或“”连接，若是，则为不等式，否则就不是不等式．
4．D
【分析】先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答．
【详解】解：由题意可得：
当天气温的变化范围是．
故选D．
【点睛】本题主要考查了将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．
5．A
【分析】主要依据不等式的定义：用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【详解】解：不等式“”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于990人，
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号．
6．D
【分析】根据标志牌的含义列不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的定义，理解标志牌的意义是求解本题的关键．
7．A
【分析】根据不等式的定义进行判断即可．
【详解】解：①②③⑤是不等式，④是等式．
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的定义，掌握用不等号连接的式子称为不等式是解题关键．
8．C
【分析】“”就是大于，在本题中也就是“高于”的意思．
【详解】解：根据的含义，“每100克内含钙＞150毫克”，就是“每100克内含钙高于150毫克”，
故选：C．
【点睛】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容．
9．D
【分析】根据对每个符号的定义对每一项进行判断即可．
【详解】解：A．表示2不小于2，正确，故本选项不符合题意；
B．表示-1不大于0，正确，故本选项不符合题意；
C．表示100远大于1，正确，故本选项不符合题意；
D．表示-2远小于-99，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的新定义问题，解决本题的关键是理解各个符号的意思．
10．B
【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子叫做不等式，进行判断即可得出结果．
【详解】解：在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有：①②⑤，共3个；
故选B．
【点睛】本题考查不等式的判断．熟练掌握不等式的定义，是解题的关键．
11．C
【分析】将A，两种疫苗储藏在一起，冷库储藏温度正好是A疫苗冷库储藏温度的最低度数和疫苗冷库储藏温度的最高度数．
【详解】解：∵A疫苗冷库储藏温度要求为，疫苗冷库储藏温度要求为，
∴A，两种疫苗储藏在一起，冷库储藏温度要求为．
故选：C．
【点睛】此题考查了不等式，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解题的关键是读懂题意，搞懂A疫苗冷库储藏温度和疫苗冷库储藏温度的要求．
12．D
【分析】用每天服用的最低剂量除以最多次数，用最高剂量除以最少次数．
【详解】解：每天最少服用30药品，最多服用3次，则每次最少服用，
同理每天最多服用60药品，最少服用2次，则每次最多服用.
∴x=10，y=30，
故选：D.
【点睛】本题考查一元一次不等式，关键是理解题意，用最小的药品剂量除以最大的次数得到每次最小的服用量，用最大的药品剂量除以最小的次数得到每次最大的服用量．
13．
【分析】根据题意列出不等式组即可．
【详解】根据题意知：盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，
∴当天盐湖区气温的变化范围为：
故答案为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
14．②④##④②
【分析】根据自然数定义即可判断①，根据负数定义即可判断②，不大于10，即小于或等于可判断③，根据非负数定义即可判断④．
【详解】解：x为自然数，则，错误，不合题意；
②x为负数，则，正确，符合题意；
③x不大于10，则，错误，不合题意；
④m为非负数，则，正确，符合题意；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了列不等式的知识，正确理解负数定义，非负数定义，自然数定义，不大于即小于或等于．
15．17≤t≤25
【分析】读懂题意，找到最高气温和最低气温即可．
【详解】解：因为最低气温是17℃，所以17≤t，最高气温是25℃，t≤25，则今天气温t（℃）的范围是17≤t≤25．
故答案为：17≤t≤25．
【点睛】解答此题要知道，t包括17℃和25℃，符号是≤，≥．
16．
【分析】根据“x与y的2倍的和”用代数式表示出来，再由和为正数即可得不等式．
【详解】解：x与y的2倍的和用代数式表示为：x+2y，
则由题意可得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列不等式，关键是理解和、差、倍、分等的含义，注意运算顺序．
17．
【分析】找出两种蔬菜温度的公共部分即可．
【详解】解：因为甲种蔬菜保鲜的适宜温度是，乙种蔬菜保鲜的适宜温度是，
所以将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，保鲜的适宜温度范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、掌握解答的方法是关键．
18．-4
【详解】分析：解答此题要理解“≥”“≤”的意义，判断出a和b的最值即可解答．
详解：因为x≥2的最小值是a，∴a=2；
x≤﹣6的最大值是b，∴b=﹣6；
则a+b=2﹣6=﹣4，所以a+b=﹣4．
故答案为﹣4．
点睛：解答此题要明确，x≥2时，x可以等于2；x≤﹣6时，x可以等于﹣6．
19．45
【分析】用每天的最大量除以最少服用次数即可．
【详解】解：一次服用这种药品的剂量的最大值为．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了有理数除法的应用，解题的关键是根据题意列出算式．
20．答案不唯一
【分析】根据题意可知，车速限制为，取其中任意数即可求解．
【详解】解：设车速为，
则，
建议车速为．
故答案为：答案不唯一．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，理解题意是解题的关键．
21．租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人
【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【详解】解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．
故答案为：租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．
【点睛】此题考查不等式的应用，结合题意找出不等式表示的意义即可．
22．
【分析】根据新定义“规定为不大于的最大整数”，由题意得出的取值范围．
【详解】解：，
．
故答案为:．
【点睛】本题主要考查有理数大小的比较，读懂题意，即可解答．
23．等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）．
【分析】根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号（）连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子．
【详解】解：等式有：（3）（5），
不等式有：（2）（4）（7），
既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）．
【点睛】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．
24．(1)答案不唯一，如或等
(2)答案不唯一，如或等
【分析】（1）根据不等式的整数解，只要写出一个不等式，它的非负整数解符合即可；
（2）根据不等式的整数解，只要写出一个不等式，它的整数解符合即可
【详解】（1）答案不唯一，如或等；
（2）答案不唯一，如或等．
【点睛】本题考查了不等式的解集，题目是一道开放型的题目，答案不唯一．
25．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据两负数比较大小的法则进行比较即可；
（2）先求出各数的值，再比较出其大小即可；
（3）根据绝对值的性质进行解答即可；
（4）、（5）、（6）根据不等式的基本性质进行解答即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
故答案为：；
（2）解：∵，，1＜4，
∴．
故答案为：；
（3）解：∵为非负数，
∴．
故答案为：；
（4）解：∵，
∴．
故答案为：；
（5）解：∵，
∴．
故答案为：；
（6）解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
26．不存在，理由见解析
【分析】原不等式可化为，由两边同时除以不等号方向不变得为正数，从而求出m的取值范围．不等式的解集用m表示为x，令，求出m．
【详解】解：不存在．理由如下：
原不等式可化为，即．
∵原不等式的解集为，
∴，
解得m；
，即，
解得m，
经检验m是原分式方程的解．
又∵m，
∴不合题意，舍去．
综上所述，m的值不存在．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题关键．
27．(1)
(2)在，，三个数中，只有所对应的点到点的距离小于
【分析】根据数轴上两点之间的距离为这两个数差的绝对值，列出不等式并解出结果．
【详解】（1）解：根据题意得：，
如图所示，与点的距离小于的点，在表示的点与表示的点之间（不含和），所以；
（2）由（1）得：到点的距离小于的数在和之间，
∴在，，三个数中，只有所对应的点到点的距离小于．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离为两个数差的绝对值，以及解不等式．
28．(1)
(2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有
(3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有
(4)用P表示明天下雨的可能性，则有
(5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有
【分析】（1）非正数用“”表示；
（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；
（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；
（5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示．
【详解】（1）；
（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有；
（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有；
（4）用P表示明天下雨的可能性，则有；
（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有．
【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
29．（1）＜；（2）＜；（3）＞；（4）＜；（5）＜；（6）＞．
【分析】根据有理数的运算法则判断结果的符号．同号的两个数相加，取原来的符号；异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号；两个数相减的时候，如果被减数大，则差大于0，否则，差小于0；同号的两个数相乘，积为正数；异号的两个数相乘，积为负数．
【详解】解：（1）因为n＜0，m＞0，所以n﹣m＜0；
（2）因为n＜0、m＞0，且|n|＞1、|m|＜1，所以m+n＜0；
（3）因为n＜0，m＞0，所以m-n＞0；
（4）因为n＜0，|n|＞1，所以n+1＜0；
（5）因为n＜0，m＞0，所以m n＜0；
（6）因为0＜m＜1，所以m+1＞0．
【点睛】本题考查了数轴，能够根据有理数的运算法则正确判断结果的符号是解题的关键．
30．（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于2；②和3（不唯一）
（2）①或；②
【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）；
（2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答；
【详解】解：（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
②使不等式“”成立的整数为，（答案不唯一，合理即可）．
故答案为：，．
（2）①不等式的解集是或．
故答案为：或．
②不等式的解集是，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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