资源简介

7.3 图形的平移
一、平移的概念
1、平移的定义：在平面内，把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移．
2、平移的两个要素：
（1）平移方向；（2）平移距离．
3、对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角．
4、平移方向和距离的确定
（1）要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移，那么怎样确定这两点呢？
A．若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度．
B．若给出由小正方形组成的方格纸：在方格中的平移，从方向上看往往是要求用横纵两次平
移来完成（有特殊要求例外），而移动距离是由最终要达到的位置确定的．
C．具体给出从某点P到另一点P’的方向为平移方向，线段PP’的长度为平移距离．
D．给出具体方位（如向东或者西北等）和移动长度（如10cm）
（2）图形平移后，平移方向与平移距离的确定．图形平移后，原图形与新图形中的任意一对前后对应点的射线方向就是原平移方向，这对对应点间的线段长度就是原平移距离．
例：
1．如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的（ ）
A． B．
C． D．
知识点二、平移的性质
图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离．平移后的图形与原图形
①对应线段平行（或在同条一直线上）且相等；
②对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等；
③图形的形状与大小都不变（全等）；
④图形的顶点字母的排列顺序的方向不变．
例：
2．如图，Rt△ABC沿直角边所在直线向右平移BC的长度得到△DEF，DE交AC于点G，若AB=6，BC=8，则EG=（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
知识点三、平移作图
平移作图的步骤：
1． 定：根据题目要求，确定平移的方向和距离；
2． 找：找出确定图形形状的关键点；
3． 移：按平移的方向和距离确定各关键点平移后的对应点；
4． 连：按原图顺序依次连接各对应点．
确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离．
例：
3．下列平移作图错误的是（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
一．选择题（共10小题）
4．下列生活现象中，属于平移的是（ ）
A．升降电梯的上下移动 B．荡秋千运动
C．把打开的课本合上 D．钟摆的摆动
5．如图，将沿方向平移到，若A、D间的距离为2，，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．下列四个选项中的哪个图案平移得到如图的图案（　　）
A． B． C． D．
7．如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连接，若，，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．如图，将向右平移得到，如果的周长是，四边形的周长是，那么平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．小芳和小明在手工课上各自制作楼梯的平面模型，如图，则他们所用材料的周长（ ）

A．一样长 B．小明的长 C．小芳的长 D．不能确定
10．一个木匠想用一根40米长的木条来围花圃，他考虑用下列一种花圃设计，以下设计不能用40米长的木条围出来的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，第1个图案是由灰白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第个图案中有白色六边形地面砖的块数是（ ）
A． B． C． D．
12．2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行设计创作．如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
13．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知AD＝4，AE＝13，则DB长为（　　）
A．4 B．5 C．9 D．13
二．填空题（共10小题）
14．如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，于点B，，，，，则直线a与b之间的距离是 ．
15．如图，将向右平移2cm得到，则 cm．
16．如图，在宽为13米、长为24米的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），道路的宽为2米，余下部分种植草坪. 则草坪的面积为 .
17．如图，沿方向平移得到．若，，则的长是 ．
18．要在台阶上铺设某种红地毯，已知这种红地毯每平方米的售价是20元，台阶宽为3米，侧面如图所示，购买这种红地毯至少需要 元．
19．如图，计划在一块长为5m，宽为3m的长方形草坪上．修建宽为1m的纵横相交的两条人行道，则剩余草坪的面积为 m2．
20．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ．
21．如图，线段CD可以看成由线段AB先向下平移 个单位，再向右平移 个单位得到．
22．如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是 ．
23．云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个 平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个 组成，第②个图案由7个 组成，第③个图案由10个 组成，…，按此规律排列下去，第个图案中的 个数为 ．
三．解答题（共10小题）
24．如图，画出向右平移6格后的图形
25．如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
26．如图，已知三角形及三角形外一点，平移三角形，使点移动到点，并保留画图痕迹．
27．如图，射线AM∥BN，连结AB，∠A＝108°，将线段AB向右平移，分别交射线AM、射线BN于点C、D，连结BC，在AC上取点F，使得∠FBC＝∠CBD，作∠ABF的角平分线交AC于点E．
（1）求∠EBC的度数；
（2）在平移AB过程中，请判断∠AFB和∠FCB的数量关系，并说明理由；
（3）在平移AB过程中，是否存在某种情况，使∠AEB＝∠BCD？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
28．如图，将△ABC沿射线AB的方向移动2cm到△DEF的位置．
（1）找出图中所有平行的直线；
（2）找出图中与AD相等的线段，并写出其长度；
（3）若∠ABC＝65°，求∠BCF的度数．
29．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题保留画图痕迹：
(1)画出△A'B'C'；
(2)连接AA'、CC'，那么AA'与CC'的关系是_____，线段AC扫过的图形的面积为____；
30．如图，将沿射线的方向移动到的位置．
(1)写出图中所有平行的直线；
(2)写出图中与相等的线段，并直接写出其长度；
(3)若，求的度数．
31．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
(1)将向下平移5个单位得到1，请画出；
(2)将向左平移4个单位得到2，请画出．
32．如图，每个小方格的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上．将方格中的先向右平移8格，再向上平移6格，得到．
(1)画出平移后的图形，并标出对应点；
(2)直接写出△DEF的面积为 平方单位．
33．如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．
（1）将图①中的三角板OMN沿BA方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON=30°，如图③，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）将图①中的三角尺COD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针防线旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，MN恰好与CD平行；第几秒时，MN恰好与直线CD垂直．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据平移的特点即可判断．
【详解】将图进行平移，得到的图形是
故选C．
【点睛】此题主要考查平移的特点，解题的关键是熟知平移的定义．
2．A
【分析】根据平移的性质得到△CGE∽△CAB，再根据相似的性质即可求解．
【详解】解：∵Rt△ABC沿直角边所在直线向右平移BC的长度得到△DEF，
∴AB∥EG,CE=BC,
∴△CGE∽△CAB，
∴
∴EG=AB=3．
故选：A
【点睛】本题考查了平移的性质，相似的判定、性质定理，熟知平移的性质和相似的判定、性质定理是解题关键．
3．C
【分析】根据平移变换的性质即可一一判定．
【详解】解：A、B、D符合平移变换，C是轴对称变换．
故选：C．
【点睛】本题考查了平移变换的识别，熟练掌握和运用平移变换的识别方法是解决本题的关键．
4．A
【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、升降电梯的上下移动符合平移的定义，属于平移，故本选项正确；
B、荡秋千运动，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误；
C、把打开的课本合上，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误；
D、钟摆的摆动是旋转运动，不属于平移，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而选择错误．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．
5．C
【分析】根据平移的性质，对应点连接的线段相等，求得BE和CF的长，再结合图形可直接求解．
【详解】解：观察图形可知：将△ABC沿BC方向平移到△DEF，根据对应点连接的线段平行且相等，得BE=CF=AD=2．
∴BF=BE+EC+CF=8．
故选C
【点睛】平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
6．B
【分析】根据平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等可得答案．
【详解】解：根据平移可得B是平移可得到图形中的图案，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了利用平移设计图案，关键是掌握平移的性质．
7．A
【分析】根据平移的性质得到，，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：由平移的性质可知，，，
则，即，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，解题的关键是熟练运用平移的性质．
8．B
【分析】由平移的性质得AD=EF，用四边形ABFD的周长减去周长，再除以2，即可得出结果．
【详解】解：∵将向右平移得到，
∴AE=DF．
∵的周长是，四边形的周长是，
∴AB+AE+BE=16cm，AB+AD+DF+BF=20cm，
又∵BF=BE+EF，
∴AD+EF=4cm．
由平移的性质得：AD=EF，
∴AD=2cm，
即：平移的距离为2cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟知平移前后的图形对应线段平行且相等，对应点平移的方向相同，距离相等是解题的关键．
9．A
【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的边，再判断形状不同的边的长度即可．
【详解】解：两个图形右侧边与左侧相等，上侧与下侧相等，
即两个图形都可以利用平移的方法变为长为8cm，宽为5cm的矩形，
所以两个图形的周长都为（8+5）×2=26（cm），
所以他们用的材料一样长．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平移的应用，考生通过观察、分析识别图形的能力，解决此题的关键是通过观察图形确定右侧与上侧各边的长相等．
10．B
【分析】根据平移的知识可以知道A、C、D三个选项中的图形都可以看成长12米、宽8米的长方形，据此求出它们的周长，B选项中的平行四边形的周长显然大于长12米、宽8米的长方形的周长．
【详解】解：A、C、D三个选项中的图形的周长都是：
（12＋8）×2
＝20×2
＝40（米）
B选项中的平行四边形的长是12米，高是8米，显然该图形的周长大于40米，故Ｂ正确．
故选：B．
【点睛】解决此题只要通过平移，看出A、C、D三个选项中的图形的周长都是一样的，此题就可以轻松解决．
11．C
【分析】观察图形可知，第一个黑色地面砖由六个白色地面砖包围，再每增加一个黑色地面砖就要增加四个白色地面砖．
【详解】解：∵第一个图案中，有白色的是6个，后边是依次多4个．
∴第个图案中白色六边形个数为：6＋4（n 1）＝（4n＋2）个，
故选：C．
【点睛】本题考查利用平移设计图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力，解题的关键是发现规律：在第一个图案的基础上，多一个图案，多4块白色地砖．
12．A
【分析】根据平移的定义判断即可．
【详解】解：选项A是可以通过平移得到．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用平移设计图案，解题的关键是掌握平移变换的定义，属于中考常考题型．
13．B
【分析】利用平移的性质可知，由此可解．
【详解】解：∵平移前后对应点所连接的线段平行且相等，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平移的性质，解题的关键是掌握“平移前后对应点所连接的线段平行且相等”．
14．12
【分析】根据平行线间的距离的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴直线a与b之间的距离就是垂线段PB的长度，
∵，
∴直线a与b之间的距离就是12cm．
故答案为12．
【点睛】本题考查了平行线间的距离，从平行线上任意一点到另一条直线的垂线段长度称为平行线间的距离，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握平行线间的距离的定义是解题的关键．
15．2
【分析】根据平移的性质得到即为平移的距离．
【详解】解：根据平移的性质可知，．
故答案为：2．
【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
16．242平方米
【分析】通过平移可得，草坪可以看作长为米，宽为米的长方形，再根据长方形的面积计算即可．
【详解】解：草坪的面积为：（平方米）．
故答案为：242平方米．
【点睛】本题主要考查了平移现象，理清题意，把草坪可看作长为米，宽为米的长方形是解答本题的关键．
17．5
【分析】沿方向平移得到求出，再求出，即可求得．
【详解】解：∵沿方向平移得到，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：5
【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是根据平移的性质求出BC＝EF＝9．
18．600
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，长宽分别为5.2米，4.8米，
∴地毯的长度为5.2＋4.8＝10（米），
地毯的面积为10×3＝30（平方米），
∴购买这种红地毯至少需要30×20＝600（元），
故答案为：600．
【点睛】本题考查平移的性质，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
19．8
【分析】依据平移变换，剩余草坪可以组成一个长为4米，宽为2米的长方形，即可得到其面积．
【详解】解：剩余草坪的面积为4×2＝8 m2，
即剩余草坪的面积为8 m2．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了平移变换的运用，在平面内把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动叫做平移变换，简称平移．熟练掌握平移的性质是解题的关键．
20．
【分析】过点O作，利用平移的性质得到，可得判断，根据平行线的性质得，，可得到，从而得出的度数．
【详解】解：过点O作，
∵直线a向下平移得到直线b，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键．
21． 2 2
【分析】根据平移的规律求解即可．
【详解】解：由由题意得线段AB先向下平移2个单位，再向右平移2个单位得到线段CD，
故答案为：2，2．
【点睛】本题考查了线段平移的规律，属于基础题．
22．
【分析】根据平移的性质得出AD＝BE＝CF＝3，再根据S阴影部分＝S平行四边形ACFD﹣S△ADM进行计算即可．
【详解】解：如图，连接AD，由平移的性质可知，AD＝BE＝CF＝3，
S阴影部分＝S平行四边形ACFD﹣S△ADM
＝3×7﹣×2×3
＝18，
故答案为：18．
【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等是正确解答的关键．
23．3n＋1##1+3n
【分析】根据所给图形总结规律即可．
【详解】解：∵第1个图案由4个基础图形组成，
第2个图案由7个基础图形组成，即7＝4＋3＝4＋3×1，
第3个图案由10个基础图形组成，10＝4＋3＋3＝4＋3×2，
…，
∴第n个图案中基础图形的个数为：4＋3（n 1）＝3n＋1，
故答案为：3n＋1．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是发现基础图形数量的变化规律．
24．图形见解析．
【分析】分别画出中，，向右平移6格后的对应点，，，然后连接各点即可．
【详解】解：如图所示：为所求．
【点睛】本题主要考查了平移作图，正确得出对应点的位置是解题关键．
25．（1）；（2）．
【分析】（1）如图（见解析），先根据平行线的性质可求出的度数，再根据垂直的性质即可得；
（2）先画出a与b之间的距离，再利用三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）如图，∵直线，
又
；
（2）如图，过A作于D，则AD的长即为a与b之间的距离
解得
故直线a与b的距离为．
【点睛】本题考查了平行线的性质、垂直的性质等知识点，属于基础题，熟记各性质是解题关键．
26．答案见解析
【分析】连接AD，过B作BE∥AD，并且使BE=AD，同法作CF∥AD，CF=AD，再连接D、E、F即可得到平移后的图形．
【详解】解：连接AD，则平移距离为AD，平移方向为射线AD方向，然后过B点作BE∥AD，并使得BE=AD，即可确定出平移后B的对应点E；同理可作出平移后C的对应点F，如下图所示：
【点睛】此题主要考查了图形的平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
27．（1）∠EBC=36°；，（2）∠AFB=2∠FCB；证明见详解；（3）存在，∠AEB＝∠BCD=54°．
【分析】（1）由射线AM∥BN，利用平行线性质可得∠A+∠ABN=180°，由∠A＝108°，可求∠ABN=72°，由∠FBC＝∠CBD，AE平分∠ABF，可求∠EBC=∠EBF+∠FBC=+即可；
（2）根据线段AB向右平移使得∠FBC＝∠CBD，射线AM∥BN，可得∠FCB=∠CBD=∠FBC，根据三角形外角性质∠AFB=∠FBC+∠FCB=2∠FCB即可；
（3）由平移性质可得AB∥CD，由平行线性质可求∠ACD=72°，设∠FCB=∠CBD=∠FBC=，由（1）得∠EBC=36°，可表示∠AEB=36°+，根据∠BCD=72°-，使∠AEB＝∠BCD，可列方程36°+=72°-求解即可．
【详解】解：（1）∵射线AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
∵∠A＝108°
∴∠ABN=180°-∠A=180°-108°=72°，
∵∠FBC＝∠CBD，AE平分∠ABF，
∴∠ABE=∠EBF=，∠FBC＝∠CBD=，
∴∠EBC=∠EBF+∠FBC=+==36°；，
（2）∵线段AB向右平移使得∠FBC＝∠CBD，射线AM∥BN，
∴∠FCB=∠CBD=∠FBC，
∴∠AFB=∠FBC+∠FCB=2∠FCB，
∴∠AFB=2∠FCB；
（3）存在，∠AEB＝∠BCD=54°．
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠A=180°，
∴∠ACD=180°-∠A=180°-108°=72°，
设∠FCB=∠CBD=∠FBC=，
由（1）得∠EBC=36°，
∴∠AEB=∠EBC+∠CBD=36°+，
∵∠BCD=∠ACD-∠FCB=72°-，
使∠AEB＝∠BCD，
36°+=72°-，
解得x=18，
∴∠AEB＝∠BCD=36°+18°=54°．
【点睛】本题考查平行线性质，角平分线定义，角的和差，平移性质，角的倍分关系，建构方程，掌握上述知识是解题关键．
28．（1）；（2）见解析，， cm；（3）
【分析】（1）先确定平移过程中的对应点，可知点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应点，根据“两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等”可找出图中平行的直线；
（2）根据“两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等”可找到和与AD的长相等的线段；
（3）根据平行线的性质可求得∠BCF的度数．
【详解】解：（1）∵将△ABC沿射线AB的方向移动2cm到△DEF的位置，
∴ ，
∴；
（2）∵将△ABC沿射线AB的方向移动2cm到△DEF的位置，
∴ ；
（3）∵ ，∠ABC＝65°，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了图形的变换——平移，平行线的性质，熟练掌握图形平移前后两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)平行且相等；10
【分析】（1）根据平移的性质找出对应点连接即可求解；
（2）由图形可知AA′与CC′的关系是平行且相等；利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）解：由图形知AA′与CC′的关系是平行且相等；
由图形可知，在平移过程中，线段AC扫过的图形的面积即为平行四边形ACC'A'的面积，
∴S ACC'A'=10×2-2××4×1 2××6×1=10，
故答案为：平行且相等；10．
【点睛】本题考查了作图-平移变换，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
30．(1)，，
(2)，cm，cm
(3)
【分析】（1）先确定平移过程中的对应点，可知点与点、点与点、点与点是对应点，再根据“两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等”，可找出图中平行的直线；
（2）根据“两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等”，可找到与的长相等的线段；
（3）首先根据两直线平行，内错角相等，得出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数．
【详解】（1）解：∵将沿射线的方向移动cm到的位置，
∴，，．
（2）解：∵将沿射线的方向移动cm到的位置，
∴cm．
（3）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了图形的变换——平移，平行线的性质，熟练掌握图形平移前后两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等是解本题的关键．
31．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据平移的性质作图即可．
【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点睛】本题考查作图——平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
32．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据平移的性质先作出对应顶点的位置，然后顺次连接，即可画出平移后的图形，进而标出对应点即可；
（2）根据网格即可求出的面积．
【详解】（1）解：先作出点A、B、C平移后的对应点D、E、F，然后顺次连接，则即为所求作的三角形，如图所示：
（2）解：（平方单位）．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
33．（1） 105°；（2） 135°； （3）5或17；11或23
【分析】（1）根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
（2）根据内错角相等，两直线平行判断出MN∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（3）作出图形，然后分两种情况求出旋转角，再根据时间=旋转角÷速度计算即可得解．
【详解】解：（1）在△CEN中，
∠CEN=180°-∠DCN-∠MNO=180°-45°-30°=105°
（2）∵∠BON=∠N=30°，
∴MN∥CB，
∴∠CEN=180°-∠DCO=180°-45°=135°
（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠OFD=∠M=60°，
在△ODF中，∠MOD=180°-∠D-∠OFD，
=180°-45°-60°，
=75°，
∴旋转角为75°，
t=75°÷15°=5秒；
CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠DFO=∠M=60°，
在△DOF中，∠DOF=180°-∠D-∠DFO=180°-45°-60°=75°，
∴旋转角为75°+180°=255°，
t=255°÷15°=17秒；
综上所述，第5或17秒时，边CD恰好与边MN平行；
如图2，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGC=90°-∠MNO=90°-30°=60°，
∴∠CON=∠NGC-∠OCD=60°-45°=15°，
∴旋转角为180°-∠CON=180°-15°=165°，
t=165°÷15°=11秒，
CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGD=90°-∠MNO=90°-30°=60°，
∴∠AOC=∠NGD-∠C=60°-45°=15°，
∴旋转角为360°-∠AOC=360°-15°=345°，
t=345°÷15°=23秒，
综上所述，第11或23秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于（3）分情况讨论，作出图形更形象直观．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑