资源简介

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5.1.2 垂线 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”） 第五章“相交线与平行线”5.1.2垂线，内容包括：垂线的有关概念、性质及画法、垂线段和点到直线的距离的概念.
2.内容解析
垂线是平面几何所要研究的基本内容之一.垂线的概念、画法和性质是重要的基础知识，是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用.垂线的概念和性质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：垂直定义、垂直性质的理解与运用.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解垂线的有关概念、性质及画法；
（2）知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决问题.
2.目标解析
认识垂线，理解“互相垂直”和“垂足”的含义;会用三角板或量角器过一点画一条直线(或射线、线段)的垂线:3.知道垂线的性质:过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；培养学生的观察、理解能力，几何语言能力，画图能力，抽象思维能力；培养学生动手操作能力和创造精神，运用知识解决实际问题能力，形成垂线的空间观念；培养学生辩证唯物主义思想及勇于探索的精神；培养学生的合作精神，进行集体观念的教育.
三、教学问题诊断分析
七年级学生是第三学段低年级的学生，他们在课堂中思维活跃，有想法就会举手发言甚至是抢答，探索真理的欲望比较强.因此，我们要营造轻松、和谐的课堂气氛，充分激活学生的探索欲望，让学生在教师创设的情境中充满好奇地学，留给学生足够的自主活动、相互交流的空间，让学生在观察中不断发现数学问题、在实践中领悟数学思想、在评价中逐步形成数学价值观.七年级学生由于年龄较小，他们虽然对新事物容易产生兴趣，但这种兴趣并不稳定，上课时注意力也不易持久，容易分散，因而在教学中不断激发他们的兴趣，吸引他们的注意力至关重要。我采用生动形象多媒体教学，给学生以动感，既加深了理解，也不断地引发学生的兴趣.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：能利用垂线的性质进行简单的推理.
四、教学过程设计
情境引入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
自学导航
在相交线的模型中，固定木条 a ，转动木条 b.当 b的位置变化时，a、b 所成的角
∠α也会发生变化.
当∠α=90°时，我们说 a 与 b互相垂直，记作 a⊥b.
当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，我们就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.
如上图，直线AB与直线CD垂直，记作：AB⊥CD，垂足是O；
直线 m 与直线 n 垂直，记作：m⊥n；
“⊥”是“垂直”的记号，读作“垂直于”；
而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记.
垂直的定义有以下两层含义：
1.∵AB⊥CD (已知) 2.∵∠1=90°(已知)
∴∠1=90°(垂直的定义) ∴AB⊥CD (垂直的定义)
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的木条.
你能再举出其他例子吗？
做一做
1.你能借助三角尺画出两条互相垂直的直线吗？
2.如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
3.利用下面的方法可以折出互相垂直的线，你试试看!
合作探究
1.用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
2.经过直线 l 上一点A画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
3.经过直线 l 外一点B画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线. 即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
考点解析
考点1：垂线★★★
例1.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O.若∠1=54，则∠2的度数为( )
A.26° B.36° C.44° D.54°
【迁移应用】
1.如图，点О在直线 AB 上， OC⊥OD.若∠AOC = 120°，则∠BOD的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠BOD，∠COE=40°，则∠BOF的度数为( )
A.40° B.50° C.65° D.70°
3.如图，AB 与CD相交于点O，OE ⊥AB，OF⊥CD.若∠EOD =2∠BOD，则∠EOF=_______.
4.已知OA ⊥OC，∠AOB :∠BOC =1:3，则∠BOC的度数为______________.
考点2：垂线的画法★★★
例2.如图，在三角形ABC中，过点B画边AC的垂线，下列画法正确的是( )
【迁移应用】
1.下列各图中，过直线l外一点Р画l的垂线CD，操作三角尺的方法正确的是( )
2.如图，过点P分别画出OA,OB的垂线.
合作探究
思考：如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处如何挖渠能使渠道最短？
探究：如图，连接直线 l 外一点P与直线 l 上各点O，A1，A2，A3，A4，A5，…，其中PO⊥l (我们称PO为点P到直线 l 的垂线段).比较线段PO，PA1，PA2，PA3，PA4，PA5，…的长短，这些线段中，哪一条最短？
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
现在，你知道水渠该怎么挖了吗？在书中图5.1-8中画出来，如果图中比例尺为1:100000，水渠大约要挖多长？
则：沿着垂线段PH挖渠能使渠道最短.
我们如何测量立定跳远的成绩？
考点解析
考点3：垂线、垂线段的性质★★★
例3.如图，在三角形ABC中，AB⊥BC，其中AC=2.5，AB=1，P是线段BC上任意一点，那么线段AP的长度可能为( )
A.0.5 B.0.7 C.1.5 D.4
解析:因为Р是线段BC上任意一点，且AB⊥BC，根据“垂线段最短”可知线段BC上的所有点中，与点A的距离最近的为点B，即线段AP的长度最短为1；与点A的距离最远的为点C，即线段AP的长度最长为2.5，所以1≤AP≤2.5，选项中满足条件的只有1.5.
【迁移应用】
1.如图，AC⊥BC，AD⊥CD，垂足分别为C，D.若AD=4，AB=7，则AC的长可能是( )
A.4 B.6 C.7 D.8
2.如图，测量运动员跳远成绩选取的是线段AB的长度，其依据是( )
A.两点确定一条直线 B.垂线段最短
C.两点之间，线段最短 D.垂直的定义
3.如图，AB⊥MN，BC⊥MN，垂足都是B，那么A，B，C三点在一条直线上，其依据是________________________________________________________.
考点4：点到直线的距离★★★★
例4. 如图，AB⊥AC， AD⊥BC，其中AC=4，AB=3，BC=5，AD=，CD=，则点B到AD的距离为( )
A.3 B.5 C. D.
【迁移应用】
1.P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2 cm，则点P到直线m的距离( )
A.等于4cm B.等于2cm C.小于2cm D.不大于2cm
2.如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AC=10，AB =6，BC=8，则点B到直线AC的距离为______.
考点5：利用垂直的定义判断两直线的位置关系★★★★★
例5. 如图，O是直线AB 上一点，∠AOC=∠BOC，OC是∠AOD的平分线.
(1)求∠COD的度数；
(2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由.
解:(1)因为∠AOC=∠BOC，
所以∠BOC=3∠AOC.
因为∠AOC+∠BOC=180°,
所以∠AOC+3∠AOC=180°，
所以∠AOC=45°.
因为OC是∠AOD的平分线，
所以∠COD= ∠AOC=45°.
(2)OD⊥AB.
理由如下:
由(1)知∠COD=∠AOC=45°，
所以∠AOD=∠COD+∠AOC=90°，
所以OD⊥AB.
【迁移应用】
1.如图，直线AB，CD相交于点O，OE为射线.若∠1= 30°， ∠2=120°，则OE与AB的位置关系是_____________.
2.如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.若∠1=∠2，判断ON 与CD的位置关系，并说明理由.
解:ON⊥CD.理由如下:
因为OM⊥AB，
所以∠AOM=90°,
所以∠1+ ∠AOC=90°.
因为∠1= ∠2，
所以∠2+ ∠AOC=90°.
即∠CON=90°，所以ON⊥CD.
3.如图，已知O为直线AB 上一点， OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，则OE与OD有什么位置关系 为什么
解:OE⊥OD.理由如下:
因为OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，
所以∠COE =∠BOC， ∠COD=∠AOC.
因为∠AOC+∠BOC=180°，
所以∠COD+∠COE= (∠AOC+∠BOC)=180°=90°，
即∠DOE=90°,所以OE⊥OD.
考点5：利用垂直的定义判断两直线的位置关系★★★★★
例6.【分类讨论思想】如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD.
(1)若∠BOD:∠BOC=1∶4，求∠AOE的度数；
(2)在(1)的条件下，过D点О作OF⊥AB，求∠EOF的度数.
解:(1)因为∠BOD∶∠BOC=1∶4，∠BOD+∠BOC=180°.
所以∠BOD=180×=36°，
所以∠AOC=∠BOD=36°.
因为OE⊥CD，所以∠COE=90°,
所以∠AOE=∠AOC+∠COE=126°.
(2)因为OE⊥CD，所以∠EOD=90°.
因为∠ BOD=36°,
所以∠EOB=∠EOD-∠BOD=54°.
分两种情况讨论:
①如图①，当OF在AB的下方时，
因为OF⊥AB，所以∠BOF=90°,
所以∠EOF=∠BOF+∠EOB=144°；
②如图②，当OF在AB的上方时，
因为OF⊥AB，所以∠BOF=90°,
所以∠EOF=∠BOF- ∠EOB=36°.
综上所述，∠EOF的度数为144°或36°.
【迁移应用】
1.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，∠AOE = 24°，则∠COF的度数是( )
A.146° B.147° C.157° D.136°
2.在直线AB上任取一点O，过点О作射线OC，OD，使OC⊥OD于点O.当∠AOC=30°时，∠BOD的度数为( )
A.60° B.120° C.60°或90° D.60°或120°
3.如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC.
(1)若∠BOE=60°，求∠AOF的度数；
(2)若∠BOD: ∠BOE=4∶3，求∠AOF的度数.
解:(1)因为OE平分∠BOC，∠BOE=60°，
所以∠BOC=2∠BOE=120°，
所以∠AOC=180°-∠BOC=60°.
因为OF⊥CD，所以∠COF=90°
所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-60°=30°.
(2)因为OE平分∠BOC，所以∠BOE= ∠COE.
因为∠BOD: ∠BOE=4∶3，所以设∠BOD=4x°，
则∠ BOE=3x°,所以∠COE=3x°.
因为∠BOD+ ∠BOE+ ∠COE=180°.
所以4x+3x+3x=180，解得x=18.
所以∠BOD=4×18°=72°，所以∠AOC=∠BOD=72°.
因为OF⊥CD，所以∠COF=90°，
所以∠AOF= ∠COF- ∠AOC=90°-72°=18°.
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