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11.4 解一元一次不等式
知识点一、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，叫作一元一次不等式．
1.一元一次不等式满足的条件：
（1）左右两边都是整式（单项式或多项式）；
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数为1
2.一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
例：
1．下列不等式中是一元一次不等式的是（ ）
A．y+3=x B．3<﹣4 C．2x2﹣4≥1 D．2﹣x≤4
知识点二、一元一次不等式的解法
1.与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x＜a（x≤a）或x＞a（x≥a）的形式．
2.解一元一次不等式的一般步骤为：
（1）去分母，依据：不等式的基本性质2；
（2）去括号，依据：去括号法则；
（3）移项，依据：不等式的基本性质1；
（4）合并同类项，依据：合并同类项法则；
（5）将未知数的系数化为1，依据：不等式的基本性质2.
PS：在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
例：
2．不等式的解集是(　　)
A．x＞9 B．x＜9 C．x＞ D．x＜
巩固练习
一．选择题（共10小题）
3．已知不是关于的不等式的整数解，是关于x的不等式的一个整数解，则的取值范围为（ ）
A． B．≤ C． ≤10 D．≤≤
4．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式m＜2的正整数解只有一个
B．-3是不等式3m-2＜0的一个解
C．不等式m＞2的整数解有无数个
D．不等式-2m＞4的解集是m＞-2
6．若关于x的不等式恰有3个正整数解，则字母a的取值范围是（ ）
A．a≤-1 B．-2≤a＜-1 C．a<-1 D．-2＜a≤-1
7．关于x的不等式x+1＜a有且只有四个非负整数解，则a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
8．不等式5+2x≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（ ）
A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数
C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数
10．若是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
11．若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．关于x的方程3x﹣2m＝1的解为正数，则m的取值范围是(　　)
A．m＜﹣ B．m＞﹣ C．m＞ D．m＜
二．填空题（共10小题）
13．若关于的不等式的最小整数解为3，则整数的值为 ．
14．一元一次不等式的解集在数轴上如图表示，该不等式有两个负整数解，则a的取值范围是 ．
15．规定，若x、y满足，，则x的取值范围是 .
16．若满足的每一个实数都是不等式的解，则实数取值范围为 ．
17．定义新运算：a b＝1﹣ab，则不等式x 2≥﹣3的非负整数解的个数为 ．
18．已知 有实数解，则m的最大值为 ．
19．已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则常数a的取值范围是 ．
20．使不等式4x+321．关于x的一元一次不等式的解集为x≥4，则m的值为 ．
22．已知关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是 ．
三．解答题（共10小题）
23．解方程和不等式：
(1)；
(2)．
24．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
25．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
26．已知不等式的最大整数解是方程的解，求m的值．
27．已知关于x的方程3x＋ax＝－2的解是不等式的最大整数解，求代数式a3的值．
28．规定，如．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，，求的值．
29．（1）解方程组：
（2）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来，同时写出它的最大整数解．
30．已知关于的方程，
(1)若该方程的解满足，求的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值．
31．定义一种新运算“”：当时，；当时，．
例如：，．
(1)填空：______．
(2)若，则的取值范围为______；
(3)已知，求的取值范围；
(4)计算．
32．定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的蕴含不等式．
(1)在不等式中，是的蕴含不等式的是 　　；
(2)若是的蕴含不等式，求的取值范围；
(3)若是的蕴含不等式，是的蕴含不等式，求n的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
【详解】解：A、y+3=x为二元一次方程，故不合题意；
B、3<-4没有未知数，故不合题意；
C、2x2-4≥1未知数的最高次数为2，故不合题意；
D、2-x≤4符合一元一次不等式的定义，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0．
2．A
【分析】根据去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解.
【详解】,
去分母得： ,
移项得： ,
合并同类项得： ,
解得： .
故选A.
【点睛】本题考查解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1.
3．B
【分析】由3x-m＞2得x＞，根据x=3不是不等式3x-m＞2的整数解且x=4是关于x的不等式3x-m＞2的一个整数解得出≥3、＜4，解之即可得出答案．
【详解】解：由3x-m＞2得x＞，
∵x=3不是不等式3x-m＞2的整数解，
∴≥3，
解得m≥7；
∵x=4是关于x的不等式3x-m＞2的一个整数解，
∴＜4，
解得m＜10，
∴m的取值范围为7≤m＜10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，解题的关键是根据不等式整数解的情况得出关于m的不等式．
4．C
【分析】先求出不等式的解集，然后画出数轴，并在数轴上表示出不等式的解集．
【详解】解：，
解得：，
表示在数轴上，如图所示：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．
5．D
【分析】根据不等式的解及解不等式逐一判断可得．
【详解】解：A、不等式m＜2的正整数解只有一个，为m=1，此选项正确，不符合题意；
B、由-3×3-2=-11＜0知-3是不等式3m-2＜0的一个解，此选项正确，不符合题意；
C、不等式m＞2的整数解有无数个，此选项正确，不符合题意；
D、不等式-2m＞4的解集是m＜-2，此选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，不等式的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
6．B
【分析】根据不等式恰有3个正整数解，可得，即可求出a的范围即可．
【详解】解：∵关于x的不等式恰有3个正整数解，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解的应用，能根据已知不等式有3个正整数解，确定是解此题的关键．
7．C
【分析】表示出不等式的解集，根据不等式有且只有四个非负整数解，确定出a的范围即可．
【详解】解：不等式移项得：x＜a-1，
∵不等式有且只有四个非负整数解，即0，1，2，3，
∴3＜a-1≤4，
解得：4＜a≤5．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
8．B
【分析】先解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集，不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
【详解】解：5+2x≥3
解得，
在数轴上表示解集，如图，
故选B
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
9．C
【分析】根据绝对值的定义先求出的取值范围，再根据始终成立，求出的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
∵始终成立，
∴的取值范围是小于或等于的有理数．
故选：．
【点睛】本题结合绝对值考查了解不等式，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键．
10．B
【分析】将x=4代入方程，求出b=-4k＞0，求出k＜0，把b=-4k代入不等式，再求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵x=4是关于x的方程kx+b=0（k≠0，b＞0）的解，
∴4k+b=0，
即b=-4k＞0，
∴k＜0，
∵k（x-3）+2b＞0，
∴kx-3k-8k＞0，
∴kx＞11k，
∴x＜11，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程的解，能求出b=-4k和k＜0是解此题的关键．
11．D
【分析】解关于的不等式求得，根据不等式的正整数解的情况列出关于的不等式组，解之可得．
【详解】解：移项，得：，
系数化为1，得：，
不等式的正整数解为1，2，3，
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12．B
【分析】先求出方程的解，再根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：解方程3x﹣2m＝1得：x＝，
∵关于x的方程3x﹣2m＝1的解为正数，
∴＞0，
解得：m＞﹣，
故选B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次方程、一元一次方程的解，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
13．7或8或9
【分析】先解一元一次不等式，再根据题意判定，即可得出m的取值范围．
【详解】解：根据题意，不等式可转化为：
．
又∵其最小整数解为3，
∴．
解得．
满足条件的整数的m的值是：7或8或9，
故答案是：7或8或9．
【点睛】此题主要考查解一元一次不等式和不等式的整数解，根据最小整数解为3得出m的取值范围是解题的关键．
14．﹣3＜a≤﹣2
【分析】根据关于x的一元一次不等式x≥a的两个负整数解，由图形可知：只能是-2、-1，求出a的取值范围即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元一次不等式x≥a只有两个负整数解，
又由图可知：关于x的一元一次不等式x≥a的2个负整数解只能是﹣2、﹣1，
∴a的取值范围是﹣3＜a≤﹣2．
故答案为：﹣3＜a≤﹣2．
【点睛】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件．
15．
【分析】根据题意可得，，经过变形可得，代入不等式中将其化为一元一次不等式，求解即可．
【详解】x、y满足，，
，，
，
，
解得，
故答案为： ．
【点睛】本题属于新定义题目，涉及二元一次方程及一元一次不等式，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键．
16．##
【分析】先求出当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，再根据题意确定此时不等式的解集为，由此即可得到．
【详解】解：∵，
∴或
∴或，
当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，
∵满足的每一个实数都是不等式的解，
∴此时不等式的解集为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集情况求参数，把不等式转化为两个一元一次不等式组是解题的关键．
17．3
【分析】根据新定义的运算得出1-2x≥-3，求出1-2x≥-3的非负整数解即可．
【详解】解：根据题意得：x 2=1-2x，
∵x 2≥﹣3，
∴1-2x≥﹣3，
解得：x≤2，
∴不等式x 2≥﹣3的非负整数解为0，1，2，共3个．
故答案为：3
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，理解新定义的运算是正确解答的关键，求出一元一次不等式的解集是得出正确答案的前提．
18．
【分析】分三种情况讨论x的值对等式的影响，根据根的判别式大于等于零，求解m的取值范围．
【详解】解：①当时，原方程变形为：
整理得，
∴
解得：
②当时，原方程变形为：，
整理得，
∴
解得
③当时，原方程变形为：
整理得，
∴
解得
综上，m的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根据的判别式，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
19．
【分析】先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出不等式求解即可．
【详解】解：关于x的不等式，
解得：，
关于x的不等式的解也是不等式的解，
，
不等式的解集是，
，解得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是分别求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出关于a的不等式，注意在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向．
20．x=0
【分析】移项、合并同类项、系数化为1得出不等式的解集，从而得出答案．
【详解】4x+3 < x +6
4x x<6 3，
3x<3，
x<1，
则不等式的最大整数解为0，
故答案为x=0．
【点睛】考查一元一次不等式的解法，掌握一元一次不等式的解题步骤是解题的关键．
21．2
【分析】首先根据求不等式的方法得出不等式的解，然后根据解得出答案．
【详解】解：两边同乘以3可得：m－2x≤－6，
移项可得：－2x≤－m－6，
两边同除以－2可得：x≥，
∴=4，
解得：m=2．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查的就是解不等式的方法，属于基础题型．在解不等式时，如果在不等式的两边同时除以一个负数，不等符号一定要改变．
22．
【分析】根据不等式的性质3，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【详解】解：不等式的解集为，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，由不等号方向改变，得出未知数的系数小于0是解题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可；
（2）先去括号，然后再移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可．
【详解】（1）解：
去括号得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：；
（2）解：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式的基本步骤，准确计算．
24．，数轴见解析
【分析】先去括号，然后移项、合并同类项，系数化为1，进而可求出不等式的解集；然后将其解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
在数轴上表示不等式的解集为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中．
25．，数轴见解析
【分析】先解一元一次不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可求解．
【详解】解：，
，
，
解得，
在数轴上表示不等式的解集，如图，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
26．m=-．
【分析】解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最大整数解，然后代入方程方程2x-mx=-10，从而可以得到m的值．
【详解】解：3（x-2）-5＞6（x+1）-7，
去括号得：3x-6-5＞6x+6-7，
移项合并得：-3x＞10，
∴x＜-，
∴最大整数解为-4，
把x=-4代入2x-mx=-10，得：-8+4m=-10，
解得m=-．
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法．
27．－8
【分析】解不等式得到不等式的解集，找到最大整数解，将解代入方程3x＋ax＝－2中，求得a的值，将a代入代数式求值即可．
【详解】解：
∴不等式的最大整数解是-2，
∵关于x的方程3x＋ax＝－2的解是不等式的最大整数解
∴x=-2是方程3x＋ax＝－2的解，
∴-6-2a=-2，解得a=-2，
a3=（-2）3=-8．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、一元一次方程和代数式求值，解题的关键是熟练掌握解不等式和方程的步骤．
28．（1）；（2）6
【分析】（1）根据新定义列出关于x的不等式，再进一步求解即可;
（2）根据新定义得到方程组，解方程组求得x，y的值，然后计算即可．
【详解】解：（1）根据题意得，
解得：，
则的取值范围为；
（2）由题意可得，
解得：，
则．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和二元一次方程组的应用，能根据题意的新定义得到不等式或方程组是解此题的关键．
29．（1）；（2）不等式的解集为，见解析，最大整数解是．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：（1），
由①得，，③
把③代入②，得，
解得：
把代入③，得，
方程组的解为为：；
（2）
去分母得：3（2x+1）≤4（x1），
去括号得：6x+3≤4x4，
移项合并同类项得：2x≤7，
解得：，
∴不等式的解集为，
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
∴它的最大整数解是；
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．
30．(1)
(2)
【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解；
（2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最小整数解，可得，即可求解．
【详解】（1）解：，
解得：，
∵该方程的解满足，
∴，
解得：；
（2）解：
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：．
∵该方程的解是不等式的最小整数解，
∴，
∴，解得：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
31．(1)-10
(2)
(3)或；
(4)
【分析】（1）根据题目所给新定义求解即可；
（2）根据题意可得，解不等式即可；
（3）分当，即时，当，即时，两种情况讨论求解即可；
（4）先证明，然后根据新定义结合整数的加减计算法则求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：-10；
（2）解：∵，
∴，
解得，
故答案为：；
（3）解：当，即时，
∴，
∴，
解得；
当，即时，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或；
（4）解：当，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键．
32．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据蕴含不等式的定义即可求解；
（2）先解不等式可得，再根据蕴含不等式的定义解不等式即可求解；
（3）根据蕴含不等式的定义可得，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：在不等式中，是的蕴含不等式的是．
故答案为：；
（2）解：解不等式，
可得，
则，
解得．
故的取值范围是；
（3）解：依题意有：，
解得．
故的取值范围是．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的技能和蕴含不等式的定义是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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