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11.2 不等式的解集
知识点一、不等式的解
1.能使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.
不等式的解可以有多个，指在某一特定范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式一定成立.
2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
3.解不等式：求不等式解集的过程叫作解不等式.
例：
1．下列x的值不是不等式﹣2x+4＜0的解，答案是（　　）
A．﹣2 B．3 C．3.5 D．10
知识点二、在数轴上表示不等式的解集
数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此我们可以借助数轴将不等式的解集直观地表示出来.
通过数轴表示不等式的解集有以下四种情况：
不等式的解集（a＞0） x＞a x≥a x＜a x≤a
意义 在数轴上表示a的点的右边对应的数，不包括数a 在数轴上表示a的点的右边对应的数，包括数a 在数轴上表示a的点的左边对应的数，不包括数a 在数轴上表示a的点的左边对应的数，包括数a
画法 从a开始向右画，在表示a的点处画空心圆圈 从a开始向右画，在表示a的点处画实心圆点 从a开始向左画，在表示a的点处画空心圆圈 从a开始向左画，在表示a的点处画实心圆点
示意图
在数轴上表示不等式的解集时，要注意两点：
（1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈；
（2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画.
例：
2．不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
一．选择题（共10小题）
3．在数轴上表示不等式x≥-2的解集 正确的是( )
A． B．
C． D．
4．下列数轴中，表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
6．若不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在，，，，这五个数中，是不等式解的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列式子中，是它的解的是（　　）
A． B． C． D．
9．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．一元一次不等式2(x＋1)≥4的解集在数轴上表示为( 　)
A． B．
C． D．
11．关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
12．在4，3，2，1，0，﹣，中，能使不等式3x﹣2＞2x成立的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共10小题）
13．若不等式的解集是，则的取值范围是 ．
14．定义运算：，例如：，若不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是 ．
15．如果一元一次不等式组的解集为．则a的取值范围是 ．
16．以下说法正确的是： ．
①由ab＞bc，得a＞c；②由ab2＞cb2，得a＞c；③由b﹣a＜b﹣c，得a＞c；④由a＞b，得ac2＞bc2；⑤﹣an和（﹣a）n互为相反数；⑥x＞3是不等式x+2＞1的解．
17．如图，数轴上所表示的解集为 ．
18．不等式的解集是 ．
19．已知是关于x，y的二元一次方程，则 （填“是”或“不是”）不等式的解．
20．若不等式中每一个x的值，都不是不等式的解，则a的取值范围是 ．
21．如图表示某个关于的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则的取值范围是 ．
22．当x 时，代数式的值是非负数．
三．解答题（共10小题）
23．解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来：
（1）；
（2）．
24．①解方程组：；
②解不等式组，并在数轴上表示其解集．
25．将下列不等式的解集分别表示在数轴上．
(1)；
(2)．
26．已知两个数和a（a为负整数）．
(1)设整式的值为P．当时，求P的值；
(2)已知，a，5的和的取值范围如图所示，求a的值．
27．代数式的值记为，代数式的值记为．
(1)当时，求的值；
(2)若关于的不等式组的解集是，求的正整数值．
28．阅读下面一段文字：在数轴上A，B两点之间的距离可以用符号表示，可以利用有理数减法和绝对值计算A，B两点之间的距离．若点A，B分别用数a，b表示，则当，时，；当，时，；当，时，．发现点A，B之间的距离（也可以表示为）．
请你根据上述材料，探究回答下列问题：
(1)数轴上表示和7两点之间的距离是______；
(2)如果数轴上表示a和1两点间的距离是7，那么______；
(3)如果数轴上表示的数a的取值范围为，求的值．
29．阅读以下例题：
解方程：|3x|＝1，
解：①当3x≥0时，
原方程可化为一元一次方程3x＝1，
解这个方程得x＝；
②当3x＜0时，
原方程可化为一元一次方程﹣3x＝1，
解这个方程得x＝﹣．
所以原方程的解是x＝或x＝﹣．
（1）仿照例题解方程：|2x+1|＝3．
（2）探究：当b为何值时，方程|x﹣2|＝b+1满足：
①无解；②只有一个解；③有两个解．
30．（1）已知关于的不等式组，则这个不等式的解集为 ．
（2）有一种电脑程序，每按一次按键，屏幕区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均会显示化简后的结果已知，两区初始显示分别是和，如图所示．
如：第一次按键后，A，两区分别显示
小红从初始状态按次后，求A，两区代数式的和并化简，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
31．我们知道数轴上两点间的距离等于这两点所表示数的差的绝对值，例如：点在数轴上分别对应的数为，则两点间的距离表示为．
根据以上知识解决问题：
如图所示，在数轴上点表示的数分别为．
(1)
(2)若点是数轴上一点，且，则点表示的数为 ；
(3)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，同时，点从出发，以每秒个单位长度向右运动．点到达点后立即返回，当点到达点时，两点同时停止运动．当运动时间为秒时，求的值（用含的式子表示）．
32．请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程：
因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集是-3＜x＜3；
因为|x|＞3，从如图2所示的数轴上看：小大于-3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集是x＜-3或x＞3．
解答下面的问题：
（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为______；不等式|x|＞a（a＞0）的解集为______．
（2）解不等式|x-5|＜3；
（3）解不等式|x-3|＞5．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】求出不等式的解集，即可作出判断．
【详解】不等式﹣2x+4＜0，解得：x＞2，则﹣2不是不等式的解．
故选A．
【点睛】本题考查了不等式的解集，求出不等式的解集是解答本题的关键．
2．D
【分析】根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示，把已知解集表示在数轴上即可．
【详解】解：不等式在数轴上表示为：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟悉相关性质是解题的关键．
3．D
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．
【详解】∵不等式x 2中包含等于号
∴必须用实心圆点
∴可排除A. C
∵不等式x 2中是大于等于
∴折线应向右折
∴可排除B
故选D.
【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集，解题关键在于掌握数轴的表示方法.
4．B
【分析】先确定点，再根据“”在数轴上表示为实心向右得出答案．
【详解】在数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数轴上表示不等式的解集，掌握表示方法是解题的关键．“”在数轴上表示为实心原点向右，“”在数轴上表示为实心原点向左，“”在数轴上表示为空心圆圈向右，“”在数轴上表示空心圆圈向左．
5．A
【分析】根据数轴的性质“实心圆点包括该点用“”，“”表示，空心圆圈不包括该点用“<”，“>”表示，大于向右小于向左．”画出数轴即可．
【详解】解：将不等式组的解集表示在数轴上，如图，
故选A．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．利用数形结合的思想是解题关键．
6．D
【分析】根据不等式解集判断口诀同大取大可知：．
【详解】解：因为两不等式的解集均为大于号，根据同大取大可知．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．D
【分析】先解不等式，然后根据不等式的解集即可求解．
【详解】解：
解得
∴在，，，，这五个数中，是不等式的解为，，，，共4个
故选：D．
【点睛】本题考查了求不等式的解集，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键．
8．A
【分析】根据方程的解和不等式的解集的定义解答即可．
【详解】解：A、将代入原方程，左边右边，
选项符合题意；
B、∵将代入原方程，左边右边，
B选项不符合题意；
C、不是不等式的解，
选项不符合题意；
D、不是不等式组的解，
选项不符合题意．
综上所述，A选项符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了方程的解和不等式的解集，正确掌握方程的解和不等式的解集的定义是解题的关键．
9．B
【分析】根据不等式的表示方法直接在数轴上表示出来即可．
【详解】解：：表示数轴上的数在3的右侧，且不包含3，用空心表示，
故选：B．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键，特别注意取等号时用“实心”表示，不取等号时用“空心”表示．
10．A
【分析】首先进行去括号可得：2x+2≥4，则2x≥2，解得：x≥1，在数轴上就是在1的右边，且表示1的点需要用实心点来表示.
【详解】解：2(x＋1)≥4
2x+2≥4
2x≥2
x≥1
∴不等式的解集在数轴上表示为：
故选：A
【点睛】本题考查解一元一次不等式，掌握解题步骤正确计算是本题的解题关键.
11．B
【分析】根据不等式的解集，可令，（a为正整数），根据解不等式的步骤即可求解．
【详解】解：不等式，即，其解集为，
故，，且，
令，（a为正整数），代入不等式，
得，
移项合并得，
∵a为正整数，
∴，
即不等式的解集为，
故选：B．
【点睛】本题考查了求不等式的解集，掌握解不等式的一般步骤是解题的关键．
12．B
【分析】直接解不等式，进而得出符合题意的个数．
【详解】解：3x﹣2＞2x，
解得：x＞2，
故符合题意的有：4，3共2个．
故选：B．
【点睛】此题考查求不等式的解集，正确解不等式是解题关键．
13．
【分析】根据不等式的性质可以得到的正负情况，从而可以得到的取值范围．
【详解】解：不等式的解集是，
∴，解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式的解集，解题的关键是明确不等式的性质．
14．
【分析】由新定义的运算可得，进而求出关于的不等式的解集，结合不等式解集在数轴上的表示，得出，再求出即可．
【详解】解：由新运算的定义可得，，
∴，解得，
由数轴上表示的解集可知，，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的前提．
15．
【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据不等式组的解集求参数，掌握求不等式组的解集是解题的关键．
16．②③
【分析】①②③④根据不等式的基本性质判断即可；⑤根据相反数的定义判断即可；⑥根据解一元一次不等式的步骤解答即可．
【详解】解∶①∵ab>bc，
∴当b<0时，a②∵，，
∴a>c，故原说法正确；
③'∵b-a∴-a<-c，
∴a>c，故原说法正确；
④∵a＞b，
∴当c=0时，，故原说法错误；
⑤当n为奇数时，和相等，故原说法错误；
⑥解不等式x+2>1，得x>-1，故原说法错误；
∴说法正确的是②③．
故答案为∶②③．
【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的解集，相反数以及有理数的乘方，掌握不等式的性质是解答本题的关键．
17．
【分析】空心圆圈向右表示大于，空心圆圈向左表示小于，结合图像可得出答案．
【详解】解：数轴上点1处空心圆圈向右，点3处空心圆圈向左，
由此可得：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了在数轴上的表示不等式的解集，牢固掌握以上知识点是做出本题的关键．
18．##
【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答．
【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于，
不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
19．不是
【分析】先根据二元一次方程的定义求出k值，从而得k+1的值，再把k+1代入不等式检验，即可求解．
【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程，
∴，解得：k=-5，
∴k+1=-5+1=-4，
把x=k+1=-4代入不等式左边得-4+2=-2,
把x=k+1=-4代入不等式右边得2×(-4)-1=-9,
∵-2>-9，
∴k+1不是不等式的解，
故答案为：不是．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，判定一个数是否是不等式的解，求出k值是解题的关键．
20．或##或
【分析】根据题意得到：或．解不等式即可．
【详解】解：根据题意得到：或．
所以或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了不等式的解集，解题的关键是根据题意得到关于a的不等式．
21．
【分析】由数轴可得不等式的解集为再结合是该不等式的一个解，可得 再解不等式可得答案．
【详解】解：∵不等式的解集是 而是该不等式的一个解，
∴
整理得：
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用数轴表示不等式的解集，一元一次不等式的解法，熟练的建立不等式解题是解本题的关键．
22．
【分析】先根据题意列出不等式，再解不等式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式，理解非负数的意义，列出不等式是解决本题的关键．
23．（1）x＜3，数轴见详解；（2） 2＜x≤1，数轴见详解．
【分析】（1）不等式去分母，移项合并，求出解集，表示在数轴上即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：（1）去分母得：x 5＋2＞2x 6，
移项，合并，得：x＜3．
将解集表示在数轴如下：
（2），
由①得：x≤1，
由②得：x＞ 2，
∴不等式组的解集为 2＜x≤1，
将解集表示在数轴如下：
【点睛】此题考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握其解法并能准确求出每一个不等式的解集是解题的关键．
24．①；②，图见解析
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
②-①×2，得：，
将代入①，得：，
∴方程组的解为；
（2）解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
将解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组与一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
25．(1)见详解
(2)见详解
【分析】根据在数轴上表示不等式的解集的方法分别画出所求范围即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
26．(1)P的值为
(2)a的值为．
【分析】（1）直接把代入整式求解即可；
（2）根据数轴信息列出不等式，结合a为负整数求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意，得，
，
解得，
因为a为负整数，所以a的值为．
【点睛】本题考查了在数轴上求不等式的解集以及代数式求值，根据题意列出不等式是解答本题的关键．
27．(1)
(2)的正整数值为，，
【分析】（1）先将和所表示的代数式代入进行化简，再将代入即可；
（2）根据题意得出，再将和所表示的代数式代入得到关于的不等式，再解不等式即可．
【详解】（1）解：∵代数式的值记为，代数式的值记为，
∴
，
当时，．
∴的值为．
（2）∵关于的不等式组的解集是，
∴，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴的值为，，．
【点睛】本题考查整式的加减运算，求代数式的值，一元一次不等式组的解集，解一元一次不等式．掌握整式的加减运算和解一元一次不等式是解题的关键．
28．(1)9
(2)或8
(3)
【分析】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可；
（2）由题意得出方程，即可得出答案；
（3）先去掉绝对值号，然后进行计算即可得解.
【详解】（1）解：根据题意，
；
故答案为：9；
（2）解：由题意得：，
解得：或；
故答案为：或8；
（3）解：∵，
∴，，
∴.
【点睛】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键．
29．（1）x＝1或x＝﹣2；（2）当b＜﹣1时，方程无解；当b＝﹣1时，方程只有一个解；当b＞﹣1时，方程有两个解．
【分析】（1）仿照例题分情况讨论：①当2x+1≥0时，②当2x+1＜0时，化简绝对值，解关于x的一元一次方程即可求解；
（2）|x﹣2|≥0恒成立，①若无解，则b+1＜0，解不等式即可求解；②若只有一个解，则b+1＝0，求解即可；③若有两个解，则b+1＞0，解不等式即可求解．
【详解】解：（1）①当2x+1≥0时，
原方程可化为一元一次方程2x+1＝3，
解这个方程得x＝1；
②当2x+1＜0时，原方程可化为一元一次方程﹣2x﹣1＝3，
解这个方程得x＝﹣2；
所以原方程的解是x＝1或x＝﹣2；
（2）因为|x﹣2|≥0，
所以①当b+1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；
②当b+1＝0，即b＝﹣1时，方程只有一个解；
③当b+1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解．
【点睛】本题考查解绝对值方程，理解题意是解题的关键．
30．（1）；（2）这个和不可能为负数．理由见解析
【分析】（1）根据解一元一次不等式组的方法，求出这个不等式的解集即可；
（2）首先根据题意，小红从初始状态按次后，，两区代数式分别为：，，然后把它们相加，求出，两区代数式的和，再应用完全平方公式，判断这个和不能为负数即可．
【详解】解：（1）∵，
∴这个不等式的解集为，
故答案为：．
小红从初始状态按次后，A，两区代数式分别为：，，
两区代数式之和为：，
∵，
这个和不可能为负数．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组的方法，以及整式的加减法的运算方法，解答此题的关键是灵活运用完全平方公式．
31．(1)
(2)或；
(3)或或或．
【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式：，可得的长；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）先计算的取值，分四种情况讨论，根据题意结合数轴上两点的距离表示的长．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：设点表示的数是，点表示的数分别为，
∵，
∴，解得：或，
故答案为：或．
（3）解：由题意可知，则到达终点时，用时秒，
令，解得，
∴秒时，第一次相遇，
令，解得，
∴秒时，第二次相遇，
①当时，，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
综上，的值为或或或．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，主要利用了数轴上两点间的距离的表示方法，读懂题目信息，理解两点间的距离的表示方法是解题的关键．
32．（1）-a＜x＜a；x＞a或x＜-a；（2）2＜x＜8；（3）x＞8或x＜-2．
【分析】(1)根据题中所给出的例子进行解答即可；
(2)根据题中所给的实例列出关于x的不等式组,求出其解集即可；
(3)根据题中所给的实例列出关于x的不等式组,求出其解集即可．
【详解】解： (1)不等式|x|＜a(a＞0)的解集为－a＜x＜a；
不等式|x|＞a(a＞0)的解集为x＞a或x＜－a；　
(2)|x－5|＜3，
由(1)可知－3＜x－5＜3，
∴2＜x＜8；　
(3)|x－3|＞5，
由(1)可知x－3＞5或x－3＜－5，
∴x＞8或x＜－2.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意利用数形结合求一元一次不等式的解集是解答此题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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