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7.7 第7章 平面图形的认识（二）综合练习（提优）
一．选择题（共12小题）
1．如图，和分别为直线与直线和相交所成角．如果，那么添加下列哪个条件后，可判定．（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．45° C．20° D．22.5°
3．如图，直线l1、l2分别与△ABC的两边AB、BC相交，且l1∥l2，若∠B＝35°，∠1＝105°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．50° C．40° D．60°
4．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE
C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE
5．如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则∠3的度数为（　　）
A．104° B．128° C．138° D．156°
6．如图，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，直线，点是直线上一点，点是直线外一点，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的中线，点是的中点，若的面积为24cm2，则的面积为（　　）
A．8cm2 B．6cm2 C．4cm2 D．3cm2
9．如图，在中，，为边上的高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，直线，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（ ）个．
A．4 B．5 C．6 D．7
12．如图，E是BC延长线上的一点，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分别平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，则∠P的度数为（ ）
A．30° B．42° C．45° D．50°
二．填空题（共10小题）
13．如图，是△ABC的外角，若，，则 度．
14．如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，，则中边上的高为 ．
15．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的 性．

16．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=110°，则∠1+∠2= ．
17．如图，直线，点E、F分别为直线和上的点，点P为两条平行线间的一点，连接和，过点P作的平分线交直线于点G，过点F作，垂足为H，若，则 °．
18．已知在中，，是的高，，则 °．
19．一副三角板如图所示摆放，∠F＝30°，∠B＝45°，若EFBC，则∠EGB＝ °．
20．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边的中线，若△ABC的面积是24，AE＝3，则点B到直线AD的距离为 ．
21．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，则∠DAE= ．
22．如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则 度．
三．解答题（共10小题）
23．如图，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，于点A，，求的度数．
24．如图，直线，，求的度数．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵已知），
∴　　．
又∵（已知），
∴（等式的性质）．
∴　　．
∴　　　　．
∴　　．
∴．
25．如图，已知直线，．
(1)求证：；
(2)如果，求的度数．
26．如图，分别是的高和角平分线，．求的度数．
27．如图，已知，垂足分别为D、F，＝180°，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵（已知）
∴（ ），
∴（ ），
∴ ＋∠2 ＝180°（ ）．
又∵（ ），
∴∠1＝∠3（ ），
∴ （ ），
∴（ ）．
28．如图，已知在中，，是的角平分线，是的边上的高，求的度数．
29．如图，在中，点D，E分别在上，点G，F在CB上，连接．，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
30．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠E=70°，求∠BFD．
（2）如图2中，∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
31．如图，，平分，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若平分，求证：．
32．如图，，平分，点，在射线，上，点是射线上的一个动点，连接交射线于点，设．
(1)如图1，若．
①的度数是　 　，当时，x=　 　；
②若，求的值；
(2)如图2，若，是否存在这样的的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】通过同位角相等两直线平行进行判定即可.
【详解】A.∵，∴∠3=180 -∠2=62 =∠1，∴能判定，此选项正确；
B.∵，∴∠3=180 -∠4=52 ≠∠1，∴不能判定，此选项错误；
C.∵，∴∠3≠∠1，∴不能判定，此选项错误；
D.∵，∴∠3=∠28 ≠∠1，∴不能判定，此选项错误；
故选：A
【点睛】此题考查平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行是解答此题的关键.
2．A
【分析】由三角形的外角的性质可得再结合角平分线的性质进行等量代换可得从而可得答案.
【详解】解： ∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，
故选A
【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质结合等量代换得到是解本题的关键.
3．C
【分析】根据三角形内角和定理球场∠3的度数，利用平行线的性质求出答案．
【详解】解：∵∠B＝35°，∠1＝105°，
∴∠3=180-∠1-∠B=，
∵l1∥l2，
∴∠2=∠3=，
故选：C．
【点睛】此题考查三角形内角和定理，两直线平行内错角相等的性质，熟记三角形内角和等于180度及平行线的性质并熟练解决问题是解题的关键．
4．B
【分析】根据两种三角形的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案
【详解】∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠1＝∠3，故A错误．
∵∠2＝30°，
∴∠1＝∠3＝60°
∴∠CAE＝90°+60°＝150°，
∴∠E+∠CAE＝180°，
∴AC∥DE，故B正确，
∵∠2＝45°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，
∵∠E+∠3＝∠B+∠4，
∴∠4＝30°，
∵∠D＝60°，
∴∠4≠∠D，故C错误，
∵∠2＝50°，
∴∠3＝40°，
∴∠B≠∠3，
∴BC不平行AE，故D错误．
故选B
【点睛】此题考查平行线的判断，解题关键在于根据三角形的度数，来进行计算
5．B
【分析】先根据平行线性质求出，再根据邻补角的定义求出，最后根据三角形外角性质得出．
【详解】解：如图：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，掌握平行线性质和三角形外角性质是解答本题的关键．
6．D
【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补）即可得到结论．
【详解】∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题关键．
7．C
【分析】直接延长交于点N，利用平行线的性质得出，再利用三角形外角的性质得出答案．
【详解】延长交于点N，
∵直线，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键．
8．B
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．
【详解】解：是的边上的中线，的面积为24cm2，
的面积为：（cm2），
点是的中点，
的面积为：（cm2），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
9．D
【分析】根据同角的余角相等可以判断；根据三角形中线的定义可以判断；根据角平分线的性质得出，根据，即可得出答案；根据和中，，但、边上的高相等，即可得出答案．
【详解】解：A.∵为边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
B.∵是中线，
∴，故B正确，不符合题意；
C.∵是角平分线，
∴，
∵，
∴
故C正确，不符合题意；
D.∵和中，，但、边上的高相等，
∴，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高线，直角三角形两锐角互余，余角的性质，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高线的性质，是解题的关键．
10．C
【分析】根据平行线的性质以及外角和定理，可求出其值．
【详解】，
，
，，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角和定理，综合性较强，难度适中．
11．A
【分析】依据△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，可得2＜BC＜11，再根据△ABC的三边长均为整数，即可得到BC＝4，6，8，10．
【详解】解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴2＜BC＜22﹣BC，
解得2＜BC＜11，
又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴AC＝为整数，
∴BC边长为偶数，
∴BC＝4，6，8，10，
即BC的长可能值有4个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
12．C
【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质、等角对等边得出AB＝AC．利用等腰三角形的性质得出AP⊥BC．∠PAD＝90°．设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x，利用各角之间的数量关系求解即可得出结果．
【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB．
∴AB＝AD．
同理：AC＝AD．
∴AB＝AC．
∵AP平分∠BAC，
∴AP⊥BC．
∵AD∥BC，
∴AP⊥AD．
∴∠PAD＝90°．
设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x，
∴∠ABC＝2x．
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝2x．
∴∠PAC＝90°﹣2x．
∵DP平分∠BDC，
∴设∠BDP＝∠CDP＝y，
∴∠BDC＝2y．
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝x+2y．
∵AC＝DA，
∴∠ACD＝∠ADC＝x+2y．
∴∠DAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣2（x+2y）．
∵∠PAD＝90°，
∴∠PAC+∠DAC＝90°．
∴90°﹣2x+180°﹣2（x+2y）＝90°．
整理得：x+y＝45°，
∵∠ADP＝∠ADB+∠BDP＝x+y，
∴∠ADP＝45°．
∴∠P＝90°﹣∠ADP＝45°．
故选：C．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用等，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键．
13．60
【分析】由图知∠ACD是△ABC的外角，∠A、∠B是和它不相邻的内角且∠A已知，∠ACD已知，所以利用＂三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和＂容易求解．
【详解】在△ABC中：
∵∠ACD=∠B+∠A
∴∠B=∠ACD-∠A
又∵、
∴∠B=
故答案为：60．
【点睛】本题考查三角形内角和定理的与其外角有关的推论．解题的关键是找准外角和与这个外角不相邻的内角，不能出错．
14．3
【分析】根据三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等，先求出的面积，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作，
∵为的中线，为的中线，
∴，，，
∵的面积为30，，
∴，
解得，
故中边上的高为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
15．稳定
【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案．
【详解】解：把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的稳定性，
故答案为稳定．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性，属于基础题，难度不大．
16．80°．
【分析】连接AA′．首先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．
【详解】连接AA′．
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C=110°，
∴∠A′BC+∠A′CB=70°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∴∠BAC=180°﹣140°=40°，
∵∠1=∠DAA′+∠DA′A，∠2=∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′=∠DA′A，∠EAA′=∠EA′A，
∴∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠BAC=80°，
故答案为:80°．
【点睛】考查角平分线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.
17．30
【分析】过点P作，则，根据平行线的性质与角平分线定义得 ，再根据三角形的外角定理，结合已知条件，得，由，根据三角形内角和定理得，由平角定义得，进而便可求得结果．
【详解】解：过点P作，则，
∴， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角定理，角平分线的定义．关键是作平行线建立已知角与未知角之间的联系．
18．或.
【分析】根据题意画出图形，当为锐角三角形或钝角三角形两种情况解答，结合已知条件即可得出的度数．
【详解】解：（1）如图，当为锐角三角形时，
，
；
（2）如图，当为钝角三角形时，
，
．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，关键在于根据题意画出图形，分别进行讨论解答．
19．105
【分析】延长交于点，先根据直角三角形的两个锐角互余可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：如图，延长交于点，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：105．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
20．4
【分析】由三角形的中线平分三角形面积的性质可得△ABE的面积，再由三角形面积公式即可求得结果．
【详解】∵AD是△ABC的BC边上的中线，，
∴．
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴．
设点B到直线AD的距离为h，则，
即，
∴h=4．
即点B到直线AD的距离为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形一边上的中线平分三角形面积的性质、三角形面积等知识，掌握三角形一边上的中线平分三角形面积的性质是本题解答的关键．
21．
【分析】根据AE是△ABC的角平分线，∠BAC=82°得出,再根据外角定理算出，从而计算出
【详解】∵根据AE是△ABC的角平分线，∠BAC=82°
∴
又∵
∴
又∵AD是△ABC的高
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的高线和角平分线以及三角形的外角定理，掌握高线和角平分线的性质和外角定理去转化角度是解题关键．
22．155
【分析】首先根据平行线的性质，可设，再根据折叠的性质可得，，，再根据平行线的性质，可得，即可求得x的值，据此即可求得．
【详解】解：四边形ABCD是矩形，
，
，
设，
，，
，
由沿AD折叠可知：，
，
由沿EF折叠可知：，
，
，
即，
解得，
，
，
故答案为：155．
【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，折叠的性质，平行线的性质，找准相等的角是解决本题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定，得到，等量代换得出，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；
（2）由，得出，再根据平行线的性质即可求出，再根据角平分线的定义即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵于E，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．
24．，（等量代换），，，
【分析】根据平行线的性质得出，求出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可．
【详解】解：∵（已知），
∴．
又∵（已知），
∴（等式的性质）．
∴（等量代换），
∴，
∴，
∴，
故答案为：，（等量代换），，，．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能正确掌握平行线的判定定理是解此题的关键．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据证明，又根据得到，即可证明；
（2）根据求出，根据邻补角的定义即可求出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，邻补角的定义的应用，熟知相关定理，证明DE∥BC是解此题的关键．
26．47°
【分析】由角平分线的定义可求得的度数，根据三角形外角的性质可求得的度数，利用三角形的高线可求解．
【详解】解：是的角平分线，，
，
，
是的高，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形的高线，角平分线，三角形外角的性质，求解∠C的度数是解题的关键．
27．垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，同旁内角互补；已知；角的补角相等；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【分析】根据平行线的判定与性质即可求解．
【详解】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC （已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），
∴EFAD（同位角相等，两直线平行），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知）
∴∠1＝∠3（同角的补角相等），
∴ABDG（内错角相等，两直线平行），
∴∠GDC＝∠B（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，同旁内角互补；已知；角的补角相等；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，垂直的定义，解题的关键是熟掌握平行线的性质与判定．
28．
【分析】先根据三角形内角和定理计算出，再根据角平分线的定义得到，利用高线得到，然后根据互余计算的度数．
【详解】解：，
，
平分，
，
是的边上的高，
，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，也考查了三角形高线的定义．
29．(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定定理得出即可；
（2）根据平行线的性质得出，，根据求出，再求出答案即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练掌握平行线的性质和判定定理是解此题的关键．
30．（1）∠BFD=145°；（2）6∠M+∠E=360°，见解析.
【分析】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=290°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=145°，从而得到∠BFD的度数；
（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°﹣∠E，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换，即可．
【详解】解：（1）如图1，作EG∥AB，FH∥AB．
∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，
∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°．
∵∠BED=∠BEG+∠DEG=70°，∴∠ABE+∠CDE=290°．
∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E，
∴∠ABF+∠CDF=145°，∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=145°；
（2）∵∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF，∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM．
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°．
∵∠M=∠ABM+∠CDM，∴6∠M+∠E=360°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．
31．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）求出根据平行线的判定得出即可；
（2）根据角平分线的定义得出，求出，根据平行线的判定得出即可；
（3）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出， ，求出，根据三角形的内角和定理得出即可．
【详解】（1）∵，
，
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
32．(1)①2，；②
(2)当或时，，理由见解析
【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得的度数及的值；②根据、的度数，可得的值；
（2）分两种情况进行讨论：在左侧，在右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得的值．
【详解】（1）解：①，平分，
，
，
；
，
，，
当时，，
即，
故答案为：，；
②，，
，
又，
，
；
（2）存在这样的的值，使得．
分两种情况：
①如图，若在左侧，
，
，
，
，
当时，，
解得；
②如图，若在右侧，
，，
当时，，
解得；
综上所述，当或时，．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，平行线的性质，三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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