9.2中心对称与中心对称图形 苏科版八年级数学下册同步讲义(含解析)

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9.2中心对称与中心对称图形 苏科版八年级数学下册同步讲义(含解析)

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9.2 中心对称与中心对称图形
课程标准 课标解读
1.了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它们的基本性质:成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中心,且被对称中心平分。2.探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。 3.认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。 1.理解中心对称和中心对称图形的定义和性质,掌握他们之间的区别和联系;2.掌握关于原点对称的点的坐标特征,以及如何求对称点的坐标; 3.探索图形之间的变化关系(轴对称、平移、旋转及其组合),灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。
知识点 中心对称和中心对称图形
1.中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
【微点拨】(1)有两个图形,能够完全重合,即形状大小都相同;
(2)位置必须满足一个条件:将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的,而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
【微点拨】
(1)中心对称图形指的是一个图形;
(2)线段,平行四边形,圆等等都是中心对称图形.
3.中心对称与中心对称图形的区别与联系
  中心对称 中心对称图形
区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系.②对称中心不定. ①指一个图形本身成中心对称.②对称中心是图形自身或内部的点.
联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形),那么这个图形就是中心对称图形. 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形,那么它们又关于中心对称.
【即学即练1】
1.下列命题是真命题的是(  )
A.平移不改变图形的形状和大小,而旋转改变图形的形状和大小
B.在平面直角坐标系中,一个点向右平移2个单位,则纵坐标加2
C.在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都被对称中心平分
D.任何一个定理都对应一个逆定理
【即学即练2】
2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
知识点 关于原点对称的点的坐标特征
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为,反之也成立。
【即学即练3】
3.在平面直角坐标系中,点关于原点的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
【即学即练4】
4.在平面直角坐标系中,把点P(-3,2)绕原点O顺时针旋转180°,所得到的对应点P'的坐标为( )
A.(3,2) B.(2,3) C.(-2,3) D.(3,-2)
考法一 对称中心性质的应用
【典例1】
5.如图,与关于点O成中心对称,则下列结论不成立的是( )
A.点A与点是对称点 B.
C. D.
考法二 中心对称图形规律问题
【典例2】
6.如图是两个完全重合的矩形,将其中一个始终保持不动,另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转,第一次旋转后得到图①,第二次旋转后得到图②,…,则第次旋转后得到的图形与图①~④中相同的是( )
A.图① B.图② C.图③ D.图④
题组A 基础过关练
7.下列图标中,是轴对称图形的是(  )
A. B.
C. D.
8.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
9.下列图形中是中心对称图形的是( ).
A. B. C. D.
10.与点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
11.如图,在的正方形格纸中,有一个以格点为顶点的,请你找出格纸中所有与成中心对称且也以格点为顶点的三角形共有 个;(不包括本身)
12.如图,与关于点成中心对称,则线段 .(填“=、<、>”)
13.在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点在格点上(每个方格的边长均为1个单位长度).
(1)请画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1
(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°,画出旋转后得到的△A2B2C2
题组B 能力提升练
14.点P关于y轴的对称点的坐标为,那么点P关于原点的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
15.下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
16.在如图3所示的正方形方格中,选取一个白色的小正方形涂灰,使图中阴影部分成为一个中心对称图形,这样的涂法有( )
A.0种 B.1种 C.2种 D.3种
17.已知,点,关于原点对称,则的值为 .
18.已知点与点关于原点对称,则的值是 .
19.如图,与关于点成中心对称,,则的长是 .
20.如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系,的顶点都在格点上.
(1)将向右平移4个单位长度得到,请画出.
(2)画出关于点O的中心对称图形.
(3)若将绕某一点旋转可得到,则旋转中心的坐标为______.
题组C 培优拔尖练
21.下列说法正确的是( )
A.平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小
B.在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都被对称中心平分
C.在平面直角坐标系中,一点向右平移a个单位长度,则该点的纵坐标加a
D.在平移和旋转图形中,对应角相等,对应线段相等且平行
22.已知点经变换后到点B,下面的说法正确的是( )
A.点A与点B关于x轴对称,则点B的坐标为
B.点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B,则点B的坐标为
C.点A与点B关于原点中心对称,则点B的坐标为
D.点A先向上平移3个单位,再向右平移4个单位到点B,则点B的坐标为
23.如图,平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2n﹣1A2nB2n(n是正整数)的顶点A2n的坐标是(  )
A.(4n﹣1,﹣) B.(4n﹣1,) C.(4n+1,﹣) D.(4n+1,)
24.如图,在平面直角坐标系中,若与关于点D中心对称,则对称中心点D的坐标是 .
25.如图,在平面直角坐标系中,过点的直线与直线相交于点,动点在线段和射线上运动,当的面积是的面积的时,点的坐标为 .
26.图①、图②均是的正方形网格,小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点称为格点,线段的端点均在格点上.在图①、图②中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中,按下列要求作图.
(1)线段的长为______;
(2)在图①中,以线段为边画一个中心对称四边形,使其面积为6;
(3)在图②中,以线段为边画一个轴对称四边形,使其面积为8.
27.作图题
(1)在直线上找一点O修建加油站,使加油站到公路和公路的距离相等,请用尺规作图法确定这个加油站O的位置.(保留作图痕迹,不写做法)
(2)作出关于点A成中心对称的图形(保留作图痕迹)
试卷第2页,共2页
试卷第1页,共1页
参考答案:
1.C
【分析】分别利用图形的平移以及中心对称图形的性质和旋转的性质及逆定理分别判断得出是真命题即可.
【详解】A.平移不改变图形的形状和大小,旋转也不改变图形的形状和大小,故此不是真命题;
B.在平面直角坐标系中,一点向右平移2个单位,横坐标加2,故此不是真命题;
C.在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都被对称中心平分,此选项是真命题;
D.任何一个定理都对应一个逆命题,不一定是逆定理,故此不是真命题.
故选:C.
【点睛】本题考查命题与定理,解题的关键是掌握真命题是正确的命题,假命题是错误的命题.
2.D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可得解.
【详解】解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形,故不符合题意;
B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故不符合题意;
C.是轴对称图形,不是中心对称图形,故不符合题意;
D.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故符合题意.
故选:D
【点睛】本题考查了中心对称与轴对称的概念:轴对称的关键是寻找对称轴,两边图形折叠后可重合,中心对称是要寻找对称中心,旋转后与原图重合.
3.D
【分析】平面直角坐标系中点关于原点对称点的横坐标,纵坐标变为原坐标的横坐标,纵坐标的相反数,由此即可求解.
【详解】解:点关于原点的对称点的坐标是,
故选:.
【点睛】本题主要考查点的对称性,掌握平面直角坐标系中点的对称性质是解题的关键.
4.D
【分析】根据关于原点对称的点的作标特点解答即可.
【详解】解:∵把点P(-3,2)绕原点O顺时针旋转180°,
∴所得到的对应点与点P关于原点对称,
∴(3,-2),
故选:D.
【点睛】此题考查了关于原点对称的点的坐标特点,熟记关于原点对称的两个点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数是解题的关键.
5.D
【分析】根据中心对称图形的性质,逐项进行判断即可.
【详解】解:∵与关于点O成中心对称,
∴点A与是一组对称点,,,故A,B,C都不合题意.
∵与不是对应角,
∴与不一定相等,不成立,故D符合题意.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了中心对称的性质,熟练掌握成中心对称的两个图形,对应点的连线被对称中心平分,对应角相等,对应线段相等,是解题的关键.
6.B
【分析】探究规律后利用规律解决问题即可.
【详解】观察图形可知每4次循环一次,,
∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同,
故选:B.
【点睛】本题考查中心对称、旋转变换,规律型问题,解题的关键是理解题意,学会探究规律利用规律解决问题.
7.B
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可.
【详解】解:、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意;
、是轴对称图形,符合题意;
、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意;
、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意.
故选:.
【点睛】本题考查的是轴对称图形,熟知如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形是解题的关键.
8.A
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念,进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转180度,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.
【详解】解:A.该图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项符合题意;
B.该图形不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意;
C.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
D.该图形不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意.
故选:A.
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别,熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键.
9.C
【分析】根据中心对称图形的定义,逐项判断即可求解.
【详解】解:A、不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
B、不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C、是中心对称图形,故本选项符合题意;
D、不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
故选:C
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义,熟练掌握在平面内,把一个图形绕着某个点旋转,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键.
10.A
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案.
【详解】解:与点关于原点对称的点的坐标是.
故选: A.
【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点,熟记关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数是解本题的关键.
11.2
【分析】观察图形,根据图形特点先确定对称中心,再根据对称中心找出相应的三角形.
【详解】解:如图:与成中心对称的三角形有:
①关于中心点I对称;
②关于中心点O对称.共2个.
故答案为:2.
【点睛】此题考查中心对称的基本性质,结合了图形的常见的变化,根据直角三角形的特点从图中找到有关的直角三角形再判断是否为中心对称图形.
12.
【分析】根据中心对称的定义:把一个图形绕着某个点旋转,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,来求解可得.
【详解】解:∵与关于点C成中心对称,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了中心对称的定义,解题的关键是熟记中心对称的定义.
13.(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标,然后描点即可;
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2即可.
【详解】(1)解:如图所示,△A1B1C1即为所求,
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
【点睛】本题考查了作图一旋转变换和中心对称图形,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
14.B
【分析】平面直角坐标系中任意一点,关于y轴的对称点的坐标是,关于原点的对称点的坐标是,由此即可解答.
【详解】解:∵点P关于y轴的对称点的坐标是,
∴点P的坐标是.
∴点P关于原点的对称点的坐标是.
故选:B.
【点睛】本题考查了平面内两个点关于坐标轴对称和原点对称的坐标关系,熟知平面直角坐标系中任意一点,关于x轴的对称点的坐标是,关于y轴的对称点的坐标是,关于原点的对称点是是解决问题的关键.
15.D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念,进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.
【详解】解:A.该图形不是轴对称对称图形,是中心图形,故此选项不合题意;
B.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
C.该图形既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项不合题意;
D.该图形是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项符合题意.
故选:D.
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念,常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等.常见的轴对称图形有等腰三角形,矩形,正方形,等腰梯形,圆等等.
16.B
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可.
【详解】根据中心对称图形的定义,可得如下涂法,且只有一种,
故选B.
【点睛】本题考查了中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合,正确理解定义是解题的关键.
17.
【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出x、y的值即可得到答案.
【详解】解:∵点,关于原点对称,
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点,代数式求值,熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键.
18.1
【分析】根据关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数,可得a、b的值,再代入所求式子计算即可.
【详解】解:∵与点关于原点对称,
∴,

故答案是:1.
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标.熟练掌握关于原点对称的点的坐标规律:横纵坐标都变成相反数,是解题的关键.
19.5
【分析】根据中心对称的性质以及勾股定理即可求解的长.
【详解】解:∵与关于点成中心对称
∴点在同一直线上,

故答案为:5.
【点睛】本题主要考查中心对称的性质以及勾股定理,熟练掌握成中心对称的图形对应边相等,对应角相等的性质以及勾股定理是解决本题的关键.
20.(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】(1)利用平移变换的性质分别作出A,B,C的对应点,,即可;
(2)利用中心对称变换的性质分别作出,,的对应点,,即可;
(3)对应点连线的交点即为旋转中心.
【详解】(1)解:如图,即为所求;
(2)解:如图,即为所求;
(3)解:旋转中心Q的坐标为.
故答案为:.
【点睛】本题考查作图-旋转变换,平移变换,中心对称变换等知识,解题的关键是掌握旋转变换,平移变换,中心对称变换的性质,属于中考常考题型.
21.B
【分析】分别利用图形平移以及旋转的性质,中心对称图形的性质,分别判断即可.
【详解】A.平移不改变图形的形状和大小,旋转也不改变图形的形状和大小,故此选项错误;
B.在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都被对称中心平分,此选项正确;
C.在平面直角坐标系中,一点向右平移a个单位长度,则该点的横坐标加a,故此选项错误;
D.在平移过程中,对应角相等,对应线段相等且平行,在旋转过程中,对应线段有可能不平行,故此选项错误.
故选:B
【点睛】此题主要考查了图形几何变换的类型,利用平移的性质分析是解题的关键.
22.D
【分析】根据点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换逐项判断即可得.
【详解】解:A、点与点关于轴对称,则点的坐标为,则此项错误,不符合题意;
B、点绕原点按顺时针方向旋转后到点,则横、纵坐标互换位置,且纵坐标变为相反数,所以点的坐标为,则此项错误,不符合题意;
C、点与点关于原点中心对称,则点的坐标为,则此项错误,不符合题意;
D、点先向上平移3个单位,再向右平移4个单位到点,则点的坐标为,即为,则此项正确,符合题意;
故选:D.
【点睛】本题考查了点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换,熟练掌握点坐标的变换规律是解题关键.
23.A
【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A1,B1的坐标,再根据中心对称性得出点A2,
点A3,点A4的坐标,然后横纵坐标的变化规律,进而得出答案.
【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形,
∴A1的坐标为 ,B1的坐标为(2,0),
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称,
∵2×2﹣1=3,纵坐标是-,
∴点A2的坐标是,
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称,
∵2×4﹣3=5,纵坐标是,
∴点A3的坐标是,
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称,
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称,
∵2×6﹣5=7,纵坐标是-,
∴点A4的坐标是,
…,
∵1=2×1﹣1,3=2×2﹣1,5=2×3﹣1,7=2×4﹣1,…,
∴An的横坐标是2n﹣1,A2n的横坐标是2×2n﹣1=4n﹣1,
∵当n为奇数时,An的纵坐标是,当n为偶数时,An的纵坐标是﹣,
∴顶点A2n的纵坐标是﹣,
∴顶点A2n的坐标是 .
故选:A.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质,中心对称的性质,数字变化规律等,根据中心对称性求出点的坐标是解题的关键.
24.
【分析】根据旋转的性质,连接对应点,与的交点D即为对称中心,然后根据平面直角坐标系写出点D的坐标即可.
【详解】解:如图,连接,与相交于点D,点D即为对称中心,由图可得.
故答案为:.
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转,熟练掌握旋转的性质,理解对应点的连线的交点即为对称中心是解题的关键,也是本题的难点.
25.或或
【分析】分三种情形点在线段上,点在线段上,点在点上方分别求解即可.
【详解】解: 如图,分以下三种情况讨论:
点在线段上,时,的面积等于面积的一半.
此时;
点在线段上,时,的面积等于面积的一半,
此时点;
点在点上方,由题意与关于点对称,
∴.
综上所述,点的坐标是:或或.
故答案为:或或.
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内中点坐标的求法、中线平分三角形的面积、中心对称等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,学会用分类讨论的思想思考问题.
26.(1)
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】(1)根据勾股定理求解即可;
(2)利用数形结合的思想画出图形即可;
(3)作一个菱形即可
【详解】(1)由图象可得,,
故答案为:;
(2)如图①中,四边形即为所求;
(3)如图②中,四边形即为所求.
【点睛】本题考查了作图—中心对称图形和轴对称图形,灵活运用相应图形的性质是解决本题的关键.
27.(1)见详解
(2)见详解
【分析】(1)作的角平分线与交于点O,根据角平分线的性质可得点O到公路和公路的距离相等.
(2)根据中心对称变换的性质分别作出的对应点即可;
【详解】(1)解:如图,点O即为所求.
(2)解:如图,即为所求.
【点睛】本题考查了作图-角平分线以及旋转旋转,掌握角平分线的性质,中心旋转的性质是解决本题的关键.
答案第1页,共2页
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