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7.2 探索平行线的性质
知识点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补．
PS：只有当两直线平行时，才会有同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补．
例：
1．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
知识点二、平行线的判定与性质的区别
条件 结论 作用
判定 同位角相等 两直线平行 由角的数量关系确定直线的位置关系
内错角相等 两直线平行
同旁内角互补 两直线平行
性质 两直线平行 同位角相等 由直线位置关系得到角的数量关系
两直线平行 内错角相等
两直线平行 同旁内角互补
从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
例：
2．下列说法中：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②同旁内角互补，两直线平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段就是这个点到这条直线的距离；
④同一平面内两条不相交的直线一定平行．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
巩固练习
一、选择题（共10小题）
3．将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若，则度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．32° C．42° D．58°
8．如图所示，直线，射线AB分别交直线于点B，C，于点A，若则的度数为（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
9．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（　　）
A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝90° C．α+β+γ＝180° D．β+γ﹣α＝90°
10．如图，直线，于点C，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，AB∥CD，BF交CD于点E，AE⊥BF，∠CEF＝35°，则∠A是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
12．将一副直角三角板如图放置，已知∠B＝60°，∠F＝45°，，则∠CGD＝（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
二、填空题（共10小题）
13．如图，且被直线所截，，则的度数是 ．
14．如图，ABCD，MF与AB、CD分别交于点E、F，∠CFE的平分线FG交AB于点G，若∠MEG=，则∠EGF的度数为 ．
15．如图，直线a∥b，EF⊥CD于点F，∠2=65°，则∠1的度数是 ．
16．如图，，，，则的度数为 ．
17．如图，直线被直线所截，分别交于点A和点B，过点B的直线交于点C．若，则 ．
18．如图，和的角平分线交于点E，延长交于点F，，则 ．
19．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=65°，则∠2= ．
20．如图，直线AB、CD被EF所截，若∠1 =∠2，则∠AEF +∠2 = ．
21．如图，直线ABCD，AB平分，若，则 ．
22．如图，将长方形纸片沿BD所在直线折叠，得到，与交于点E，若，则的度数为 ．
三、解答题（共10小题）
23．推理填空：如图，，，，试说明．
理由：∵（已知），
∴__________（ ）∴__________，
∵（已知），∴__________，又∵（已知），
∴__________+__________（ ），即__________，
∴（ ）．
24．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．

(1)AD与EC平行吗？试说明理由．
(2)若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝82°，试求∠FAB的度数．
25．如图，E是、外一点，．求证：．
26．如图，已知EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=50°，求∠BAC的度数.
27．如图，已知ABCD，射线交于点，交于点，从点引一条射线，若，求证：．
证明：∵ABCD（已知）
∴______（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴BC_____（同旁内角互补，两直线平行）
∴______（____________）
∵______（对顶角相等．）
∴（等量代换）
28．如图，与、相交于点A、C，平分交于点E，，．试判断直线与的位置关系，并说明理由．
29．已知 ，点B在直线之间，．
(1)如图1，请直接写出和之间的数量关系：_________．
(2)如图2，和满足怎样的数量关系？请说明理由．
(3)如图3，平分，平分，与交于点G，则的度数为_________．
30．如图1，直线l分别交直线AB、CD于点EF（点在点F的右侧），若∠1十∠2=180°．
(1)求证：：
(2)如图2，点H在直线AB、CD之间，过点H作HG⊥AB于点G，若FH平分∠EFD，∠2=120°，求∠FHG的度数．
(3)如图3，直线MN与直线AB、CD分别交于点M、N，若∠EMN=120°，点P为线段EF上一动点，Q为直线CD上一动点，请直接写出∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系．（题中的角均指大于0°且小于180°的角）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到和的度数，然后即可得到的度数．
【详解】解：由折叠的性质可得，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．B
【分析】依据平行公理，平行线的判定，点到直线的距离的定义判定即可．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
②同旁内角互补，两直线平行，故本选项正确；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是点到直线的距离，故本选项错误；
④同一平面内两条不相交的直线一定平行，故本选项正确，
综上所述，说法正确的有②④共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行等，熟记平行线的性质和公理是解题的关键．
3．D
【分析】如图，先根据平行线的性质求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵直尺的两条边互相平行，，
∴，
∵，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是灵活运用定理及性质进行推导．
4．A
【分析】根据平行线的性质得出，利用三角形外角性质解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
5．A
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由两角互余的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．

【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
6．B
【分析】由三角尺可知，由平角可求，再根据平行线的性质可知．
【详解】解：如图：
由三角尺可知，
∵，
∴，
由平行线的性质可知．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质及直角三角形的性质，充分运用三角板和直尺的几何特征是解题的关键．
7．B
【详解】解：如图，过点A作，
∴∠3=∠1=58°，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠4=90°﹣∠3=32°，
∵
∴，
∴∠2=∠4=32°，
故选B．
8．C
【分析】先根据垂线的定义得出的度数，进而得出的度数，根据平行线的性质即可得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质．三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
9．B
【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【详解】解：延长交于，延长交于．
直角中，；
中，，
，
，
，
即．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的外角的性质以及平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线，构造了三角形以及由平行线构成的内错角．
10．B
【分析】根据垂线的性质可得，进而得出与互余，再根据平行线的性质可得答案．
【详解】解：于点C，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
11．C
【分析】由垂直的定义与∠AEF= 90°，即可求得∠AEC的度数，又由直线AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A的度数.
【详解】AE⊥BF，
∠AEF= 90°，
∠AEC=90°-∠CEF=90°-35°= 55°，
AB∥CD，
∠A=∠AEC= 55°，
故选： C．
【点睛】此题考查了平行线的性质与垂直的定义，注意掌握两直线平行，内错角相等定理是解题的关键．
12．C
【分析】由直角三角形的性质得出∠A=30°，由平行线的性质得出∠FDA=∠F=45°，再由三角形外角和定理即可求出∠CGD的度数．
【详解】解：∵∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵，
∴∠FDA=∠F=45°，
∴∠CGD=∠A+∠FDA=45°+30°=75°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形外角定理是解决问题的关键．
13．##115度
【分析】利用邻补角的定义，平行线的性质即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，正确掌握平行线的性质是解题关键．
14．
【分析】由ABCD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出的度数，结合角平分线定义可求出的度数，利用三角形外角定理求出的度数．
【详解】∵ABCD，
∴，
∵FG是∠CFE的平分线，
∴，
∵是三角形EFG的一个外角，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线和三角形外角定理．解题关键是灵活运用定理及已知条件推导．
15．25°．
【详解】∵a∥b，∴∠FDE＝∠2＝65°．
∵EF⊥CD，∴∠EFD＝90°．
∴∠1＝180°－∠EFD－∠FDE＝180°－90°－65°＝25°．
16．125°或125度
【分析】过点C做的直线，得，根据两直线平行，同旁内角相等，即可求出的度数．
【详解】∵
∴过点C做
∴
∴；
又∵，
∴；
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
17．##70度
【分析】先根据判定，然后根据平行线的性质求出即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．
18．58°##58度
【分析】依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到，进而得出结论．
【详解】解：∵，
∴
∵平分
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
19．130°##130度
【分析】由可得∠DEF=∠EFG，根据折叠可知∠DEF=∠FEG，再通过补角得出∠1的度数，根据∠1和∠2互为同旁内角可得答案．
【详解】∵，
∴∠DEF=∠EFG=65°，
由折叠可知∠DEF=∠FEG，∴∠FEG=65°，
∵∠DEF+∠EFG+∠1=180°，
∴∠1=180°-65°-65°=50°，
∵，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°-50°=130°，
故答案为：130°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，解题的关键是根据折叠的方法找准对应角求出∠1的度数．
20．
【分析】由同位角相等，推出两直线平行，再由两直线平行，推出同旁内角互补；
【详解】解：因为，所以，所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题关键结合图形正确应用：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
21．##94度
【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，再结合邻补角的定义得到结论．
【详解】解： ABCD，
，
AB平分，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查求角度，涉及到平行线的性质、角平分线的定义、邻补角的定义等知识点，熟练掌握相关定义与性质是解决问题的关键．
22．
【分析】根据矩形的性质可得，，可求解的度数，由平行线的性质可求解的度数，结合折叠的性质可得，进而可求解．
【详解】解：在矩形中，，，
，，
，
，，
由折叠可知：，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，平行线的性质，折叠与对称的性质，由折叠得对应角相等是解题的关键．
23．；两直线平行，同位角相等；；；；；等量代换；；内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的性质与判定进行填空即可求解．
【详解】理由：∵ABCD（已知），
∴∠4=∠BAE （两直线平行，同位角相等），
∴∠4=∠1+∠CAF，
∵∠3=∠4（已知），
∴∠3=∠1+∠CAF，
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠3=∠2+∠CAF（等量代换），
即∠3=∠CAD，
∴ADBE （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；；；等量代换；；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
24．(1)AD与EC平行；理由见解析
(2)∠FAB的度数为49°
【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出AB∥CD，进而得出∠ADC+∠3=180°，即可得出答案；
（2）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠2，即可得出答案．
【详解】（1）解：AD与EC平行，理由如下：
∵∠1=∠BDC，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3=180°，
∴∠ADC+∠3=180°（等量代换），
∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∵∠1=∠BDC，∠1=82°，
∴∠BDC=82°，
∵DA平分∠BDC，
∴∠ADC=∠BDC=41°（角平分线定义），
∴∠2=∠ADC=41°（已证），
又∵DA⊥FA，
∴∠FAD=90°（垂直定义），
∴∠FAB=∠FAD-∠2=90°-41°=49°．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠AEC=∠FAD=90°是解题关键．
25．见解析
【分析】由平行线的性质可得，由三角形的外角性质可得，即可求证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题关键．
26．65°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF；接下来再根据角平分线的定义即可求出∠BAC的度数.
【详解】解：因为EF∥BC，
所以∠BAF+∠B=180°.
所以∠BAF=180°-∠B=180°-50°=130°.
又AC平分∠BAF，
所以∠BAC=∠BAF=×130°=65°.
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
27．∠BCD，DE，∠BFD，两直线平行，同位角相等，∠AFC
【分析】先根据平行线的性质证明∠B＝∠BCD，等量代换证得∠BCD+∠CDE＝180°，从而证得BCDE，根据平行线的性质即可证得结论．
【详解】证明：∵ABCD（已知），
∴∠B＝∠BCD （两直线平行，内错角相等），
∵∠B+∠CDE＝180°（已知），
∴∠BCD+∠CDE＝180°（等量代换），
∴BCDE（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BFD＝∠EDH（两直线平行，同位角相等），
∵∠AFC＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠AFC＝∠EDH（等量代换）．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
28．，见解析
【分析】根据角平分线定义求出的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行可得结论．
【详解】解：，理由如下：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和角平分线的定义.解题的关键是熟练掌握两直线平行的判定方法．
29．(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）过点B作，利用平行线的性质即可求得结论；
（2）过点B作，利用平行线的性质即可求得结论；
（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．
【详解】（1）解：过点B作，如图，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵．
∴．
故答案为：；
（2）解：和满足：．理由：
过点B作，如图，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴；
（3）解：设与交于点F，如图，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
由（2）知：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
30．(1)见解析
(2)120°
(3)∠MPQ+∠PMN-∠PQF=120°或∠MPQ+∠PMN+∠PQF=300°
【分析】（1）只需要证明∠1=∠EFD，即可证明；
（2）如图2所示，过点H作，则，然后利用角平分线的定义和平行线的性质求解即可；
（3）分当点Q在线段FN上时，当点Q在FN的延长线上时，当点Q在线段NF延长线上时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠EFD=180°，
∴∠1=∠EFD，
∴；
（2）解：如图所示，过点H作，则，
∵GH⊥AB，即∠EGH=90°，
∴∠PHG=180°-∠EGH=90°，
∵∠2=120°，
∴EFD=180°-∠2=60°，
∵FH平分∠EFD，
∴∠HFD=30°，
∵，
∴∠PHF=∠HFD=30°，
∴∠FHG=∠PHF+∠PHG=120°；
（3）解：如图3-1所示，当点Q在线段FN上时，过点P作，则，
∴∠EMP=∠MPH，∠PQF=∠HPQ，
∴∠MPQ+∠PMN-∠PQF
=∠MPQ-∠HPQ+∠PMN
=∠MPH+∠PMN=∠EMP+∠PMN
=∠EMN
=120°；
如图3-2所示，当Q在NF的延长线上时，过点P作，则，
∴∠EMP=∠MPH，∠PQF+∠HPQ=180°，
∴∠MPQ+∠PMN+∠PQF
=∠MPQ+180°-∠HPQ+∠PMN
=∠MPH+∠PMN+180°
=∠EMP+∠PMN+180°
=∠EMN+180°
=300°；
如图3-3所示，当点Q在FN的延长线上时，
同理可得∠MPQ+∠PMN-∠PQF=120°；
综上所述，∠MPQ+∠PMN-∠PQF=120°或∠MPQ+∠PMN+∠PQF=300°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平分线的性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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