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7.1 探索直线平行的条件
知识点一、认识同位角、内错角、同旁内角
两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，如图所示：
1.同位角：如图所示，像∠1与∠2这样的一对角称为同位角，
位置特征：在两条被截直线同一方，在截线同侧；
图形结构特征：形如字母“F”（或倒置、反置、旋转）.
2.内错角：如图所示，像∠7与∠2这样的一对角称为内错角；
位置特征：在被截的两条直线之间，在截线两旁（交错）；
图形结构特征：形如字母“Z”（或倒置、反置、旋转）.
3.同旁内角：如图所示，像∠7与∠6这样的一对角称为同旁内角；
位置特征：在被截的两条直线之间，在截线同侧；
图形结构特征：形如字母“U”（或倒置、反置、旋转）.
PS：（1）同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，它们之间的大小关系是不确定的；
（2）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，都没有公共顶点，“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.
例：
1．下列图中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
知识点二、两条直线平行的条件
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠3＝∠2
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠4＋∠2＝180°
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.
除了 三个判定方法外，我们还可以通过平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线），平行的传递性（平行于同一条直线的两条直线互相平行）来进行判定.
例：
2．如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件：①∠3=∠6；②∠1=∠8；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠1=180°．其中能判断a∥b的是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①②
一．选择题（共10小题）
3．如图，∠A的同位角是（ ）
A．∠BOE B．∠AOE C．∠BOD D．∠AOD
4．如图所示，直线、被、所截，下列条件中能说明的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，下列条件中，能判断AD//BE的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，若要使AD∥BC，则可以添加条件（ ）
A．∠2＝∠3 B．∠B＋∠BCD＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠3
7．如图，有以下四个条件：①∠B＋∠BCD＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝∠5，其中能判定AB∥CD的条件的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠5＝∠6；④∠DAB＋∠2＋∠3＝180°，其中不能判断AD//BC的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．已知与是内错角，则（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
10．如图，点，，分别在的边，，上，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，下列不能判定的条件是（ ）
A． B． C． D．
12．将两个形状相同，大小不同的三角板按如图所示方式放置，C是公共顶点，且，．对于下列三个结论，①；②；③如果，那么AB//CB′．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二．填空题（共10小题）
13．如图，①∠1＝∠2，②∠3＋∠1＝180°，③∠1＝∠4，④∠2＝∠5，则上述条件可以推出a//b的是 （写出所有正确的序号）．
14．如图，直线a、b被c所截，，当 °时，
15．如图，点E在AC的延长线上，对于下列给出的四个条件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠A=∠DCE；④∠D＋∠ABD=180°．能判断AB∥CD的是 ．（填正确条件的序号）
16．如图，直线a和b被直线c所截，∠1＝110°，当∠2＝ 时，直线ab成立
17．如图，现给出下列条件：①∠1＝∠B，②∠2＝∠5，③∠3＝∠4，④∠BCD+∠D＝180°，⑤∠B+∠BCD＝180°，其中能够得到AB∥CD的条件有 ．（填序号）
18．如图，∠1+∠2＝240°，∠1+∠3＝240°，则b与c的关系是 ．
19．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 时，CD与AB平行．
20．如图，∠1和∠3是直线 和 被直线 所截而成的 角；图中与∠2是同旁内角的角有 个．
21．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数比为：，差为，那么这两条直线的位置关系是 ，这是因为 ．
22．如图，因为（已知），因为，( )，所以，所以( )．
三．解答题（共12小题）
23．已知：如图，CD⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为D，G，点E在AC上，且∠1=∠2，那么DE与BC平行吗？为什么？
24．如图，已知．试说明．
(1)；
(2)．
25．如图，E、F分别在AB、CD上，∠1=∠D，∠2与∠C互余，EC⊥AF．求证：AB∥CD．
26．如图：，求证：．
27．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC．判断BE、DF是否平行，并说明理由．
28．已知：如图，，．
求证：∥．
29．如图，若，求证：．
30．阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证∠A＝∠F
证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DGF（　 　）
∴∠1＝∠DGF（等量代换）
∴　 　∥　 　（　 　）
∴∠3+∠　 　＝180°（　 　）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠C＝180°（等量代换）
∴　 　∥　 　（　 　）
∴∠A＝∠F（　 　）
31．如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)试猜想∠2与∠3的数量关系，并说明理由．
32．如图，MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1=140°，，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．
33．完成下面的证明
如图，平分，平分，且，求证：．
完成推理过程
∵平分（已知），
∴（　　）．
∵平分（已知），
∴ （　　）
∴（　　）
∵（已知），
∴（　　）．
∴（ ）．
34．如图，直线，垂足为O，与直线a、b分别交于点E、F，且，分别平分和．
(1)填空：　　；
(2)求证：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据同位角的意义，结合图形进行判断即可．
【详解】解：选项A中的两个角是同旁内角，因此不符合题意；
选项C中的两个角既不是同位角、也不是内错角、同旁内角，因此不符合题意；
选项D不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
只有选项B中的两个角符合同位角的意义，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同位角的意义，掌握同位角的意义是正确判断的前提．
2．B
【分析】利用同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行即可得到正确的选项．
【详解】解：①∵∠3=∠6，
∴a∥b，本选项符合题意；
②∵∠1=∠7，∠1=∠8，
∴∠7=∠8，
∴a∥b，本选项符合题意；
③∵∠4+∠7=180°，∠4=∠6，
∴∠6+∠7=180°，
∴a∥b，本选项正符合题意；
④∵∠5+∠1=180°，
不能判定a∥b，本选项不符合题意，
则其中能判断a∥b的是①②③．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
3．A
【分析】根据同位角的定义，可得答案．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【详解】解：根据同位角的定义，由图可知∠A的同位角是∠BOE．
故选：A．
【点睛】本题考查了同位角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
4．C
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】，
∴（同位角相等，两直线平行），
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并灵活运用．
5．D
【分析】根据平行线的判定方法即可求解.
【详解】A. 不能判定AD//BE；
B. 不能判定AD//BE；
C. 可得AB∥CD，故错误；
D. ，所以AD//BE
【点睛】此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知同旁内角互补，两直线平行.
6．C
【分析】根据平行线的判定定理进行逐项分析验证即可．
【详解】解：A、∠2与∠3是AB和DC被AC所截形成的内错角，因此，∠2＝∠3时，可推出AB∥DC，不符合题意；
B、∠B与∠BCD是AB和DC被BC所截形成的同旁内角，因此，∠B＋∠BCD＝180°时，可推出AB∥DC，不符合题意；
C、∠1与∠4是AD和BC被AC所截形成的内错角，因此，∠1＝∠4时，可推出AD∥BC，符合题意；
D、∠1与∠3不具有特殊位置关系，即使相等也无法说明AD∥BC，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．
7．C
【分析】根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
【详解】解：①∵∠B＋∠BCD＝180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD；
∴能得到AB∥CD的条件是①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定定理：1.同旁内角互补，两直线平行；2.同位角相等，两直线平行；3.内错角相等，两直线平行.
8．B
【分析】根据平行线的判定条件，三角形外角的性质，逐项判断即可．
【详解】∵∠1＝∠2，
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行），故①不符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行），不能证明AD//BC，故②符合题意；
∵∠2＋∠5＝∠6，∠6＝∠2＋∠BCA，
∴∠5＝∠BCA，
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行），故③不符合题意；
∵∠DAB＋∠2＋∠3＝180°，即∠DAB＋∠CBA＝180°，
∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行），故④不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定，三角形外角的性质．熟练掌握平行线的判定条件是解题关键．
9．D
【分析】根据内错角的定义和平行线的性质判断即可．
【详解】解：∵只有两直线平行时，内错角才可能相等，
∴根据已知∠1与∠2是内错角可以得出∠1=∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2，
三种情况都有可能，
故选：D．
【点睛】本题考查了内错角和平行线的性质，能理解内错角的定义是解此题的关键．
10．C
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法进行判断即可．
【详解】解：A．若，则（同旁内角互补，两直线平行）；
B．若，则（内错角相等，两直线平行）；
C．若，则（同位角相等，两直线平行）；
D．，则（同位角相等，两直线平行）；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解决问题的关键．
11．C
【分析】直接根据平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A.与是同位角，由同位角相同可判断，故选项A正确，不符合题意；
B. 与是内错角，由内错角相等可判断，故选项B正确，不符合题意；
C.由可判断，不能判断，故此选项符合题意；
D. ，由同旁内角互补两直线平行可得，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的判断，熟练掌握平行线的判定定理是解答此题的关键．
12．D
【分析】根据三角形的内角和及外交定理，还有平行线的判断求解．
【详解】如图，延长AC到点F，
根据邻补角的定义得：∠FCB′+∠ACB'=108°．
根据同角的余角相等得：∠FCB=∠1，
所以有∠1+∠ACB'=180°，
故①正确．
由“8”字形可得：∠A′DA+∠A′=∠A+∠A′CA，
∴180°-∠B'DA+30°=90°-∠1+30°，
∴∠B'DA-∠1=90°，
故②正确．
如果∠1=30°，则∠BCB′=60°=∠B．
∴AB∥CB'．
故③正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了有关三角形角得计算及平行线的判定，解题得关键是灵活运用三角形的内角和和外角定理．
13．②③④
【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可．
【详解】解：如图，
①当∠1=∠2时，由内错角相等，两直线平行得c∥d，故①不符合题意；
②当∠3+∠1=180°时，可得∠6+∠7=180°，由同旁内角互补，两直线平行得a∥b，故②符合题意；
③当∠1=∠4时，可得∠1=∠6，由同位角相等，两直线平行得a∥b，故③符合题意；
④当∠2=∠5时，由同位角相等，两直线平行得a∥b，故④符合题意；
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
14．50
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行求解即可．
【详解】解： 由题意得∠1与∠2是同旁内角，
∴当∠1+∠2=180°时，
∵∠1=130°，
∴当∠2=50°时，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
15．②③④
【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可．
【详解】解：①如果∠3=∠4，那么AC∥BD，故①错误；
②∠1=∠2，那么AB∥CD；内错角相等，两直线平行，故②正确；
③∠A=∠DCE，那么AB∥CD；同位角相等，两直线平行，故③正确；
④∠D+∠ABD=180°，那么AB∥CD；同旁内角互补，两直线平行，故④正确．
综上分析可知，正确的有②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查的是平行线的判定，正确的掌握和应用平行线的判定方法是解题的关键．
16．70°
【分析】根据平行的判定，要使直线ab成立，则∠2=∠3，再根据∠1＝110°，即可把∠2的度数求解出来．
【详解】解：要使直线ab成立，则∠2=∠3（同位角相等，两直线平行），
∵∠1＝110°，
∴∠3＝180°-∠1=180°-110°=70°，
∴∠2=∠3=70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定（同位角相等，两直线平行），掌握直线平行的判定方法是解题的关键．
17．①②⑤
【分析】根据平行线的判定方法逐一判断即得答案
【详解】解：①若∠1＝∠B，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD；
②若∠2＝∠5，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD；
③若∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，但不能得出AB∥CD；
④若∠BCD+∠D＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AD∥BC，但不能得出AB∥CD；
⑤若∠B+∠BCD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AB∥CD；
综上，能够得到AB∥CD的条件有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【点睛】本题考查了平行线的判定，属于基础题目，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
18．b∥c．
【分析】由∠1和∠2是对顶角，即∠1=∠2，结合∠1+∠2＝240°，可求得∠1=∠2＝120°，又由∠1+∠3＝240°，即可求得∠3＝120°，然后根据同位角相等，两直线平行即可完成解答.
【详解】解：∵∠1+∠2＝240°，∠1＝∠2，
∴∠1=∠2＝120°，
又∵∠1+∠3＝240°
∴∠3＝120°
∴∠1=∠3
∴b∥c．
故答案为b∥c．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线判定的三条常见定理，即：一个①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。
19．2秒或38秒
【分析】分情况讨论：①AB与CD在EF两侧，分别表示出与,然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可求解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可求解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可求解
【详解】存在．分三种情况：
①如图，AB与CD在EF的两侧且CD在EF左侧时：
，
∴　0＜t＜20，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴，，
要使，则∠ACD＝∠BAF，
即，
解得t＝2符合要求
② CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
，
∴，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴，∠BAC＝110°﹣t°，
要使，则∠DCF＝∠BAC，
即，
解得t＝38
③ CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
此时t＞50，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴，∠BAC＝t°﹣110°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°，
解得t＝38，
∵ 38＜50，
∴ 此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为2秒或38秒时，CD与AB平行．
故答案为：2秒或38秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键，要注意分类讨论．
20． AB AC DE 内错 3
【分析】根据内错角和同旁内角的定义得出即可．
【详解】解：∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；图中与∠2 是同旁内角的角有∠6、∠5、∠7，共3个.
故答案为AB；AC；DE；内错；3．
【点睛】此题考查同位角、内错角、同旁内角等知识点，能根据图形找出各对角是解题的关键.
根据内错角和同旁内角的定义得出即可.
21． 平行 同旁内角互补，两直线平行
【分析】根据已知可求得两角的度数，从而根据同旁内角互补两直线平行判定两直线的关系．
【详解】解：一组同旁内角的度数比为：，差为
设较小的角为：，则较大的为
：：
，
即同旁内角互补．
这两条直线的位置关系是平行
答案为：平行，同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】此题主要考查学生对平行线的判定的理解及运用能力，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
22． 对顶角相等 同旁内角互补两直线平行
【分析】因为满足关于直线的同旁内角互补，两直线平行的判定条件，又由已知可得，既满足的判定条件．
【详解】解：因为（已知），
因为，（对顶角相等），
所以，
所以（同旁内角互补两直线平行）．
【点睛】本题考查了同旁内角互补，两直线平行的判定条件以及对顶角的性质，能够根据题意选择合适的平行线的判定是解决本题的关键．
23．理由见解析
【分析】先证明，可得∠2=∠DCB，再证明∠1=∠DCB即可得到结论．
【详解】解： 理由如下：
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴，
∴∠2=∠DCB
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠DCB
∴
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，掌握“平行线的判定方法”是解本题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据同位角相等两直线平行进行判断即可；
（2）由（1）知CE∥BF再根据平行线的性质与判定证AB∥CD，最后根据两直线平行内错角相等得证．
【详解】（1）证明：∵∠1＝62°，∠1+∠BHD＝180°，
∴∠BHD＝118°，
∵∠2＝118°，
∴∠BHD＝∠2，
∴CE∥BF；
（2）∵CE∥BF，
∴∠B＝∠AEC，
∵∠B＝∠C，
∴∠AEC＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理．
25．见解析．
【分析】由EC⊥AF可得∠1+∠C=90°，根据同角的余角相等可得∠1=∠2，等量代换得∠2=∠D，故AB//CD．
【详解】证明：∵EC⊥AF，
∴∠1+∠C=90°，
又∵∠2+∠C=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠D，
∴∠2=∠D，
∴AB//CD．
【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．注意同角的余角相等及等量代换的应用．
26．见解析
【分析】过点作直线平行，根据平行线的性质，等量代换，即可证明．
【详解】过点作直线平行，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是两直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．
27．平行，理由见解析
【分析】根据角平分线的计算得出∠ADF=∠FDC，∠ABE=∠CBE，再由等角的余角相等得出∠AFD=∠ABE，利用平行线的判定即可证明．
【详解】解：BEDF，理由为：
四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC＋∠ABC=180°，∠ADF＋∠AFD=90°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠FDC，∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE＋∠ADF=90°，
∵∠AFD＋∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠ABE，
∴BEDF．
【点睛】题目主要考查平行线的判定定理及角平分线的计算，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
28．见解析
【分析】首先根据得出GD∥AC，根据平行线的性质得出，由已知条件得出，，根据平行线的判定，即可得出∥EF．
【详解】证明：∵，
∴GD∥AC，
∴，
又∵，
∴，
∴∥EF．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质与判定定理．平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补；平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
29．证明见详解
【分析】过点E作EF∥AB，可得∠1+∠MEF=180°，再根据∠1+∠MEN+∠2=360°，可得∠FEN+∠2=180°，根据同旁内角互补，可得出EF∥CD，进而得到AB∥CD．
【详解】证明：如图，过点E作EF∥AB，则∠1+∠MEF=180°，
∵∠1+∠MEN+∠2=360°，
∴∠FEN+∠2=180°，
∴EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
又∵EF∥AB，
∴AB∥CD．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握：同旁内角互补，两直线平行．
30．对顶角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角互补；AC，DF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【分析】先证明BD∥CE，得出同旁内角互补∠3+∠C=180°，再由已知得出∠4+∠C=180°，证出 AC∥DF，即可得出结论．
【详解】∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DGF（对顶角相等）
∴∠1＝∠DGF（ 等量代换 ）
∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行）
∴∠3+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠C＝180°
∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）.
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键，注意两者的区别．
31．(1)证明见解析；
(2)∠2+∠3=90°，理由见解析
【分析】（1）已知、平分、，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行．
（2）已知，即；那么，将等角代换，即可得出与的数量关系．
【详解】（1）证明：、平分、，
，；
，
；
；（同旁内角互补，两直线平行）
（2）解：平分，
；
，
；
；
．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，解题的关键是掌握相应的判定定理．
32．AB∥CD，理由见解析
【分析】延长MF交CD于点H，利用平行线的判定证明．
【详解】解：延长MF交CD于点H，
∵∠1=90°+∠CHF，∠1=140°，∠2=50°，
∴∠CHF=140°-90°=50°，
∴∠CHF=∠2，
∴AB∥CD．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和外角定理，解题的关键是作出适当的辅助线求解．
33．角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
【分析】首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
【详解】证明：平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）
∴（等量代换）
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同旁内角互补两直线平行）．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．
34．(1)180°
(2)见解析
【分析】（1）根据四边形的内角和解答即可；
（2）根据四边形的内角和得出，由角平分线的定义得出，过C点作，由平行线的性质与判定即可得出结论．
【详解】（1）解：在四边形中
由，，
得，
故答案为：180°；
（2）证明：在四边形中
∵，，
得，
∵，
，
∴
，
∵分别平分和，
∴， ，
∴，
过C点作，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
答案第1页，共2页
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