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重难点拓展训练三 利用乘法公式计算
1．已知，则的值是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．若x﹣y＝2，x2+y2＝4，则x2020+y2020＝( )
A．4 B．20202 C．22020 D．42020
3．a1，a2，…，a2022都是正数，如果M＝（a1+a2+…+a2021）（a2+a3+…+a2022），N＝（a1+a2+…+a2022）（a2+a3+…+a2021），那么M，N的大小关系是（　　）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
4．观察：，，，据此规律，当时，代数式的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．不论x、y为什么实数，代数式的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数
6．已知，，，那么代数式的值是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．化简：6（7＋1）（72＋1）（74＋1）（78＋1）（716＋1）＋1＝ ．
8．计算的结果是 ．
9．若，则的值为 ．
10．已知，则 ， ．
11．计算：（1） ；
（2） ．
12．小丽在计算时，把写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算： ．
13．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
14．长方形中相邻两边的长分别是，．若．求这个长方形的面积．
15．当n为自然数时，能被16整除吗？请说明理由．
16．两个不相等的实数m，n满足m2+n2＝40．
（1）若m+n＝﹣4，求mn的值；
（2）若m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，求m+n和k的值．
17．若x、y满足，，求下列各式的值．
（1）
（2）．
18．已知a－b＝7，ab＝－10.求：
(1)a2＋b2的值；
(2)(a＋b)2＋2(a－b)2的值．
19．符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为： ．例如：
．依据以上法则，化简下列二阶行列式：．
20．如果，那么称b为n的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系．
(1)根据定义，填空： ， ；
(2)劳格数具有如下性质：，根据运算性质，填空：① （a为正数）；②若， ， ．
21．你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
探究发现：先填空：
______；
______；
______；…
由此猜想：______．
拓展应用：利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？
①求的值；
②若，求等于多少？
22．在求1+2+22+23+24+25+26的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍，于是他设：S=1+2+22+23+24+25+26①然后在①式的两边都乘以2，得：2S=2+22+23+24+25+26+27 ②；②﹣①得2S﹣S=27﹣1，S=27﹣1，即1+2+22+23+24+25+26=27﹣1．
（1）求1+3+32+33+34+35+36的值；
（2）求1+a+a2+a3+…+a2013（a≠0且a≠1）的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】，把看成一个整体，代入方程求解即可．
【详解】∵
∴，
即，
整理易得∶，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查利用完全平方公式和整体思想进行计算．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
2．C
【分析】把x-y=2两边平方，将代入得到xy=0，进而确定x,y的值，即可进行求解.
【详解】∵∴() =-2xy=4，
∵，
∴xy=0
∴x=0或y=0,即x=2时，y=0，x=0时，y=-2，
∴=
故选C.
【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形.
3．A
【分析】设S＝a2+a3+…+a2021，表示出M与N，利用作差法比较大小即可．
【详解】解：设S＝a2+a3+…+a2021，则M＝（a1+S）（S+a2022）＝a1S+Sa2022+S2+a1a2022，
N＝（a1+S+a2022）S＝a1S+Sa2022+S2，
∴M﹣N＝（a1S+Sa2022+S2+a1a2022）﹣（a1S+Sa2022+S2）＝a1 a2022＞0（a1，a2，…，a2022都是正数），
∴M＞N，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查整式的乘法和比较大小，利用整体换元将整式化简，然后利用作差法比较大小是解决本题的关键．
4．D
【分析】由已知等式为0确定出x的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：．
根据规律得：．
．
．
．
．
当时，原式．
当时，原式．
故选：．
【点睛】本题考查通过规律解决数学问题，发现规律，求出x的值是求解本题的关键．
5．A
【分析】把代数式利用配方法化成两个完全平方和的形式，再进行求解即可．
【详解】解：，
∵，，
∴，
∴，
故不论、为何实数，代数式恒成立．
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法、完全平方公式及非负数的性质，解题的关键是利用配方法把代数式化成两个完全平方和的形式．
6．B
【分析】代数式乘以 ，然后利用两个数的差的平方的形式进行化简，代入求解即可．
【详解】
故答案为：B．
【点睛】本题考查了整式的化简运用，化简成两个数的差的平方的形式会让运算更加的简便．
7．
【详解】原式=（7-1）（7＋1）（72＋1）（74＋1）（78＋1）（716＋1）＋1
=（72-1）（72+1）（74+1）（78+1）（716＋1）+1
=（74-1）（74+1）（78+1）（716＋1）+1
=（78-1）（78+1）（716＋1）+1
=（716-1）（716＋1）+1
=732-1＋1
=732
8．4
【分析】运用平方差公式进行简便运算．
【详解】解：原式
．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查平方差公式：，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．熟记公式结构是解题的关键．
9．9
【分析】将变形成，因为，所以．
【详解】解：由题意可知：，
∵，
∴．
故答案为：9．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是将原式变形：．
10． 2 0
【分析】已知，两边分别平方可求得，再进行求解即可得出答案．
【详解】解：∵，两边平方得：，即：，
∴对其两边进行平方得：：，即：，，
∵，
∵，
∴，
故．
故答案为：2，0．
【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，难度适中，关键是熟练灵活运用完全平方公式进行解题．
11． ##
【分析】（1）先化成指数相同的幂相乘，再利用积的乘方的性质的逆用计算即可；
（2）先写成20与的和与差的积，再根据平方差公式进行计算．
【详解】解：（1），
，
，
；
（2）原式，
，
．
【点睛】本题考查了积的乘方的性质的逆用和平方差公式，整理成性质和公式的形式是解题的关键．
12．2
【分析】原式在前面添加， 利用平方差公式即可求解．
【详解】
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查平方差公式：，掌握公式的应用是解题的关键．
13．(1)39
(2)
(3)
【分析】根据完全平方公式以及立方和公式变形求值即可
【详解】（1），
（2）
（3），
【点睛】本题考查了完全平方公式以及立方和公式变形求值，掌握乘法公式是解题的关键．
14．
【分析】根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．
【详解】设，，则，
∴，
∴
∵长方形的两邻边分别是，，
∴这个长方形的面积．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15．能被16整除，见解析
【分析】用平方差公式进行分解因式可得．
【详解】解：∵
，且n为自然数
∴能被16整除
【点睛】本题考查因式分解的应用，关键是能用平方差公式熟练分解因式．
16．（1）﹣12；（2）6，2
【分析】（1）利用配方法可得m2+2mn+n2＝16，再代入m2+n2＝40即可求mn的值．
（2）根据m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，可得m2+n2﹣6（m+n）＝[（m+n）﹣3]2﹣2mn﹣9＝2k，代入m2+n2＝40，可得（m+n）2﹣2mn＝40，即k＝20﹣3（m+n），再根据m2﹣6m﹣n2+6n＝0可求m+n的值，代入即可求出k的值．
【详解】解：（1）∵m+n＝﹣4，
∴（m+n）2＝16，
m2+2mn+n2＝16，
∵m2+n2＝40，
∴40+2mn＝16，
∴mn＝﹣12；
（2）∵m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，
∴m2﹣6m+n2﹣6n＝2k，
m2+n2﹣6（m+n）＝[（m+n）﹣3]2﹣2mn﹣9＝2k，
∵m2+n2＝40，
∴（m+n）2﹣2mn＝40，
∴k＝20﹣3（m+n），
∵m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，
∴m2﹣6m﹣n2+6n＝0，则（m+n）（m﹣n）﹣6（m﹣n）＝0，
∵m、n不相等，
∴m+n＝6，
∴k＝2．
【点睛】本题考查了代数式的运算问题，掌握配方法和代入法是解题的关键．
17．（1）；（2）．
【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）∵，，
∴
；
（2）∵，，
∴
．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
18．(1)29 ;(2)107
【分析】（1）根据a﹣b=7，ab=﹣10，通过变形可以求得a2+b2的值；
（2）根据a﹣b=7，ab=﹣10，可以求得）（a+b）2和（a﹣b）2的值，从而可以解答本题．
【详解】（1）∵a﹣b=7，∴（a﹣b）2=49，∴a2﹣2ab+b2=49．
∵ab=﹣10，∴a2﹣2×（﹣10）+b2=49，∴a2+b2=29；
（2）∵a﹣b=7，∴（a﹣b）2=49，∴a2﹣2ab+b2=49，∴a2+2ab+b2﹣4ab=49，∴（a+b）2﹣4ab=49，∴（a+b）2=49+4ab．
∵ab=﹣10，∴（a+b）2=9，∴（a+b）2+2（a﹣b）2
=9+2×49
=9+98
=107．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用完全平方公式解答．
19．-13x4y7
【详解】试题分析：根据二阶行列式的运算规律，结果等于对角两数乘积的差列式，然后计算即可.
试题解析：
点睛：本题考查了同底数幂的乘法与合并同类项法则，是信息题，立意较新颖，关键要抓住“结果为两对角的数的积的差”．
20．(1)1，
(2)①2；②，
【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可．
（2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可．
②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可．
【详解】（1）由新定义可得，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
故答案为：1，；
（2）① ；
故答案为：；
②∵，
∴；
由题意得，，
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握．
21．探究发现：；拓展应用：①；②．
【分析】探究发现：利用多项式乘以多项式法则及平方差公式化简即可得到结果，再归纳出规律即可；
拓展应用：①利用归纳总结得到，即可求出所求式子的结果；②利用得出的结论可得，从而可得到结果．
【详解】探究发现：；
；
；
……
由此猜想：，
故答案为：；
拓展应用：①，
由于，
∴；
② ∵
∴
∴，
∴（a=1时，与已知条件不符，正值舍去）
∴．
【点睛】本题考查的是多项式的乘法运算中的规律探究，掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题．
22．（1）1093.5（2）
【分析】（1）将1+3+32+33+34+35+36乘3，减去1+3+32+33+34+35+36，把它们的结果除以3﹣1=2即可求解；
（2）将1+a+a2+a3+…+a2013乘a，减去1+a+a2+a3+…+a2013，把它们的结果除以a﹣1即可求解．
【详解】解：（1）1+3+32+33+34+35+36
=[（1+3+32+33+34+35+36）×3﹣（1+3+32+33+34+35+36）]÷（3﹣1）
=[（3+32+33+34+35+36+37）﹣（1+3+32+33+34+35+36）]÷2
=（37﹣1）÷2
=2187÷2
=1093．5；
（2）1+a+a2+a3+…+a2013（a≠0且a≠1）
═[（1+a+a2+a3+…+a2013）×a﹣（1+a+a2+a3+…+a2013）]÷（a﹣1）
=[（a+a2+a3+…+a2013+a2014）﹣（1+a+a2+a3+…+a2013）]÷（a﹣1）
=（a2014﹣1）÷（a﹣1）
=．
【点睛】本题考查数字类的规律探索，有理数的混合运算，分式的运算，正确理解题意正确计算是本题的解题关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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