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9.1 图形的旋转
课程标准 课标解读
通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转．探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等． 1.掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计．
知识点 全等图形
1.旋转的概念
将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转．定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角．
旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；
【微点拨】图形的旋转不改变图形的形状、大小．
2.旋转的性质
一个图形和它经过旋转所得到的图形中：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；　　
（2）两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等．　
【微点拨】图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转．
3.旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
作图的步骤：
（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
（4）连接所得到的各对应点．
【即学即练1】
1．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到，此时点C在边上，若AB＝5，＝2，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【即学即练2】
2．如图，△AOB中，∠AOB=90°，现在将△AOB绕点O逆时针旋转44°，得到△A'OB'，则∠A'OB的度数为（ ）
A．44° B．66° C．56° D．46°
考法一 根据旋转的性质求解
【典例1】
3．如图，已知D为等边△ABC内一点，将△DBC绕点C旋转成△EAC．试判断△CDE的形状，并证明你的结论．
考法二 画旋转图形
【典例2】
4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为、、
(1)若将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，请画出平移后的；
(2)画出绕原点旋转后得到的；
(3)顺次连接，，，，所得到的图形是轴对称图形吗？
题组A 基础过关练
5．以图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换，不能得到图（2）的是（ ）
A．绕着OB的中点旋转180°即可 B．先绕着点O旋转180°，再向右平移1个单位
C．先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位 D．只要向右平移1个单位
6．如图，RtABC中，∠A＝90°，∠ABC＝40°，将RtABC绕着点C逆时针旋转得RtEDC，且点E正好落在BC上，连接BD，则∠CBD的度数为（　　）
A．40° B．55° C．60° D．65°
7．在以下生活现象中，属于旋转变换的是（　　）
A．钟表的指针和钟摆的运动
B．站在电梯上的人的运动
C．坐在火车上睡觉的旅客
D．地下水位线逐年下降
8．如图，将绕点逆时针旋转到的位置，、、在一条直线上．若，则的大小为 ．
9．如图，将绕着点B逆时针旋转40°后得到，若，，则的度数为 ．
10．如图，边长为2的等边在平面直角坐标系的位置如图所示，点O为坐标原点，点A在x轴上，以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转120°，得到，则点的坐标为 ．
11．如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
(1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的；
(2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的．
题组B 能力提升练
12．如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则等于（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在Rt中，，．将绕点C按顺时针方向旋转后得到，此时点E在边上，则旋转角的大小为（ ）
A． B． C． D．
14．在平面直角坐标系中，点，连接得到线段，现将线段绕点A旋转，点B的对应点为，则点的坐标为（ ）．
A． B． C．或 D．或
15．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转60°得到，连接，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．4
16．如图，将绕点B顺时针旋转得，若，边与边交于点F，则＝ 度．
17．如图，是等腰直角三角形，是斜边，为内一点，将绕点逆时针旋转后与重合，如果，那么线段的长等于 ．
18．问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．
题组C 培优拔尖练
19．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接PQ，则以下结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中正确结论是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
21．已知如图，在中，，，直角的顶点是边的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转（点不与，重合）时，给出以下5个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．上述结论始终正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
22．中，，将绕点B旋转，使得点A落在直线上，记作点，点C落在点处，则 度．
23．在中，，D是线段上的动点．连接，将绕点C逆时针旋转至的位置．连接，则的最大值为 ．
24．如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点D从O点出发，沿方向以的速度运动，当D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)如图2，当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，当点D在射线上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
25．【情境呈现】如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中．若固定，将绕着点旋转．
【初步探究】（1）如图2，当绕点旋转，点恰好落在边上．
①若点恰好落在边的中点时，求此时旋转角的度数；
②若旋转角为，则的度数为________（用含的式子表示）．
【拓展提升】（2）当绕点旋转到如图3所示的位置时，求证：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】由旋转的性质可得AB＝＝5，BC＝＝2，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到，
∴AB＝＝5，BC＝＝2，
∴＝－BC＝3，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
2．D
【分析】由旋转的性质可得∠AOA'=44°，即可求解．
【详解】解：∵将△AOB绕点O逆时针旋转44°，得到△A′OB′，
∴∠AOA'=44°，
∵∠AOB=90°，
∴∠A'OB=46°，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
3．△CDE为等边三角形，证明见解析
【分析】根据旋转的性质可得∠ACE＝∠BCD，CD＝CE，从而得到∠ACB＝∠DCE＝60°，，即可求解．
【详解】解：△CDE为等边三角形，证明如下∶
∵△EAC是由△DBC绕点C旋转而成，
∴∠ACE＝∠BCD，CD＝CE，
∴∠DCE＝∠BCA，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴△CDE为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形的判定和性质，图形旋转的性质是解题的关键．
4．(1)见解析
(2)见解析
(3)是轴对称图形
【分析】（1）按平移条件找出A、B、C的对应点、、，连接、、，即得到平移后的图形；
（2）利用中心对称的性质，作出、、，关于原点的对称点、、，连接、、，即得到绕原点旋转的三角形；
（3）观察图形，可找到两条对称轴，据此解答即可．
【详解】（1）如图所示，即为平移后的图形；
（2）如图所示，即为绕原点旋转后的图形；
（3）由图可知，四边形是轴对称图形．
【点睛】本题主要考查了平移、旋转作图和轴对称图形，能够根据条件准确作出图形是解题的关键．
5．D
【分析】根据旋转、平移和轴对称的定义进行分析即可．
【详解】由旋转、平移和轴对称的性质可知：经过A、B、C的变化，图（1）均可得到图（2），经过D的变化不能得到图（2）；
故选：D
【点睛】本题主要考查了旋转、平移和轴对称的性质，熟练地掌握各个性质是解题的关键．
6．D
【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝50°，
∵将Rt△ABC绕着点C逆时针旋转得Rt△EDC，
∴∠ECD＝∠ACB＝50°，CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣50°）＝65°，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7．A
【分析】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；
B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；
C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；
D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题是考查图形的平移、旋转的意义．图形平移与旋转的区别在于图形是否改变方向，平移图形不改变方向，旋转图形改变方向；旋转不一定做圆周运动，象钟摆等也属于旋转现象．
8．
【分析】将绕点逆时针旋转到的位置，、、在一条直线上，可知，即等腰三角形，则，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：根据题意得，，，
在等腰三角形中，，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查三角形旋转的性质，掌握旋转后图形大小相同，理解、、在一条直线上得等腰三角形，并根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求解是关键．
9．10°##10度
【分析】由将△ABC绕着点B逆时针旋转40°后得到，可求得=40°，然后由三角形内角和定理，求得∠ABC的度数，继而求得答案．
【详解】解：∵将△ABC绕着点B逆时针旋转40°后得到，
∴=40°，
∵∠A=120°，∠C=30°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-120°-30°=30°，
∴=-∠ABC=40°-30°=10°．
故答案为：10°．
【点睛】此题考查了旋转的性质以及三角形内角和定理．注意掌握旋转前后图形的对应关系是关键．
10．（1，）
【分析】首先根据旋转确定在x轴上，然后利用等边三角形的性质与勾股定理即可确定A′ 的坐标．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
而以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转120°，得到，
∴在x轴上，
如图，过作⊥于M，
∴＝30°，OM＝，
又＝2，
∴OM＝1，
根据勾股定理得＝，
则点的坐标为（1，）．
故答案为：（1，）．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化-旋转，同时也利用了等边三角形的性质及勾股定理．
11．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离；
（2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求．
【点睛】本题主要考查了平移变换、旋转变换作图，做这类题时，理解平移、旋转的性质是关键．
12．D
【分析】根据图形旋转的性质可得，从而得到，，再由，可得，即可求解．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转到的位置，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握图形的旋转的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
13．C
【分析】先根据互余得到，再根据旋转的性质得到，等于旋转角，再根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形的内角和定理计算出，于是得到旋转角度为．
【详解】解：，
绕点C按顺时针方向旋转后得到
，等于旋转角
旋转角为
故选：C
【点睛】此题考查旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段夹角等于旋转角，利用数形结合的思想是解题关键．
14．D
【分析】由于题目没有说明顺时针旋转还是逆时针旋转，故需要分情况讨论．
【详解】解：当绕点A逆时针旋转时，
此时过点作轴于点D，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当绕点A顺时针旋转时，
过点作轴于点E，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、两点间的距离和全等三角形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
15．A
【分析】根据旋转的性质得出∠=60°，，求出∠=90°，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转60°得到，AB=，，
∴∠=60°，，
∵∠BAC=30°，
∴∠=30°+60°=90°，
在Rt中，
由勾股定理得：=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，能求出∠的度数是解此题的关键．
16．50
【分析】根据题意可知旋转角，再根据旋转的性质可知，然后根据三角形的外角的性质得出答案．
【详解】将绕点B顺时针旋转得，
∴．
∵，
∴．
∵是的外角，
∴．
故答案为：50．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等，确定旋转角是解题的关键．即对应点和旋转中心连线的夹角是旋转角．
17．
【分析】根据旋转的性质可知：旋转角度是，根据旋转的性质得出，即是等腰直角三角形，用勾股定理求出斜边的长即可．
【详解】解：绕点逆时针旋转后与重合，
，
即线段旋转后到，
∴旋转角为，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质和直角三角形的性质．关键是找出旋转角：每一对对应点与旋转中心连线所构成的角；及旋转性质：旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等．
18．BC＝DC+EC；BD2+CD2＝2AD2，证明见解析
【分析】问题：根据将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE和角之间的关系得∠BAD＝∠CAE，利用SAS可证△BAD≌△CAE，可得BD＝CE，即可得；
探索：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，可得BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，即∠DCE＝90°，根据勾股定理得CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，根据AD＝AE即可得．
【详解】解：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝EC+CD，
故答案为：BC＝DC+EC；
探索：，
证明：连接CE，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴，
在Rt△ADE中，，
又∵AD＝AE，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
19．C
【分析】根据旋转的性质和等边三角形的判定定理得出是等边三角形，即可得，再根据勾股定理的逆定理得出，继而得到的度数，根据三角形的面积公式判断和即可．
【详解】是等边三角形，
，
将绕点B顺时针旋转得到，
，旋转角为，故选项A正确；
由旋转得：，，
是等边三角形，
，，
，
是直角三角形，
，
，
由旋转得，故选项B正确；
，故选项D正确；
是等边三角形，
，故选项C错误；
故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识点，解题的关键是熟知旋转的性质，综合运用定理进行推理．
20．A
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，判断出④正确；根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，判断出②正确；再求出，判断出①正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出③错误．
【详解】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点D为中点，
∴，，，，
∴，
∵是直角，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
∴，，
∴是等腰直角三角形，故②正确；
∵，，
∴，故①正确；
∵，
∴，
故③错误；
∴正确的有①②④，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
21．A
【分析】①证明得，当点E不是的中点时，，由此判断①；
②由全等三角形性质得，，，则为等腰直角三角形，判断②；
③由，得，进而得，可判断③；
④根据等腰直角三角形的性质，，根据随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，，从而判断④；
⑤当不是的平分线时，，此时，由此判断⑤．
【详解】①∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点P为BC的中点，
∴，，
∵是直角，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（ASA），
∴，
当点E不是的中点时，，
故①错误；
②∵，，
∴为等腰直角三角形，
故②正确；
③∵，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
④根据等腰直角三角形的性质，，
所以，随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，，
故④错误；
⑤∵，AB＝AC，
∴，
当不是的平分线时，，
此时，
故⑤错误；
故②③正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键．
22．或##或
【分析】分两种情况：当在线段延长线上时和当在线段上时，根据旋转的性质和三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，分别求解即可．
【详解】解：当在线段延长线上时，连接，如图所示：
∵将绕点B旋转，使得点A落在直线上，记作点，点C落在点处，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
当在线段上时，连接，如图所示：
∵将绕点B旋转，使得点A落在直线上，记作点，点C落在点处，
∴，，
∴，
∴，
综上所述，或．
故答案为：或
【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，解本题的关键在分别画出图形进行解答．
23．
【分析】由旋转的性质结合题意易证，即得出，即说明当最大时，最大．由最大时，点D和点B重合，即为的长，再由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：由题意可知：，
∴，即．
由旋转可知：．
又∵，
∴，
∴，
∴当最大时，最大．
∵D是线段上的动点，
∴最大时，点D和点B重合，即为的长．
∵，
∴，
∴最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理．理解当最大时，最大，且为的长是解题关键．
24．(1)见解析；
(2)存在，；
(3)存在，当t的值为或时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．
【分析】（1）由旋转的性质可得，由等边三角形的判定可得结论；
（2）由旋转的性质可得，再由是等边三角形，可得，根据垂线段最短得，当时，的周长最小，根据等边三角形的性质以及勾股定理求出，即可求解．
（3）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）证明∶ ∵将绕点C逆时针方向旋转得到，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：存在，当时，
由旋转的性质得：，
∴，
由（1）知，是等边三角形，
∴，
∴，
由垂线段最短得，当时，的周长最小，
此时，，
∴，
∴的最小周长；
（3）解：存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意，
②当时，由旋转可知，，
∴，
由（1）可知，是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，不存在直角三角形．
④如图，当时，由旋转的性质可知，，
又由（1）知，
∴，
而，
∴，
∴只能，
从而，
∴，
∴，
∴，
综上所述：当t的值为或时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
25．（1）①旋转角为； ②；（2）见解析
【分析】（1）①根据旋转的性质，和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到：，得到为等边三角形，即可得解；②利用旋转的性质，得到，利用三角形的内角和定理，求出，再根据直角三角形的两个锐角互余，求出，即可得解；
（2）如图，过点作，垂足为，过点作交的延长线于点，证明，利用旋转的性质和全等三角形的性质，得到两个三角形等底等高，即可得证．
【详解】解：（1）①由旋转可知：，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴旋转角为．
②由旋转可知：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，过点作，垂足为，过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由旋转可得：，
∴在和中，
∴
∴，
∵，，，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的内角和定理．综合性较强，熟练掌握旋转的性质：对应边相等，对应角相等，是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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