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11.3 不等式的基本性质
知识点一、不等式的基本性质1
不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；即如果a＞b，那么a＋c＞b＋c或a－c＞b－c；如果a＜b，那么a＋c＜b＋c或a－c＜b－c.
1．如果＞，那么 （填“=”、“＞”或“＜”）．
知识点二、不等式的性质2
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b且c＞0，那么ac＞bc或，如果a＞b且c＜0，那么ac＜bc或．
2．已知x＜y，则 （填“＞”、“＜”或“＝”）
一．选择题（共10小题）
3．若，则下列式子中错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．若不等式，两边同时除以，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，则
6．已知，若c是任意有理数，则下列不等式中总成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．已知，则下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，，，，四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A． B． C． D．
10．已知非负实数，，满足，设，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知三个实数a，b，c满足，，，则下列结论一定成立的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
12．若，且，则（ ）.
A．有最小值 B．有最大值1
C．有最大值2 D．有最小值
二．填空题（共10小题）
13．若，且，求a的取值范围 ．
14．若，则 0．（用＜，＝，＞填空）
15．选择适当的不等号填空：若，则 ．
16．已知，则 ．（填>、=或<）
17．若，则 ．
(用“＞”，“＜”，或“＝”填空)
18．如果x＞y，且（a-1）x＜（a-1）y，那么a的取值范围是 ．
19．已知x，y满足，若，则y的范围是 ．
20．用不等号填空，并说明根据的是不等式的哪一条基本性质：
(1)若x＋2＞5，则x 3，根据不等式的基本性质 ；
(2)若－x＜－1，则x ，根据不等式的基本性质 ．
21．已知 ．①若，则a的取值范围是 ；②若，且，则 ．
22．某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题）
23．已知关于x，y的方程组．
(1)若x，y为非负数，求a的取值范围；
(2)若，且，求a的取值范围．
24．根据不等式的性质：若，则；若，则．利用上述方法证明：若，则．
25．已知：x，y满足3x-4y=5．
（1）用含x的代数式表示y，结果为______；
（2）若y满足-1＜y≤2，求x的取值范围；
（3）若x，y满足x+2y=a，且x＞2y，求a的取值范围．
26．已知实数x、y满足．
（1）用含有x的代数式表示y；
（2）若实数y满足y＞1，求x的取值范围；
（3）若实数x、y满足，且，求k的取值范围．
27．知识阅读：我们知道，当a＞2时，代数式a－2＞0；当a＜2时，代数式a－2＜0；当a＝2时，代数式a－2＝0．
(1)基本应用：当a＞2时，用“＞，＜，＝”填空：a＋5________0；(a＋7)(a－2)________0；
(2)理解应用：当a＞1时，求代数式＋2a－15的值的大小；
(3)灵活应用：当a＞2时，比较代数式a＋2与＋5a－19的大小关系．
28．用等号或不等号填空：
(1)比较与的大小
当时，
当时，
当时，
(2)无论取什么值，与总有这样的大小关系吗？试说明理由．
(3)比较与的大小关系，并说明理由．
(4)比较与的大小关系．
29．阅读下列材料：
问题：已知，且，，试确定的取值范围
解：，
，
又，
，
，
又，
①，
，
即②，
①②得：，
的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，，
①试确定的取值范围；
②试确定的取值范围；
(2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请直接写出、的值．
30．题目：已知关于x、y的方程组，求：（1）若3x＋3y＝18，求a值；（2）若－5x－y＝16，求a值.
问题解决：
(1)王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将①＋②可得3x＋3y＝3a＋3，又因为3x＋3y＝18，则a值为________；
(2)王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将①×m，②×n，得，再将③＋④得：（m+2n）x+（2m+n）y=（-m+4n）a+3m，又因为-5x-y=16，……，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值；
问题拓展：
(3)已知关于x、y的不等式组，若x＋5y＝2，求a的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．<
【分析】根据不等式的性质进行变形即可．
【详解】解：∵a>b，
∴-a<-b，
∴2-a<2-b，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
2．＞
【分析】根据不等式的基本性质进行解答即可．
【详解】解：∵x＜y，
∴，
∴．
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，注意不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向发生改变．
3．B
【分析】根据不等式的性质可进行求解．
【详解】解：由可知：
A、，正确，故不符合题意；
B、，原不等式错误，故符合题意；
C、，正确，故不符合题意；
D、，正确，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【详解】不等式，两边同时除以，可得，
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是正确理解不等式的性质，本题属于基础题型．
5．D
【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 若，则，故该选项不正确，不符合题意；
B. 若，则，故该选项不正确，不符合题意；
C. 若，且，则，故该选项不正确，不符合题意；
D. 若，则，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．A
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A、由根据不等式的性质1，可得，故此选项正确，符合题意；
B、由根据不等式的性质1，可得，不能得到，故此选项错误，不符合题意；
C、根据不等式的性质，如果则可得，如果，则，故此选项错误，不符合题意；
D、当时，，故此选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．
7．D
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可解题．
【详解】解：A.当时，，故A不成立；
B.，，故B不成立；
C.，，故C不成立；
D.，故D成立；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
8．B
【分析】根据实数，逐项给出的值举例，看能否举出反例，即可得到答案．
【详解】解：当，，时，，故A选项错误；
当，，时，，故C选项错误；
当，，时，，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，可以通过举反例来得到结论．
9．C
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：①，②，③，
由③得：④，
把④代入②得：，，
，
，
由③得：，
，
，
，
，即．
故本题选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
10．C
【分析】设，则，，，可得；利用，，为非负实数可得的取值范围，从而求得最大值．
【详解】解：设，则，，，
．
，，为非负实数，
，
解得：．
当时，取最小值，当时，取最大值．
，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设 是解题的关键．
11．A
【分析】根据，可得a和b同号，再根据和，即可判断a，b，c的符号．
【详解】解：∵，
∴a和b同号，
又∵和，
∴，，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数的运算法则，解题的关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负；同号两数相加，取它们相同的符号；异号两数相加，取绝对值较大数的符号．
12．C
【详解】由已知条件，根据不等式的性质求得b≤＜0和a≥；然后根据不等式的基本性质求得≤2 和当a＞0时，＜0；当≤a＜0时，≥；
所以A、当a＞0时，＜0，即的最小值不是，故本选项错误；
B、当≤a＜0时，≥，有最小值是，无最大值；故本选项错误；
C、有最大值2；故本选项正确；
D、无最小值；故本选项错误．
故选C．
考点：不等式的性质．
13．
【分析】根据题意，在不等式的两边同时乘以后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出，解此不等式即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
14．＞
【分析】根据不等式的性质可进行求解．
【详解】∵，
∴，
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
15．
【分析】根据不等式的性质，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
16．<
【分析】先根据不等式的性质3得<，再根据不等式的性质1即可得到结论．
【详解】解：，
根据不等式的性质3，得<，
根据不等式的性质1，得<，
故答案为：<．
【点睛】本题考查不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握不等式的三个基本性质，特别是性质3，不等式的两边同乘以或同除以同一个负数不等号的方向改变．
17．＞
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
18．a＜1
【分析】根据不等式的性质3，可得答案．
【详解】解：由题意，得
a-1＜0，
解得a＜1，
故答案为a＜1．
【点睛】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．
19．-1.5【分析】先变形为x=6-2y，根据列得-1≤6-2y<3，求解即可．
【详解】解：∵，
∴x=6-2y，
∵，
∴-1≤6-2y<3，
解得-1.5故答案为：-1.5【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，正确理解题意将方程变形得到不等式组是解题的关键．
20． （1）＞ 1 （2）＞ 2
【分析】根据不等式的性质，即可解答．
【详解】（1）若x+2＞5，则x＞3，根据不等式的性质1；
（2）若 x＜-1，则x＞，根据不等式的性质3；
故答案为（1）＞，1；（2）＞，3．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是熟记不等式的性质．
21． 3
【分析】①由，可得，代入，即可求解，②由，，可得，即，再利用完全平方公式即可作答．
【详解】∵，
即，
①若，即，
即有，
解得：；
②若，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：①；②3．
【点睛】本题考查了求解不等式的解，运用完全平方公式进行计算等知识，根据已知条件确定a的符号是解答本题的关键．
22．
【分析】通过找到临界值解决问题．
【详解】由题意知，令3x-1=x，
x=，此时无输出值
当x＞时，数值越来越大，会有输出值；
当x＜时，数值越来越小，不可能大于10，永远不会有输出值
故x≤，
故答案为x≤．
【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是理解题意，学会找到临界值解决问题．
23．(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组，再由题意可得，求出的范围即可；
（2）由题意可得，，求出的范围即可．
【详解】（1）解：，
①②得，
将代入①得，，
，为非负数，
，
解得；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组、并准确求解一元一次不等式组的解集是解题的关键．
24．见解析
【分析】先求出，根据，得出，从而得出，即，从而证明结论．
【详解】证明：
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了分式加减运算的应用，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．
25．（1）；（2）＜x≤；（3）a＜10．
【分析】（1）解关于y的方程即可；
（2）利用y满足-1＜y≤2得到关于x的不等式，然后解不等式即可；
（3）先解方程组，由x＞2y得不等式，解不等式即可．
【详解】（1）y=；
故答案为：y=；
（2）根据题意得：-1＜≤2，
解得：＜x≤；
（3）解方程组
得：
∵x＞2y，
∴＞2×，
解得：a＜10．
【点睛】本题考查了解不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
26．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）移项得出3y＝1 2x，方程两边都除以3即可；
（2）根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可；
（3）解方程组求出x、y，得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）2x＋3y＝1，
3y＝1 2x，
；
（2）＞1，
解得：x＜ 1，
即若实数y满足y＞1，x的取值范围是x＜ 1；
（3）联立2x＋3y＝1和2x 3y＝k得：
，
解方程组得：，
由题意得：，
解得： 5＜k≤3．
【点睛】本题考查了解二元一次方程和解二元一次方程组、解一元一次不等式组等知识点，能正确解方程组或不等式组是解此题的关键．
27．(1)＞，＞
(2)a2＋2a－15＞－12
(3)当a≥3时，a2＋5a－19≥a＋2；当2＜a＜3时，a2＋5a－19＜a＋2
【分析】（1）当a＞2时，a+5＞2+5=7＞0；a+7＞2+7=9＞0；a-2＞2-2＞0；根据同号得正判断即可．
（2）运用完全平方公式，变形后，运用（1）的性质计算即可．
（3）先对代数式作差后，分差值大于等于零和小于零，讨论计算即可．
【详解】（1）∵a＞2，
∴a＋5＞0；
∵a＞2，
∴a－2＞0，a＋7＞0，
（a＋7）（a－2）＞0，
故答案为：＞，＞．
（2）因为＋2a－15＝－16，
当a＝1时，＋2a－15＝－12，
所以当a＞1时，＋2a－15＞－12．
（3）先对代数式作差，（＋5a－19）－（a＋2）＝＋4a－21＝－25，
当－25＞0时，a＜－7或a＞3．
因此，当a≥3时，＋5a－19≥a＋2；
当2＜a＜3时，＋5a－19＜a＋2．
【点睛】本题考查了不等式的性质及其应用，熟练掌握性质，灵活运用完全平方公式作差计算是解题的关键．
28．(1)
(2)无论取什么值，总有；理由见解析
(3)，理由见解析
(4)当时，；当时，；当时，．
【分析】（1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较即可；
（2）根据，即可得出答案；
（3）根据 ，即可得出答案；
（4）先求出，再分当时，当时，当时分别进行讨论即可．
【详解】（1）当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
故答案为；；
（2）∵，
∴无论取什么值，总有；
（3）∵
∴；
（4）∵，
∴当时，，
当时，，
当时，．
【点睛】本题考查了不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，整式的加减，实数大小的比较等知识点，关键是根据两个式子的差比较出数的大小．
29．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①结合题干给出的思路，根据，可得，结合，可得，即有；②由①得：，同理可得②，问题随之得解；
（2）结合题干给出的思路，可得①、②，即有，结合，可得，解方程即可求解．
【详解】（1）①，
，
，
，
，
，
，
②由①得：，
，
即②，
，
的取值范围是；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，即，
即①，
，
，
，
②，
①②得：，
的取值范围是，
，
解得：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的运用、一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证．
30．(1)5；
(2)m=1，n=-3，a=-1；
(3)a的取值范围为．
【分析】（1）将方程组中的两个方程直接相加，整体代换求值；
（2）通过对比得到关于m，n，a的方程组求值；
（3）利用不等式的性质得到关于a的不等式，求出a的范围．
【详解】（1）解：，
①+②得：3x+3y=3a+3，
∵3x+3y=18，
∴3a+3=18，
∴a=5．
故答案为：5；
（2）解：∵（m+2n）x+（2m+n）y=（-m+4n）a+3m，又因为-5x-y=16，
∴，
∴m=1，n=-3，a=-1；
（3）解：已知关于x，y的不等式组，
①×3得：3x+6y＞-3a+9④，
②×（-1）得：-2x-y＞-4a⑤，
④+⑤得：x+5y＞-7a+9，
∵x+5y=2，
∴2＞-7a+9．
∴a＞1．
【点睛】本题考查二元一次方程组，不等式，根据题意建立适当的方程和不等式是求解本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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