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重难点拓展训练二 利用幂的运算法则计算
1．已知，则等于（　　）
A．10 B．20 C．40 D．144
2．若，则x：y：z等于（ ）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：3：6 D．6：2：1
3．如果，且，那么n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知，则的值为（ ）
A．5 B．10 C．32 D．64
5．已知，，则的值为
A． B．50 C．500 D．
6．= ； ．
7．已知，则的值是 ．
8．，则m= ；已知，则x＝ ．
9．我们知道，同底数幂的乘法法则为：am·an＝am＋n(其中a≠0，m，n为正整数)，类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h(m＋n)＝h(m)·h(n)，请根据这种新运算填空：
(1)若h(1)＝，则h(2)＝ ；
(2)若h(1)＝k(k≠0)，则h(n)·h(2017)＝ (用含n和k的代数式表示，其中n为正整数)．
10．比较大小：与.
11．已知n为正整数，且，求的值．
12．已知3x＋1×2x－3x×2x＋1＝63x＋4，求x的值．
13．（1）已知，且，求m，n的值．
（2）已知，求的值．
14．已知为正整数，且，求的值．
15．（1）若，，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知，，求的值．
16．已知，，，用，表示的代数式．
17．已知a是大于1的实数，且有，成立．
(1)若，求的值；
(2)当（，且n是整数）时，比较p与的大小，并说明理由．
18．基本事实：若（且，m、n是正整数），则．
试利用上述基本事实分别求下列各方程中x的值：
①；
②；
③．
19．阅读下列材料：一般地，个相同的因数相乘 ，记为．如，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若，（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为（即）．
（1）计算以下各对数的值：__________，__________，__________．
（2）观察（1）中三数、，之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？__________．（且，，）
（4）根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
2．D
【详解】∵5x=（53）y=53y，3y=（32）z=32z，
∴x=3y，y=2z，即x=3y=6z；
设z=k，则y=2k，x=6k；（k≠0）
∴x：y：z=6k：2k：k=6：2：1．
故选D．
3．B
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得出关于n的方程，解出即可．
【详解】解：∵，且，
∴，即，
则，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，属于基础题，解答本题的关键掌握同底数幂的运算法则．
4．B
【分析】利用同底数幂的乘法计算，可得到结果.
【详解】解：∵
∴
∴
故选择：B.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；掌握同底数幂运算法则是解决本题的关键.
5．C
【分析】解答此题，根据同底数幂的乘法的性质的逆用，先整理成已知条件的形式，然后代入数据计算即可．
【详解】解：，
．
故选C．
【点睛】此题主要考查同底数幂的乘法的逆运用和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．
6． -0.125
【分析】根据积的乘方逆运算、零指数幂与负指数幂的性质即可求解．
【详解】；
故答案为：-0.125；．
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式及零指数幂与负指数幂的性质．
7．4
【分析】利用幂的运算将转化为：，再将整体代入计算即可．
【详解】解：，
∵，
∴原式=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了幂的运算，掌握幂的混合运算法则是解题的关键．
8． -4 16
【分析】首先根据，可得，据此求出的值是多少；然后根据，可得，据此求出的值是多少即可．
【详解】解：，
，
；
，
，
，
，
．
故答案为：；16．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，负整数指数幂的性质，熟记性质并理清指数的变化是解题的关键．
9． kn＋2017
【详解】(1)∵h(1)＝，∴h(2)＝h(1)·h(1)＝×＝.
(2)∵h(1)＝k，∴h(2)＝h(1)·h(1)＝k2，
∴h(3)＝h(1)·h(2)＝k3，
同理可得h(4)＝k4，h(5)＝k5……∴h(n)＝kn.
∴h(n)·h(2017)＝h(n＋2017)＝kn＋2017.
故答案为（1）；（2）kn＋2017.
点睛：本题考查了同底数幂的乘法，定义新运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
10．
【分析】先根据积的乘方进行变形，再比较28和38的大小，最后比较即可．
【详解】解：，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，能灵活根据积的乘方进行变形是解此题的关键．
11．
【分析】先利用积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，然后根据幂的乘方将式子变形，再代入数据计算即可．
【详解】解：∵n为正整数，且，
∴
．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12．x=-2
【分析】根据积的乘方，可得同底数的幂，根据同底数的幂相等，可得答案．
【详解】由 3x＋1×2x－3x×2x＋1＝63x＋4,
得3×3x×2x－2×3x×2x＝63x＋4，
则 3×6x－2×6x＝63x＋4,
所以6x＝63x＋4，
则有x＝3x＋4，解得x＝－2.
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，利用积的乘方得出x＝3x＋4是解题关键．
13．（1）；（2）48
【分析】（1）利用同底数幂的乘法的法则进行整理，可得到关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可．
【详解】解：（1），且，
，
，
解得：；
（2）当时，
．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，对相应的运算法则的掌握与运用是解题的关键．
14．
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，解决本题的关键是转化为同底数幂的乘法．
15．（1）；（2）8；（3）144
【分析】（1）将待求式转化为含有x3m，y3n的式子后整体代入计算；
（2）（3）利用积的乘方与幂的乘方的逆运算对所求式子化简，然后代入计算即可.
【详解】解：（1）∵，，
∴
；
（2）∵，
∴，
∴
；
（3）∵，，
∴
．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，掌握其运算法则是解决此题的关键．
16．
【分析】根据，，，将的式子进行变形，即可用含、的代数式表示，本题得以解决．
【详解】解：，
，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查幂的运算法则、负整数指数幂，解题的关键是明确题意，巧妙变形，用相应的代数式表示出．
17．(1)1；
(2)当时，；当时，；当时，，见解析．
【分析】（1）根据已知条件可得，代入可求的值；
（2）根据作差法得到，分三种情况：当时；当时；当时进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：（1）∵①，②，
∴得，，
∴；
得，．
（2）∵（，且n是整数），
∴，
∴，
又由（1）中得，，
得，，
∴，
，
∴，
∴③，
④，
∴得，
∴，
∴，
当时，即；
当时，即；
当时，即．
【点睛】本题考查了负整数指数幂：（，p为正整数），关键是加减消元法和作差法的熟练掌握．
18．①2，②5，③2
【分析】①先化为同底数幂相乘，再根据指数相等列出方程求解即可；
②先逆运用积的乘方的性质以及幂的乘方的性质，然后根据指数相等列式计算即可得解；
③先把化为，然后求出的值为8，再进行计算即可得解．
【详解】解：①原方程可化为，，
∴，
∴，
解得；
②原方程可化为，，
∴，
∴，
解得；
③原方程可化为，，
∴，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了幂的乘方的性质，积的乘方的性质，是基础题，熟练掌握并灵活运用各性质是解题的关键．
19．（1）2，4，6；（2）log24+log216=log264；（3）logaM+logaN=loga（MN）；（4）证明见解析.
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；
（3）有特殊到一般，得出结论：logaM+logaN=loga（MN）；
（4）首先可设logaM=b1，logaN=b2，再根据幂的运算法则：an am=an+m以及对数的含义证明结论．
【详解】（1）∵22=4，∴log24=2，
∵24=16，∴log216=4，
∵26=64，∴log264=6；
（2）4×16=64，log24+log216=log264；
（3）logaM+logaN=loga（MN）；
（4）证明：设logaM=x，logaN=y，
则ax=M，ay=N，
∴MN=ax ay=ax+y，
∴x+y=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法应用，本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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