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6.1.1 算术平方根 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第六章“实数”6.1.1 算术平方根，内容包括：算术平方根的概念、求非负数的算术平方根、算术平方根的非负性.
2.内容解析
算术平方根是人教版七年级下册第六章第一节的第一课时的教学内容。本章内容主要包括算术平方根、平方根、立方根以及实数的概念和运算.学习算术平方根是为以后学习平方根做铺垫，通过学习，学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围，完成了初中阶段对所有数的扩展.因此本节课是今后学习实数、根式、分式、函数等知识的重要基础.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.
(2)会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性．
2.目标解析
加强知识间的纵向联系。本节内容属于"数与代数"这个领域，有关数的内容，学生在七年级上册已经系统地学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深刻的认识，本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识，本节很多内容是有理数相关内容的延续和推广，因此，本节编写时，注意加强知识间的相互联系，使学生更好地体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化.例如，对于绝对值和相反数的概念，平方根的运算法则和运算性质，平方与开平方的互为逆运算关系等都是在有理数的基础上展开的.
三、教学问题诊断分析
学生通过上个学期的数学学习，能基本从具体事例中通过观察、类比等活动抽象出问题的规律，并且学生在上学期的数学已经学习了乘方这个运算，具备了用所学知识来算术平方根的基础.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负.
四、教学过程设计
情境引入
同学们，你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围吗？
大于第一宇宙速度v1：v12=gR: 小于第二宇宙速度v2：v22=2gR (其中g是物理中的一
个常数(重力加速度)，g≈9.8m/s2，R是地球半径，R≈6.4×106m.)
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学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
解：∵ 52=25
∴ 这个正方形画布的边长应取5dm.
填表：
算术平方根
像52=25，那么5叫做25的算术平方根；
102=100，那么10叫做100的算术平方根；
∵ 32=9，∴ 9的算术平方根是3.
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
a的算术平方根记作：，读作：“根号a”.
即 x2=a (x>0)
x叫做a的算术平方根，记作：x=.
规定：0的算术平方根是0. 记作： =0.
考点解析
考点1：算术平方根
类型1：利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根
例1.求下列各数的算术平方根：
(1) 36； (2)0.09； (3) 0； (4) 1.
解：(1) 因为62=36，所以36的算术平方根是6，即=6；
(2) 因为0.32=0.09 ，所以0.09的算术平方根是0.3，即=0.3；
(3) 0的算术平方根是0，即=0；
(4) 因为1=，()2=，所以1的算术平方根是，即=.
【迁移应用】
1.16的算术平方根为( )
A.±4 B.4 C.-4 D.8
2.下列说法正确的是( )
A.因为 52= 25，所以5是25的算术平方根
B.因为(-5)2=25，所以-5是25的算术平方根
C.因为(±5)2=25，所以5和-5都是25的算术平方根
D.以上说法都不对
3.填空：(1)3的算术平方根是_____； (2)是_____的算术平方根.
4.若4是3x-2的算术平方根，则x的值是______.
5.求下列各数的算术平方根：
(1)0.64； (2)； (3)(-9)2； (4)2.
解：(1)=0.8；(2)=；(3)=9；(4).
类型2：利用算术平方根的定义化简
例2.求下列各式的值：
(1) ； (2)； (3) .
解：(1)因为是81的算术平方根，92=81，所以=9；
(2)因为是的算术平方根，=所以=；
(3)因为是(-0.3)2的算术平方根， (-0.3)2=0.32，所以=0.3.
【迁移应用】
1.计算：(1) =_____； (2)=_____； (3)-=______；
(4)=_____； (5)+-=_____.
2.已知=3，则x=______.
3.若单项式2xmy3与3xym+n是同类项，则的值为______.
能力提升
算术平方根的性质：
1.一个正数的算术平方根有几个？
一个正数的算术平方根有1个
2.0的算术平方有几个？
0的算术平方根有一个，是0.
3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根
负数没有算术平方根.
考点解析
考点2：求的算术平方根
例3.【易错点】的算术平方根是______.
解析：=11，11的算术平方根是.
【迁移应用】
1.的算术平方根是______.
2. 的算术平方根是_______.
考点3：算术平方根的应用
例4. 如图，每个小正方形的边长均为1，把阴影部分剪下来，并用来拼成一个正方形，那么新正方形的边长是______.
解析：阴影部分的面积为5，设新正方形的边长为a，则a2=5，所以a=.
【迁移应用】
1.一个正方形的面积扩大为原来的16倍，则它的周长变为原来的_____倍.
2.物体自由下落的高度h(单位：m)与下落时间t(单位：s)的关系是h=4.9t2.现有一物体从19.6 m高的建筑物上自由落下，到达地面需要_____S.
考点4：利用算术平方根的非负性解决问题
例5. 若三个数x，y，z满足(x-2)2++|z-3|=0，求(x+3y)z的值.
【解析】因为(x-2)2++|z-3|=0，
(x-2)2≥0，≥0，|z-3|≥0，
所以(x-2)2=0，=0，|z-3|=0.
所以x-2=0，y+1=0，z-3=0.
所以x=2，y=-1，z=3.
所以(x+3y)z=[2+3×(-1)]3=(-1)3=-1.
【迁移应用】
1.已知+=0，则(a-b)2032的值为_______.
2.已知数x，y满足+(y+1)2=0，则x-y=______.
3.若|3x-3|与互为相反数，则x+4y的算术平方根为______.
解析：由题意可得|3x-3|+=0.
因为|3x-3|≥0， ≥0，
所以|3x-3|=0，=0.
所以3x-3=0，y-2=0，即x=1，y=2.
所以x+4y=1+4×2=9.
因为=3，所以x+4y的算术平方根为3.
4.若(a+1)2+|b-2|+=0，求a(b+c)的值.
解析：因为(a+1)2+|b-2|+=0，
所以a+1=0，b-2=0，c+3=0，
所以a=-1，b=2，c=-3，则a(b+c)=-1×[2+(-3) ]=1.
考点5：利用算术平方根的非负性解决问题
例6. 通过计算下列各式的值探究问：:
(1)=_____； =_____； =_____； =_____.
探究：对于非负数a，=______.
(2) =______；=______；=______.
探究：对于负数a，=______.
(3)归纳：对于任意数a，=______.
【迁移应用】
1.通过计算下列各式的值探究问题：
()2=_____； ()2=_____； ()2=_____； ()2=_____； ()2=_____.
归纳：对于任意非负数a，()2=______.
2. 计算并观察下列算式的结果：，，，，···，则=_________.
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