资源简介

重难点拓展训练一 三角形中的特殊线段
1．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．如图，△ABC中，∠ACB>90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段 是△ABC中AC边上的高.
3．如图，在△ABC中，D、E分别为边BC，AC的中点，，则其中阴影部分的面积是 ．
4．如图所示，已知△ABC的周长为21 cm，AB＝6 cm，BC边上中线AD＝5 cm，△ABD的周长为15 cm，求AC的长．
5．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE 中BD边上的高为多少？
6．如图，在中，于F，于E，M为的中点．
(1)若＝4，＝10，求的周长；
(2)若，，求的度数．
7．如图，在中（），，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长．
8．如图，AD是∠CAB的角平分线，DEAB，DFAC，EF交AD于点O．请问：
(1)DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
(2)若将结论与AD是∠CAB的角平分线、DEAB、DFAC中的任一条件交换，所得命题正确吗？
9．(1)如图①，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°.求∠DAE的度数；
(2)如图②，已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，延长AE至点F，过点F作FD⊥BC于点D，若∠B＝x°，∠C＝(x＋36)°.
①∠CAE＝________(含x的代数式表示)；
②求∠F的度数．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．求：
(1)∠BAE= 度；
(2)∠DAE= 度；
(3)探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
11．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
(1) 如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是　 　°；
②当∠BAD=∠ABD时，x=　 　°；当∠BAD=∠BDA时，x=　 　°．
(2) 如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
12．如图（1），中，是角平分线，于点E．
(1)若，求的度数；
(2)若，试说明；
(3)如图（2）若将点A在移动到处，于点E．此时变成，（2）中的结论还正确吗？为什么？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】①根据等底等高的两个三角形面积相等即可判断；②根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角性质即可推出；③根据等腰三角形的判定方法即可判断；④根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断．
【详解】解：∵BE是中线，
∴，
∴(等底等高的两个三角形面积相等)，故①正确；
∵是角平分线，
∴，
∵是高，
∴，
∵，
，
，
，故②正确；
根据已知条件不能推出，故③错误；
∵是高，
∵是角平分线，
即，故④正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的角平分线，中线和高性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的角平分线，中线和高性质，三角形内角和定理．
2．BE##EB
【分析】根据三角形的高线的定义解答即可．
【详解】根据图形可得，BE是△ABC中AC边上的高．
故答案为：BE．
【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．
三角形的高线：从三角形一个端点向它的对边所在的直线作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高．
3．12
【分析】先根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：分别为边的中点，
，
，
，
又，
，
即其中阴影部分的面积是12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了与三角形中线有关的面积计算，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．
4．7cm.
【分析】先根据△ABD周长为15cm，AB=6cm，AD=5cm，由周长的定义可求BC的长，再根据中线的定义可求BC的长，由△ABC的周长为21cm，即可求出AC长．
【详解】解：∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，
∴BD=15-6-5=4cm，
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=8cm，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AC=21-6-8=7cm．
故AC长为7cm．
【点睛】考查了三角形的周长和中线，本题的关键是由周长和中线的定义得到BC的长，题目难度中等．
5．（1）55°；（2）作图见解析；（3）4.
【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；
（2）过E作BC边的垂线即可；
（3）过A作BC边的垂线AG，再根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：（1）∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°；
（2）过E作BC边的垂线，F为垂足，则EF为所求；
（3）过A作BC边的垂线AG，
∴AD为△ABC的中线，BD=5，
∴BC=2BD=2×5=10，
∵△ABC的面积为40，
∴BC AG=40，即×10 AG=40，解得AG=8，
∵EF⊥BC于F，
∴EF∥AG，
∵E为AD的中点，
∴EF是△AGD的中位线，
∴EF=AG=×8=4．
6．(1)的周长为14；
(2)．
【分析】（1）首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进而得出的周长；
（2）根据等腰三角形的性质，得，，再根据三角形的内角和定理求出，，进而求出的度数即可得出答案．
【详解】（1）解：于F，于E，M为的中点，
，，
，,
的周长；
故的周长为14．
（2），
，，
，
，
，
故的度数为．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟练应用以上性质是解题的关键．
7．，
【分析】根据是边上的中线，可以得到，设，，则，．分两种情况讨论：当，时，求出的值，即可确定和的值；当，时，同理可求出和的值，注意检验所得到的答案是否满足三角形的三边关系．
【详解】解：因为是的中线，所以，
设，，则，，
分两种情况讨论：
①，，
则，，
解得，，
即，；
②，，
则，，
解得，，
即，，，
此时，不符合三角形三边关系定理，不符合题意．
综上所述，，．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的定义、三角形的周长和三角形三边关系等知识，解题的关键是利用中线的定义结合三角形周长公式分析问题，并进行分类讨论．
8．(1)是，证明见解析
(2)正确
【分析】（1）DEAB，DFAC，得到平行四边形，因为和DEAB，推出，得出，即可得到答案；
（2）①如和是的角平分线交换，正确，理由与（1）证明过程相似；②如和DFAC交换，根据平行线的性质得到，根据是的角平分线，是的角平分线，推出，由平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理即可求出，根据平行线的判定即可推出答案；③如和AEDF交换，正确理由与②类似．
【详解】（1）解：DO是∠EDF的角平分线，
证明：∵DEAB，DFAC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DEAB，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EAD＝EDA，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AFDE是菱形，
∴DO是∠EDF的角平分线．
（2）解：正确．
①如和AD是∠CAB的角平分线交换，正确，理由与（1）证明过程相似；
②如和DEAB交换，
理由是：∵DFAC，
∴∠FDA＝∠EAD，
∵AD是∠CAB的角平分线，DO是∠EDF的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，∠EDA＝∠FDA，
∴∠EAF＝∠EDF，
∵AEDF，
∴∠AEF＝∠DFE，
∵∠EDF＋∠EFD＋∠DEF＝180°，∠EAF＋∠AEF＋∠AFE＝180°，
∴∠DEF＝∠AFE，
∴DEAB，正确．
③如和AEDF交换，正确理由与②同理．
答：若将结论与AD是∠CAB的角平分线、DEAB、DFAC中的任一条件交换，所得命题正确．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，菱形的判定，平行线的性质和判定，三角形的角平分线，解题的关键是综合运用性质和判定进行证明是解此题的关键．
9．(1)∠DAE=10°；（2）①72°﹣x°，②∠F=18°．
【详解】试题分析：
(1) 要求∠DAE的度数，可以先求得∠CAE和∠CAD的度数再将它们相减. 先根据三角形的内角和求得∠BAC的度数，再根据AE是∠BAC的角平分线这一条件得到∠CAE的度数. 由于AD是△ABC的高，所以通过直角三角形两锐角的关系可以得到∠CAD的度数. 根据上述角的度数即可求得∠DAE的度数.
(2) 根据三角形的内角和，容易用x表示∠BAC. 根据AF平分∠BAC这一条件，不难用x表示∠CAE和∠BAE. 结合上述结果，利用三角形外角的相关结论，可以得到∠AEC的度数. 根据FD⊥BC，利用对顶角和直角三角形两锐角的关系可以得到∠F的度数.
试题解析：
(1) ∵∠B=30°，∠C=50°，
∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°.
∵AE是△ABC的角平分线，即AE平分∠BAC，
∴.
∵AD是△ABC的高，即AD⊥BC，
∴在Rt△ADC中，∠CAD=90°-∠C=90°-50°=40°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°.
(2) ①∵∠B=x°，∠C=(x+36)°，
∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-x°-(x+36)°=(144-2x)°.
∵AF平分∠BAC，
∴.
故本小题应填写：.
②∵AF平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=72°-x°.
∵∠AEC是△ABE的一个外角，
∴∠AEC=∠BAE+∠B=72°-x°+x°=72°，
∴∠FED=∠AEC=72°.
∵FD⊥BC，
∴在Rt△EDF中，∠F=90°-∠FED=90°-72°=18°.
10．(1)40
(2)20
(3)能，过程见解析，
【分析】（1）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义即可得；
（2）先根据直角三角形的两个锐角互余可得，再根据角的和差即可；
（3）先根据三角形的内角和定理、角平分线的定义可得，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得．
【详解】（1）解：在中，，
，
平分，
，
故答案为：40．
（2）解：，
，
由（1）已得：，
，
故答案为：20．
（3）解：能，求解过程如下：
平分，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
11．（1）①20，②120，60；（2）存在，x=20、35、50、125．
【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠ABO的度数；
②根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和，可得x的值；
（2）分两种情况进行讨论：当点D在线段OB上，点D在射线BE上时，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．
【详解】解：①∵∠MON=40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=20°；
②∵∠BAD=∠ABD，
∴∠BAD=20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=120°，
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°，
∴∠BAD=80°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=60°；
故答案为：①20°； ②120，60；
（2）①当点D在线段OB上时，
∵OE是∠MON的角平分线，
∴∠AOB=∠MON=20°，
∵AB⊥OM，
∴∠AOB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=70°，
若∠BAD=∠ABD=70°，则x=20，
若∠BAD=∠BDA=（180°-70°）=55°，则x=35，
若∠ADB=∠ABD=70°，则∠BAD=180°-2×70°=40°，
∴x=50；
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x=20、35、50、125．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
12．(1)15°；
(2)见解析
(3)（2）中的结论仍正确，理由见解析
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，在中，利用三角形内角和求出的度数，从而可得的度数；
（2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可；
（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用和表示出，再根据三角形的内角和定理可证明．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：（2）中的结论仍正确，理由如下：
在中，，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑