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5.3.2 命题、定理与证明 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第五章“相交线与平行线” 5.3.2 命题、定理与证明，内容包括：命题、定理及证明的概念；命题的题设和结论；真假命题.
2.内容解析
新课标提出了对学生“数学思考”的要求：“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.”在学段目标中，进一步指出：在探索图形性质、与他人合作交流等活动中，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达.而命题是数学教学的基本依据，经过推理证实的命题如定理可以作为继续推理的依据，所以认识命题的定义、结构、真假是数学学习的重要任务之一.而正确找出命题的题设和结论是基础，特别是题设和结论不明显的命题和难以判断真假的命题是学习的重点.本节课将通过一些具体的例子来了解基本概念，不必深究，不钻难题，所以学习本节课特别重要，是后面学习定理和证明的前提和基础，具賄承上启下的作用.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解命题、定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论.二、目标和目标解析
1.目标
(1)理解命题、定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论；
(2)会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.
2.目标解析
理解命题的概念及构成；会判断所给命题的真假；初步感知什么是证明；通过对命题及其真假的判断，提高学生的理性判断能力；通过对证明的学习，培养学生严谨的数学思维；初步体会命题在数学中的应用、用证明论证自己的判断；为今后的学习打好基础，发展应用意识；通过对命题、定理、证明的学习，让学生学会从理性的角度判断一件事情的真假，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.
三、教学问题诊断分析
学生在此之前已经学行线的判定等内容，对命题已经有了初步的认识，为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于命题、真假命题的理解，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析.于七年级学生的理解能力和思维特征和生理特征，学生好动性，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬等特点，所以在教学中应抓住学生这一生理心理特点，一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：会区分命题的条件和结论，会判断命题的真假.
四、教学过程设计
问题引入
我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话只是对事物进行描述的，如：
(1)中华人民共和国的首都是北京.……( )
(2)我们班的同学多么聪明！……………( )
(3)浪费是可耻的.………………………( )
(4)春天到了，花儿开了.………………( )
在数学学习中，同样有判断和描述这两类语言，如：
(1)画线段AB=3厘米.……………………( )
(2)两条直线相交，只有一个交点.……( )
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观察下列语句，它们有什么共同点？
(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(3)对顶角相等；
(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.
像上面这样，判断一件事情的语句，叫做命题.
命题的组成
一般地，命题由题设和结论两部分组成.
题设：是已知事项；
结论：是由已知事项推出的事项.
数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是_____，“那么”后接的部分是_____.例如，命题(1)中，“两条直线都与第三条直线平行”是_____，“这两条直线也互相平行”是_____.
(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它写成“如果……，那么……”的形式.例如，命题(3)“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.
(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
______________________________________________________________________________
(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.
______________________________________________________________________________
考点解析
考点1：命题的定义和结构
例1.判断下列语句是不是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，并指出它们的题设和结论.
(1)画线段AB=2cm；
(2)你喜欢画画吗？
(3)分数一定是有理数；
(4)同角的补角相等；
(5)两个锐角余.
解：(1)不是命题，因为没有对事情作出判断；
(2)不是命题，因为没有对事情作出判断；
(3)是命题.改写：如果一个数是分数，那么它一定是有理数.
题设：一个数是分数；结论：它一定是有理数.
(4)是命题.改写：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
题设：两个角是同一个角的补角；结论：这两个角相等.
(5)是命题.改写：如果两个角是锐角，那么这两个角互余.
题设：两个角是锐角；结论：这两个角互余.
【迁移应用】
1.下列语句中，不是命题的是( )
A.两点之间，线段最短 B.内错角都相等
C.连接A，B两点 D.平行于同一直线的两直线平行
2.下列语句中，是命题的有（ ）
①两直线平行，同旁内角相等；②π不是有理数；③若a≠b，则；④明天会下雨吗？⑤在直线AB上取一点P.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.把“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果……那么……”的形式是___________________________________________________________.
4.指出下列命题的题设和结论：
(1)如果∠1与∠2是内错角，那么∠1=∠2；
(2)对顶角相等；
(3)两个负数的和是负数.
解：(1)题设：∠1与∠2是内错角；结论：∠1=∠2.
(2)题设：两个角是对顶角；结论：这两个角相等.
(3)题设：两个数是负数；结论：这两个数的和是负数.
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真假命题
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；
假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(3)对顶角相等；
(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
考点解析
考点2：真命题和假命题
例2.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题举出一个反例.
(1)钝角大于它的补角；
(2)互补的两个角一个是钝角，一个是锐角；
(3)在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(4)若| |=| | ，则a=b；
(5)若a+b=0，则| |=| |.
解：(1)是真命题；
(2)是假命题.反例：两个角都是直角，这两个角互补，但不是钝角和锐角.
(3)是真命题；
(4)是假命题.反例：当a=-1，b=1 时，| |=| |，但a≠b.
(5)是真命题.
【迁移应用】
1.下列选项中，可以用来说明命题“若a2>4，则a>2”是假命题的反例是( )
A.a=-3 B.a=-2 C.a=2 D.a=3
2.“两直线被第三条直线所截，同位角相等” 是____命题(填“真”或“假”)
3.下列命题：①同旁内角互补； ②垂线段最短； ③同一平面内，不重合的两条直线相交，则它们只有一个交点； ④若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等.其中是真命题的是________（填序号）
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定理、证明
如何证实一个命题是真命题呢？
我们学过的一些图形的性质，都是真命题.其中有些命题是基本事实(公理)，如“两点确定一条直线”“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”等，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
考点解析
考点3：定理与证明
例3.如图，AB//CD，∠1=∠2，求证：AF//CG.
证明：∵AB//CD(已知)，
∴∠EAB=∠ECD(两直线平行，同位角相等).
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠EAB-∠1=∠ECD-∠2(等式的性质)，
即∠EAF=∠ECG，
∴AF∥CG(同位角相等，两直线平行).
【迁移应用】
1.填空完成推理过程：如图，∠1=∠2，求证：∠B=∠BCD.
证明：∵∠1=_______，∠1=∠2，
∴∠2=_______.
∴AB // CD (_______________________).
∴∠B=∠BCD(_______________________).
2.如图，已知∠A=∠ADE，∠C=∠E.求证：BE//CD.
证明：∵∠A=∠ADE(已知)，
∴DE//AC(内错角相等，两直线平行),
∴∠ABE=∠E(两直线平行，内错角相等).
又∠C=∠E(已知),
∴∠ABE=∠C(等量代换),
∴ BE//CD(同位角相等，两直线平行).
考点4：填写推理过程和依据
例4. 完成下面的证明：如图，BC//DE，BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的平分线.求证：∠1=∠2.
证明：∵BC//DE，
∴∠ABC= ∠ADE (________________________).
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的平分线，
∴∠3=∠ABC，∠4=∠ADE.
∴∠3=∠4
∴_____∥______(________________________).
∴∠1=∠2(________________________).
【迁移应用】
1.完成下面的证明：如图，AB⊥BC，BC⊥CD，且∠1= ∠2.求证：BE//CF证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD，
∴________=________= 90°(___________)
∵∠1=∠2，
∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2，即________=_________.
∴BE//CF(_________________________).
2.请补全证明过程及推理依据如图，D，E，F分别是三角形 ABC的边AB，AC，BC上的点，若AB//EF，∠DEF=∠B.求证：∠AED=∠C.
证明：∵AB//EF，
∴_______=∠EFC(________________________).
∴∠DEF=∠B，
∴∠DEF=∠EFC(__________),
∴DE//BC(______________________)，
∴∠AED= ∠C.
考点5：填写推理过程和依据
例5.如图，∠ACD是∠ACB 的邻补角，请从下面三个语句中，选出两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题.
①CE//AB；
②∠A=∠B；
③CE平分∠ACD.
(1)由上述条件可构造出哪几个真命题？ 按“ ”的形式写出来；
(2) 选择(1)中的一个真命题进行证明.
解：(1)可构造三个真命题，分别是：
命题 1：①② ③；命题 2： ①③ ②；命题 3： ②③ ①.
(2) 选择命题 2： ①③ ②
证明：∵CE//AB，
∴∠ACE=∠A，∠DCE=∠B.
∵CE 平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE.
∴∠A=∠B.( 答案不唯一)
【迁移应用】
如图，现有以下三个条件：①AB//CD；②∠B=∠D；③∠E=∠F.
请以其中两个为条件，第三个为结论构造新的命题；
(1)请写出所有的命题：(写成“如果……那么……”的形式)
(2)请选择其中的一个真命题进行证明.
解：(1)命题1：如果AB//CD，∠B=∠D，那么∠E=∠F；命题2：如果 AB//CD，∠E=∠F，那么∠B=∠D；
命题3：如果∠B=∠D，∠E=∠F，那么AB//CD.
(2)选择命题 1.
证明：∵AB//CD，
∴∠B=∠DCF
∵∠B=∠D，
∴∠D=∠DCF
∴DE//BF，
∴∠E=∠F.(答案不唯一)
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