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8.2 可能性的大小+8.3 频率与概率
课程标准 课标解读
知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率． 1．理解概率的定义，通过具体情境了解概率的意义；2．理解频率与概率的关系，能利用频率与概率的关系解决实际问题．
知识点 频率与概率
1．概率
随机事件发生的可能性有大有小．一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率。如果用字母A表示一个事件，那么P（A）表示事件A发生的概率．
事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P（必然事件）=1，P（不可能事件）=0，0＜P（随机事件） ＜1．
所以有：P（不可能事件）＜P（随机事件）＜P（必然事件）．
一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的．概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小．
2．频率
通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性．
一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值．
【微点拨】
①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的．
【即学即练1】
1．不透明的袋子中装有标号为1，2，2，3，3，3的完全相同的六个小球，从中任意摸出一个球，则（ ）
A．摸到标号为1的球的可能性最大
B．摸到标号为2的球的可能性最大
C．摸到标号为3的球的可能性最大
D．摸到标号为1，2，3的球的可能性一样大
【即学即练2】
2．新冠疫情发生以来，截止年月日为止，全球累计有人确诊，“”中出现数字“”的频率是（ ）
A． B． C． D．
考法 用频率估计概率
【典例1】
3．在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在25%左右，则a的值大约为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
题组A 基础过关练
4．下列事件中，确定事件是（　　）
A．打开电视机，正在播放广告 B．买一张电影票，座位号是奇数号
C．3天内会下雨 D．13个人中至少有2人生日在同一个月
5．向上抛掷一枚硬币，落地后正面朝上这一事件（ ）
A．必然发生 B．不可能发生 C．可能发生 D．以上都对
6．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．射击一次，子弹中靶 B．把铁块扔到水中，铁块浮起
C．随机买一张电影票，座位号是偶数号 D．任意画一个三角形，其内角和是180°
7．“新冠病毒”的英语单词“Novelcoronavirus”中，字母“o”出现的频率是（ ）
A． B． C． D．
8．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A． B． C． D．
9．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”，获得的数据如下表：
抛掷次数 100 500 1 000 1 500 2 000
正面朝上的频数 45 253 512 756 1 020
若抛掷硬币的次数为3 000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．1 000 B．1 500 C．2 000 D．2 500
10．2021年3月12日是我国第43个植树节，某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，幼树移植过程中的一组统计数据如下表：
幼树移植数（棵） 400 1500 3500 7000 9000 14000
幼树移植成活数（棵） 325 1336 3203 6335 8073 12628
幼树移植成活的频率 0.813 0.891 0.915 0.905 0.897 0.902
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是 （精确到0.1）．
11．在一个不透明的布袋里共装有80个红球和白球，这些球除颜色外完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，摸到红色球的频率稳定在20%左右，则可以估计到布袋中红色球可能有 个．
题组B 能力提升练
12．小明和小亮乘一小竹筏过河．小明体重约58千克，小亮体重约58.1千克，小竹筏能承载的最大重量约为57.9千克．下列说法：①小明一定能过河；②小亮一定不能过河；③小明有可能过河；④两人都有可能过河．正确的说法有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
13．下列事件是必然事件的是（ ）
A．疫情期间参加聚会会感染新冠病毒
B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
C．打开的电视机正在播放新闻
D．13个同学中至少有两个同学同一个月生日
14．一个不透明的袋子里有4个红球和若干个白球，每个球除颜色以外都相等，从袋中任意摸出一个球，记好颜色后放回，经过大量的摸球实验，摸到白球的频率在0.75附近摆动，则袋中白球的个数是（ ）
A．3 B．8 C．12 D．16
15．抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（ ）
A．可能有50次反面朝上 B．每两次必有1次反面朝上
C．必有50次反面朝上 D．不可能有100次反面朝上
16．在一个不透明的布袋中装有红色、蓝色、白色玻璃球共60个，除颜色外其他安全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在0.15左右，则口袋中红色球可能有 个．
17．某批乒乓球的质量检验结果如表：
抽取的乒乓球数
优等品的频数
优等品的频率
从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是 精确到
18．某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．
柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500
损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05
柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 a 0.100 b
(1)填空：a≈　　，b≈　　；
(2)柑橘完好的概率约为　　（精确到0.1）；
(3)柑橘的总重量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
题组C 培优拔尖练
19．下列说法正确的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件
C．湖州气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着湖州明天一定下雨
D．“”是必然事件
20．一个布袋里装有2个红球，3个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下事件中，发生的可能性最大的是(　　)
A．摸出的是白球 B．摸出的是黑球
C．摸出的是红球 D．摸出的是绿球
21．小明在一次用频率估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率,并绘制了如图所示的统计图,则符合这一结果的实验可能是（ ）

A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
C．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到白球的概率
D．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
22．老师组织学生做分组摸球实验．给每组准备了完全相同的实验材料，一个不透明的袋子，袋子中装有除颜色外都相同的3个黄球和若干个白球．先把袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下球的颜色再放回，即为一次摸球．统计各组实验的结果如下：
一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 八组 九组 十组
摸球的次数 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
摸到白球的次数 41 39 40 43 38 39 46 41 42 38
请你估计袋子中白球的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．我们将2022年2月2日用一组数字“20220202”表示，这组数字中“2”出现的频率是 ．
24．某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检，相关数据如下：
抽取的毛绒玩具数 20 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数 19 47 91 184 462 921 1379 1846
优等品的频率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 ．（精确到
25．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：
实验次数n 200 300 400 500 600 700 800 1000
摸到红球次数m 151 221 289 358 429 497 571 702
摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 a b
(1)表格中a＝　　；b＝　　；（精确到0.01）
(2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为 　　；（精确到0.1）
(3)如果袋子中有14个红球，1个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？
26．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602
摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 个；
（3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为 50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据题意得到相应的可能性，然后再比较即可．
【详解】解：摸到标号为1的球的可能性为，
摸到标号为2的球的可能性为，
摸到标号为3的球的可能性为，
∵，
∴摸到标号为3的球的可能性最大．
故选：C．
【点睛】本题考查的是对可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
2．A
【分析】用频率=频数÷总数计算即可．
【详解】“”共有8个数字，其中“1”出现了3次，所以“”中出现数字“”的频率是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查频率，掌握频率=频数÷总数是解题的关键．
3．A
【分析】根据题意可知摸到红球的概率为25%，然后根据概率公式计算即可；
【详解】解：由题意可得，×100%＝25%，
解得，a＝15，
经检验：a＝15是原分式方程的解，
所以a＝15．
故选A．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率成为解答本题的关键．
4．D
【分析】根据确定事件是肯定发生或肯定不发生的来判断即可．
【详解】A.打开电视机，正在播放广告是随机事件，故不符合题意；
B. 买一张电影票，座位号是奇数号是随机事件，故不符合题意；
C. 3天内会下雨是随机事件，故不符合题意；
D. 13个人中至少有2人生日在同一个月，是必然事件，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查随机事件与必然事件，掌握两者的概念是解题关键．
5．C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：向上抛掷一枚硬币，落地后正面朝上这一事件是随机事件，可能发生，
故选：C．
【点睛】此题考查了判断事件发生的可能性大小，正确理解事件发生的可能性是解题的关键．
6．D
【分析】根据必然事件的概念进行判断即可；
【详解】解：A.射击一次，子弹中靶，属于随机事件；故不符合题意；
B.把铁块扔到水中，铁块浮起，属于不可能事件；故不符合题意；
C.随机买一张电影票，座位号是偶数号，属于随机事件；故不符合题意；
D.任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件；故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查事件的可能性，了解必然事件的概念是解题的关键．
7．B
【分析】根据频率的定义求解即可．
【详解】解：“新冠病毒”的英语单词“Novelcoronavirus”中共有16个字母，“o”出现了3次，
∴字母“o”出现的频率是
故选：B．
【点睛】本题考查频数与频率，解题的关键是理解频率的定义，属于中考常考题型．
8．A
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案．
【详解】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：
解得
答：袋子中红球有5个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
9．B
【分析】根据表格估计出频率，再乘以3000即可得出答案．
【详解】观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，
∴抛掷硬币的次数为3000，则“正面朝上”的频数最接近3000×0.5=1500（次），
故选：B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，掌握知识点是解题关键．
10．0.9
【分析】在大量重复实验中，如果事件A发生的频率稳定在某一个常数，则这个常数估计为事件A发生的概率，由此求解即可．
【详解】解：由统计表可知，这种幼树在此条件下移植成活的概率约是0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】本题考查由频率估计概率，理解频率与概率的关系是解答的关键．
11．16
【分析】根据多次试验后，频率几近于概率，估计出红球个数即可．
【详解】解：设红球个数为x个，
根据题意得： =20%，
解得：x=16，
则可以估计到布袋中红色球可能有16个，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中红色球所占的比例，再计算其个数．
12．C
【分析】根据小竹筏承载的最大重量与小明和小亮的体重比较即可得出结论．
【详解】解：因为小竹筏承载的最大重量约为57.9千克，小明体重约58千克，小亮体重约58.1千克，故小明，小亮都不能过河，
故只有②小亮一定不能过河正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了事件发生的可能性的大小，解题的关键是掌握有理数的比较大小的方法．
13．D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、疫情期间参加聚会会感染新冠病毒，是随机事件，则此项不符合题意；
B、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，则此项不符合题意；
C、打开的电视机正在播放新闻，是随机事件，则此项不符合题意；
D、因为一年有12个月，所以13个同学中至少有两个同学同一个月生日，是必然事件，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
14．C
【分析】根据白球的频率是0.75计算即可；
【详解】设白球有x个，根据题意可得，
，
∴，
∴；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了概率的公式应用，准确计算是解题的关键．
15．A
【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可．
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，可能有50次反面朝上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
16．9
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在某个数值附近，根据红球的频率，乘以总球数求解．
【详解】解：60×0.15=9（个）．
故答案为：9．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答此题的关键是根据口袋中红色球所占的比例，计算其个数．
17．0.95
【分析】由表中数据可判断频率在0.95左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只乒乓球是优等品的概率为0.95．
【详解】解：从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是0.95．
故答案为0.95．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
18．(1)0.101，0.102
(2)0.1
(3)在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为2.6元比较合适．
【分析】（1）利用频数计算方法去掉频数即可；
（2）大量重复试验中频率稳定值即为概率；
（3）设每千克大约定价为x元，根据“销售额-总成本=利润”列出关于x的方程，解之即可．
【详解】（1）解：a=40.36÷400≈0.101，
b=51.05÷500≈0.102，
故答案为：0.101，0.102；
（2）解：柑橘完好的概率约为0.1，
故答案为：0.1；
（3）解：设每千克大约定价为x元，
根据题意得10000（1-0.1）x-10000×1.8=5400，
解得x=2.6，
答：在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为2.6元比较合适．
【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．
19．D
【分析】根据题意逐项分析，即可求解．
【详解】解：A.“抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上”，不一定发生，不是必然事件，判断错误，不合题意；
B. “汽车累积行驶10000km，从未出现故障”，有可能发生，是随机事件，判断错误，不合题意；
C. 湖州气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着湖州明天一定下雨，70%意味着降雨的可能性较大，但不一定下雨，判断错误，不合题意；
D. “”是必然事件，判断正确，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、可能性大小等知识，理解题意，熟知相关概念，知识，理解可能性的意义是解题关键．
20．A
【分析】个数最多的就是可能性最大的．
【详解】解：因为白球最多，
所以被摸到的可能性最大．
故选A．
【点睛】本题主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
21．C
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【详解】A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；
B、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，但不一定是0.33，故此选项错误；
C、从一个装有4个黑球和2个白球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到白球的概率，故此选项正确；
D、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率；故此选项错误；
故选：C．
【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大．
22．B
【分析】由表格可知共摸球1000次，其中摸到白球的频率稳定在0.4，由此知袋子中摸出一个球，是白球的概率为0.4，据此根据概率公式可得答案．
【详解】解：由表格可知共摸球1000次，其中摸到白球的频率稳定在0.4，
∴在袋子中摸出一个球，是白球的概率为0.4，
设白球有x个，
则=0.4，
解得：x=2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率及概率公式，熟练掌握频率估计概率的前提是在大量重复实验的前提下是解题的关键．
23．##0.625
【分析】根据“2”出现的次数除以总个数即可．
【详解】解：“20220202”，共有8个数字，其中2出现的次数为：5次，
∴“2”出现的频率为：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查频率的计算，理解频率的计算方法是解题关键．
24．0.92
【分析】由表格中的数据可知优等品的频率在0.92左右摆动，利用频率估计概率即可求得答案．
【详解】观察可知优等品的频率在0.92左右，
所以从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92，
故答案为：0.92
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，由此可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率的近似值，随着实验次数的增多，值越来越精确．
25．(1)a=0.71，b=0.70；
(2)0.7；
(3)黄球的个数为5个，摸到黄球的概率为．
【分析】（1）直接用摸到红球的次数除以试验次数即可求得摸到红球的频率；
（2）找到多次试验频率逐渐稳定到的常数即可求得概率；
（3）根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）a=571÷800≈0.71；
b=702÷800≈0.70；
故答案为：0.71，0.70；
（2）观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在常数0.7附近，
所以计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为0.7；
故答案为：0.7；
（3）设袋子中除去红球外，还有其他颜色的球x个，
根据题意得0.7（x+14）=14，
解得：x=6，
∴黄色球有6-1=5个，
∴摸到黄色球的概率为．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26．（1）0.6；（2）；（3）10；10．
【分析】（1）观察表格中摸到黑球的频率可得结果；
（2）用总数乘以黑球的频率即可得到结果；
（3）根据摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，据此计算即可．
【详解】解：（1）观察表格得：当n很大时，
摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
（2）黑球有：个，
故答案为：；
（3）原来白球的数量为：50-30=20，
摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，
∴若保持黑球数量不变，则白球数量：20+10=30，
若保持白球的数量不变，则黑球数为：30-10=20，
∴要使摸到黑球的可能性大小为50%，
则需要增加相同的白球10个，或减少黑球10个，
故答案为：10；10．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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