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7.5 多边形的内角和与外角和
知识点一、三角形三个内角之间的关系
1．三角形的内角和是180°．
当已知三角形两个内角的度数或两个内角的度数和时，利用它可求第三个内角的度数，当已知三个内角间的一些数量关系时，也可利用它列方程求各个角的度数．
2．直角三角形两个锐角和是90°，即直角三角形的两个锐角互余；
3．三角形的三个内角中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角，三角形中最大内角不小于60°．
例：
1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝3∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
知识点二、多边形的内角和公式
1．n边形的内角和为（n 2）·180°（n≥3）；
通过多边形的内角和公式可以通过边数求内角和，或通过内角和求多边形的边数．
2．多边形的内角和公式推导：
如图所示，从n边形的一个顶点可以引出（n 3）条对角线，这（n 3）条对角线把n边形分成（n 2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和是（n 2）·180°．
3．正多边形：各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．正n边形的每个内角都为．
例：
2．正九边形的每个内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
知识点三、多边形的外角和
1．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角．
2．多边形的外角和：在多边形的每个顶点处分别取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系．
如图所示：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5就是五边形ABCDE的外角和，为360°．
3．正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于．
4．多边形的外角和的推导：多边形的每个内角加上与它相邻的外角都等于180°，所以n边形的外角和等于n个180°的平角减去多边形的内角和，即．
例：
3．若一个多边形的每个内角都等于与它相邻外角的2倍，则它的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
巩固练习
一、选择题（共10小题）
4．已知一个正边形的一个外角为，则（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1＋∠2等于(　)
A．60° B．75° C．90° D．105°
6．在一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
7．若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
8．一个九边形的内角和为( )
A． B． C． D．
9．将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　）
A．50° B．60° C．75° D．85°
10．具备下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在中，平分交于点E，过点A作，垂足为D，过点E作，垂足为F．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．在中，，直线，分别与相交于点D，E，若，则∠C的度数是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在中，，将沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（ ）
A． 36° B．54° C．72° D．90°
二、填空题（共10小题）
14．八边形的内角和是外角和的 倍．
15．如图，是的外角，且，，则∠B＝ 度．
16．如图，等于
17．若一个多边形的外角和是其内角和的，则此多边形的边数为 ．
18．已知一个多边形的内角和加上一个外角共，这个多边形是 边形，这个外角的度数是 ．
19．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1的大小为 ．
20．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中 ．
21．如图，在四边形中，过点A的直线，若，则 度．
22．如图在中，已知、分别是两内角的角平分线，若，则 ．
23．如图所示，将三角形纸片沿折叠，点A落在点P处，已知，则是 度．
三、解答题（共10小题）
24．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？

25．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
(1)“多边形内角和为”，为什么不可能？
(2)明明求的是几边形的内角和？
(3)多加的那个外角为多少度？
26．如图是一个凹多边形，，，，；求的值．
27．如图，、分别是的高和角平分线，，，求的大小．
28．如图，在ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．若∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
29．如图，在中，，，是的角平分线，
(1)是边上的高线，请画出图形；
(2)在（1）条件下，求的度数．
30．如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，．
(1)的度数为______；
(2)若，求的度数．
31．如图，平分的内角，平分的外角，、相交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)已知，求的度数；
(3)若，请用含的式子表示的度数不用说理)．
32．如图，在中，D是上一点，连接，的平分线交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
33．如图，与中的与是对顶角．
(1)如图1，证明：；
(2)如图2，分别是的平分线，探索和之间的数量关系并加以证明；
(3)如图3，与的相邻补角平分线交于点P，探索和之间的数量关系并加以证明．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据直角三角形的定义一一判断即可．
【详解】解：A、由∠A＝∠B＝3∠C，可得∠A＝∠B＝×180°，△ABC不是直角三角形，本选项符合题意．
B、由∠A﹣∠B＝∠C，可知∠A＝90°，△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．
C、由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．
D、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，推出∠C＝90°，△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．D
【分析】根据多边形的内角和定理与正多边形各内角都相等可计算求解．
【详解】解：（9﹣2）×180°÷9＝140°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理和正多边形的定义，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
3．C
【分析】设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设外角为，则相邻的内角为，
由题意得，，
解得，，
多边形的边数为：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是多边形内、外角的知识，理解一个多边形的一个内角与它相邻外角互补是解题的关键．
4．B
【分析】根据正多边形的每一个外角相等，且外角和为，用360除以40即可求解．
【详解】解：∵一个正边形的一个外角为，
∴，
故选B
【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角问题，掌握正多边形的外角和等于360°是解题的关键．
5．C
【详解】解：如图所示：
∵∠1与∠4是对顶角，∠2与∠3是对顶角，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
此三角形是直角三角形，
∴∠3+∠4=90°，即∠1+∠2=90°．
故选C．
6．A
【分析】根据三角形的内角和可求解的一内角为，进而可判断三角形的形状．
【详解】解：设这个三角形为，且，
则，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键．
7．B
【分析】根据一个n边形从一个顶点可以引出对角线进行解答即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
，
解得：，
即这个多边形是八边形，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形对角线问题，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握一个n边形从一个顶点可以引出对角线．
8．C
【分析】先由多边形的内角和公式，计算即可．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式，熟练掌握内角和公式是解决问题的关键．
9．C
【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可．
【详解】∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°，
∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°，
故选C．
【点睛】考查了三角形外角的性质，解题关键是利用了三角形的外角的性质．
10．C
【分析】根据直角三角形的定义分别判断即可．
【详解】A．由可知，即，是直角三角形，不合题意；
B． 由可知，即，是直角三角形，不合题意；
C． 由可知，此时，，不是直角三角形，符合题意；
D． 由可知，此时，即，是直角三角形，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了直角三角形的定义，能够根据条件求出一个角为是解题的关键．
11．C
【分析】根据三角形内角和定理求出和的度数，再利用角平分线的定义得出，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键．
12．B
【分析】根据三角形的外角性质求得的度数，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．
13．C
【分析】由折叠的性质先说明与相等，再由三角形的外角与内角的关系表示出，，最后算出与的差．
【详解】解：如图，∵沿着直线l折叠得到，
∴．
∵，，
∴．
∴
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质，掌握“三角形的外角的性质”、“折叠前后的两个图形对应角相等”是解决本题的关键．
14．3
【分析】根据多边形的内角和公式及外角和即可求解．
【详解】解：八边形的内角和是，外角和是，
，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是熟知多边形的内角和公式以及外角和．
15．30
【分析】根据三角形的内角与外角之间的关系解答即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键．
16．
【分析】根据三角形的外角的性质，得∠B+∠C=∠CGE=180°-∠1，∠D+∠E=∠DFG=180°-∠2，两式相加再减去∠A，根据三角形的内角和是180°可求解．
【详解】∵
∴
故答案为
【点睛】考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.
17．7
【分析】根据多边形的内角和公式及外角和是360°计算．
【详解】多边形的外角和是360°，根据题意得：×180° （n-2）=360°，
解得n=7．
故答案为：7
【点睛】考点: 多边形内角与外角．
18． 十三 ##70度
【分析】利用多边形的内角和定理，根据题意列式求解即可．
【详解】解：设这个多边形多边形是n，被加上一个外角是x°，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：十三，．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，准确掌握多边形内角和公式是解题的关键．
19．105°
【分析】如图，先求出∠2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】解：如图所示，
∵∠2＝90° 45°＝45°，
由三角形的外角性质得，∠1＝∠2＋60°，
∴∠1＝105°．
故答案为：105°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形外角的性质并能准确判断各角之间的关系是解答此题的关键．
20．105
【分析】先利用角的和差关系求出，再利用三角形外角的性质求解．
【详解】解：如图，
由题意知，，
，
，
故答案为：105．
【点睛】本题考查三角形外角的性质、三角板的度数、角的和差关系等，解题的关键是掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”．
21．150
【分析】先由平行线性质得，再由四边形内角和为与平角为，可得出，再将、代入即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：150．
【点睛】此题考查了多边形的内角和公式、平行线的性质定理、平角的定义，熟练掌握四边形的内角和与平行线的性质是解答此题的关键．
22．##20度
【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得的度数．
【详解】解：∵、分别是和的角平分线，
∴，．
∵，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练的运用三角形的内角和定理求解是解题的关键．
23．
【分析】根据折叠的性质可知，，利用平角是，求出与的和，然后利用三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：将纸片沿折叠，点落在点处，
，，
，
，
又，
，
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解题的关键是挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是、平角的度数也是．
24．（1）小明一共走了180米；（2）这个多边形的内角和是2880度．
【分析】（1）根据题意易得小明第一次回到出发点A需要向右转：360°÷20°=18（次），继而求得答案；
（2）根据多边形内角和公式进行求解即可得.
【详解】（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，
∴360÷20=18，18×10=180（米），
答：小明一共走了180米；
（2）根据题意得：
（18﹣2）×180°=2880°，
答：这个多边形的内角和是2880度．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，理解题意，掌握多边形的外角和等于360°以及多边形的内角和公式是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)十三边形
(3)40°
【分析】（1）根据多边形内角和公式判断即可；
（2）根据多边形内角和公式判断即可；
（3）由（2）即可得出答案．
【详解】（1）由可知，多边形内角和是180的倍数，而2020不是180的倍数，故不可能是多边形内角和．
（2）由可知，2020÷180=11……40，所以，所以
故多边形是十三边形．
（3）由（2）计算可知余数为40°，所以多加的外角为40°．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟记是解题的关键．
26．
【分析】根据题意连接FB，进而利用多边形的内角和性质进行分析求解即可.
【详解】解：连接FB，如图：
五边形BCDEF的角度为：，
由，可得，
所以.
【点睛】本题考查多边形的内角和性质，熟练掌握多边形的内角和求法即（n为边数）是解决问题的关键.
27．
【分析】根据三角形内角和为可得，由平分线定义可得，最后利用三角形的外角于不相邻两个内角和得．
【详解】解：∵，
∴
又∵、分别是的高和角平分线，
∴，
∴
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线、垂线、外角等知识，掌握三角形内角和与角平分线性质是解题关键．
28．15°
【分析】根据垂直定义由AD⊥BC得∠ADC＝90°，再利用角平分线定义得∠EAC＝∠BAC，然后根据三角形内角和定理得∠BAC＝180° ∠B ∠C，∠DAC＝90° ∠C，则∠DAE＝（∠B ∠C），故可求解．
【详解】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC，
而∠BAC＝180° ∠B ∠C，
∴∠EAC＝90° ∠B ∠C，
∵∠DAC＝90° ∠C，
∴∠DAE＝∠DAC ∠EAC＝90° ∠C （90° ∠B ∠C）
＝（∠B ∠C）=（70° 40°）＝15°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的性质，解题的关键是熟知三角形内角和是180°．
29．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点C作直线的垂线，与的交点为E，连接，则即为所作的高；
（2）由三角形内角和定理可求出，再根据角平分线的定义可得出．又可求出，结合是边上的高线，即得出，从而可由求解．
【详解】（1）如图，线段即为所作．
（2）由三角形内角和定理可知．
∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴．
∵是边上的高线，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图—画三角形的高，三角形内角和定理，角平分线的定义．利用数形结合的思想是解题关键．
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解；
（2）根据三角形内角和定理求得，根据是的角平分线，得出，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵、是、的角平分线，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵在中，是高，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形中线，角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
31．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据补角的定义可求出，再利用角平分线的性质分别求出，，再根据三角形的外角性质即可求出；
（2）先根据，，即可得出，再利用角平分线的性质分别求出，，再根据三角形的外角性质即可求出；
（3）先根据，，得出即，再利用角平分线的性质分别求出，，再根据三角形的外角性质即可求出．
【详解】（1）解：(1)平分，
，
，
，
平分，
，
；
（2），，
，
平分，
，
平分，
，
；
（3），
，
，
平分，
，
平分，，
；
即．
【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的性质、补角的定义以及三角形的外角性质，解题的关键是要熟练掌握相关的性质定理．
32．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）由角平分线的定义可得，利用三角形外角的性质可证明结论；
（2）利用（1）的结论可得，由三角形的内角和定理可求解的度数，进而求解的度数．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
33．(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据对顶角相等，即可得证；
（2）根据角平分线的定义得出，由（1）可知，，两式相加即可得出结论；
（3）根据题意得出，即①，根据（1）的结论得出②，两式相加即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：结论：，理由如下，
∵分别是的平分线，
∴，
由（1）可知，，
，，
即，，
∴；
（3）解：结论：，理由如下，
∵与的相邻补角平分线交于点P，
∴，
∵，
∴，
即①，
又②，
①+②得．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的意义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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