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9.3 平行四边形
课程标准 课标解读
1.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。2.理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算。
知识点01 平行四边形的定义与性质
1.平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
【微点拨】平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
2.平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
【微点拨】（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
1．在平行四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．AD=CB D．AO=CO
知识点02 平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【微点拨】（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
3．下列说法不正确的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角相等，邻角互补
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对角互补的四边形是平行四边形
4．如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
知识点03 平行线间的距离
1.两条平行线间的距离
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
5．在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于（ ）
A． B．4 C． D．6
6．如图，在中，，若的周长为13，则的周长为( )
A． B． C． D．
考法一 利用平行四边形的性质和判定求解
【典例1】
7．如图，在等腰中，，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，点B，C的对应点分别是D，E．连结交于点，连结交于点．
(1)当，时，的度数是___________．
(2)当，时，求的长．
考法二 利用平行四边形的性质和判定证明
【典例2】
8．如图，在平行四边形中，，分别是，边上的中点，连接、、．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若平分，，求的长．
题组A 基础过关练
9．如图，平行四边形的周长为30，，那么的长度是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
10．如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ）
A．有两个角是直角 B．有两个角是钝角 C．有两个角是锐角 D．一个角是直角
12．如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点，若△ADO的面积是 4，则平行四边形 ABCD 的面积是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
13．如图，在平行四边形中，，问图中有多少个平行四边形？ ．
14．如图，在 中，若，则 ．

15．如图，在中，O是对角线AC与BD的交点．若的面积是5，则的面积是 ．
16．已知：如图，四边形是平行四边形，P，Q是对角线上的两个点，且．求证：．
17．如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形EGFH是平行四边形．
题组B 能力提升练
19．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，．点对应直尺的刻度为12，将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（ ）．
A．96 B． C．192 D．
20．如图，O为对角线的交点，，交边于点E，连接．若的周长比的周长大8，则的长有可能为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
21．如图，在四边形中，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
22．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交于点，连接，若平行四边形的周长为30，则的周长为（　　）
A．15 B．23 C．25 D．30
23．如图，在中，边上的高，则边上的高的长为 ．
24．如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是 ．
25．如图，，点、、在直线上，四边形为平行四边形，若的面积为5，则平行四边形的面积是 ．
26．如图，中，、是直线上两点，且．
(1)证明：；
(2)证明：．
27．如图，四边形是平行四边形，且，，．
(1)求、的度数；
(2)求、的长度．
28．已知：如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且，，
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
题组C 培优拔尖练
29．如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（ ）
A．5 B．7 C． D．
30．如图，，，、交于点，下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．沿折叠后，点的对应点是，则以A、、、为顶点的四边形是平行四边形
D．点在线段的中垂线上
31．如图，以平行四边形的边为斜边向内作等腰直角，使，，且点在平行四边形内部，连接、，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
32．如图，在梯形中，，，周长为，，则该梯形的周长等于 ．
33．如图，在等腰中，，，、、分别是、、上的点，连接、、，，当、、、中有两个直角三角形，两个等腰三角形时，的长为 ．
34．如图，点O是对角线的交点，过点O分别交于点E，F，则下列结论不成立的是 ．（填序号）
①；②；③；④
35．如图，在中，的平分线分别与线段交于点F，E，与交于点G．
(1)求证：．
(2)若，求的长度．
36．如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，点G，H在上，且，．
(1)若，，试求的度数．
(2)求证：四边形是平行四边形．
37．如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当　　时，四边形是矩形．
(3)当多长时，四边形是菱形，请说明理由．
38．在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．
解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 　 　cm2．
(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．
(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答．
【详解】解：如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等．
2．B
【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD， AD=CB，AO=CO，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分的性质是解题的关键．
3．D
【分析】由平行四边形的判定与性质，依次判断即可．
【详解】解：根据平行四边形的判定：两组对角相等的四边形是平行四边形，所以D不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判断即可．
【详解】解：可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是AB=CD，AD=BC，理由如下：
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”是解题的关键．
5．A
【分析】根据题意作图，作AE⊥BC，根据，AB=求出平行四边形的高AE，再根据平行四边形的面积公式进行求解.
【详解】如图，作AE⊥BC
∵，AB=
∴AE=AB=，
∴平行四边形的面积=BC×AE=2×=2
故选A.
【点睛】此题主要考查平行四边形的面积，解题的关键是根据题意作图，根据含的直角三角形的特点即可求解.
6．D
【分析】求出AB+BC的值，其2倍便是平行四边形的周长.
【详解】解：的周长为13，，
，
则平行四边形周长为，
故选．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的规律是求解平行四边形的周长就是求解两邻边和的2倍.
7．(1)
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，由等腰三角形的性质可得，再由，可得，然后由三角形外角的性质，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可求，由等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质可求解．
【详解】（1）解：∵将绕点A逆时针旋转一定角度得到，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴，
故答案为：
（2）解：由旋转可知，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴，
∴在中：，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，，∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据E、F分别是，中点，可得，即可得结论；
（2）利用角平分线的定义、平行线的性质可得到，进而利用平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵E、F分别是，中点，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
由（1）知四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
9．A
【分析】由平行四边形的周长为30，可得，再结合条件，所以可求出的值．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平行四边形的周长为30，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．
10．C
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
B．∵，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
C．由，不能判定四边形是平行四边形，故该选项符合题意；
D．∵，，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
11．A
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断．
【详解】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，
应先假设这个三角形中有两个角是直角．
故选：A．
【点睛】本题考查了用反证法证明命题的方法，理解原命题的结论的反面是解题的关键．
12．C
【分析】因为平行四边对角线互相平分，所以和是同底等高的三角形，即对角线所分得四个三角形面积相同即可求解．
【详解】∵平行四边对角线互相平分平行四边对角线互相平分，
∴，，
则和是同底等高的三角形，所以面积相等，
同理可得和面积相等，
故．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的定义及同底等高三角形的判定，合理进行转换是解题关键．
13．9
【分析】由在平行四边形中，，，即可得出平行四边形共9个．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴， ，
∵，，
∴， ，
∴平行四边形有：，，，，，，，，共9个．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14．##1100度
【分析】根据平行四边形的性质得到ABCD，由两直线平行，同旁内角互补即可解答．
【详解】四边形是平行四边形，
∴ABCD，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，解题关键在于利用两直线平行，同旁内角互补．
15．20
【分析】根据平行四边形分得的四个三角形的面积相等即可解得．
【详解】解：∵平行四边形被对角线分得的四个三角形的面积相等，
∴△AOB的面积是面积的 ，
∴=5×4=20．
故答案为：20．
【点睛】此题考查了平行四边形的面积，解题的关键是平行四边形分得的四个三角形的面积相等．
16．证明见解析
【分析】先根据平行四边形的性质得到，再利用 证明即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知平行四边形对边相等且平行是解题的关键．
17．见解析
【分析】先根据AD//BC、AE//CF得出等角，再证明，得到，从而证明四边形是平行四边形．
【详解】∵AD//BC
（两直线平行，内错角相等）
又∵AE//CF
（两直线平行，内错角相等）
在与中，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解决本题的关键是熟知平行四边形的判定定理．
18．见解析
【分析】根据平行四边形的性质得到AB//CD，AB= CD，根据平行线的性质得到∠GAE=∠HCF，得△AGE≌△CHF（SAS），根据全等三角形的性质得到GE= HF，∠AEG =∠CFH，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE//HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形判定与的性质是解题的关键．
19．B
【分析】根据勾股定理出，证明四边形为平行四边形，根据平移的性质求出，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：在中，，
则，
由平移的性质可知：， ，
四边形为平行四边形，
点对应直尺的刻度为12，点对应直尺的刻度为0，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平移的性质、平行四边形的判定和性质以及解直角三角形，得出四边形为平行四边形是解题的关键．
20．D
【分析】依据平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得到的长，再根据，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，O是的中点，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵的周长比的周长大8，
∴，
即，
∴，则，
又∵中，，
∴，
观察四个选项，的长可能为5，
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长等知识，解答本题的关键是判断出是线段的垂直平分线．
21．C
【分析】注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．
【详解】解：平行四边形的判定条件：
A．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
B．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
C．可能是等腰梯形，不能判定，符合题意；
D．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质是解答本题的关键
22．A
【分析】根据平行四边形的性质，得到点是中点，根据垂直平分线的性质得到，根据四边形周长求出，然后转换求解即可．
【详解】在平行四边形中，对角线、相交于点，
∴即点是中点，
∵，
∴
∵平行四边形的周长为，
的周长：
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、垂直平分线的性质；灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．
23．
【分析】根据平行四边形的性质利用面积法进行计算求解．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，且，，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握相关概念是解题关键．
24．
【分析】过点A作直线的对称点F，连接交于点P，此时有最小值，最小值为的长，过点E作直线的垂线，利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：过点A作直线的对称点F，连接，连接交于点P，此时有最小值，最小值为的长，
∵点A与点F关于直线对称，
∴，，则，
∴是等边三角形，
∵在中，，
∴，
过点E作直线的垂线，垂足为点G，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
25．
【分析】根据平行线间的距离相等以及平行四边形的对边相等即可得出答案．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积等于，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行四边形的性质，根据同底等高的两个三角形面积相等以及等底等高的两个三角形面积相等是解本题的关键．
26．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）根据平行线四边形的性质得出，，再由平行线的性质得出角相等，利用全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）由（1）得及，利用平行线的判定证明即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：由（1）得：
，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握运用全等三角形的判定是解题的关键．
27．(1)，
(2)，
【分析】（1）由平行四边形的性质证明，，从而可得答案；
（2）直接利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，而，
∴，
∴．
（2）∵四边形是平行四边形，，，
∴，．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，熟练的利用平行四边形的性质解题是关键．
28．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，、，由题意可得：，即可求证；
（2）由（1）可得，由题意可得：，即可求证．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，、，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可得，则，
∵，，
∴，
∴：四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法和性质．
29．A
【分析】由折叠可得，当 三点共线时，的长度最小，根据勾股定理分别求出的长度，即可求长度的最小值．
【详解】解：如图：连接，作，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴且，
∴，
∴；
∵M是中点，
∴，
∴，
∴；
∵折叠，
∴，
∴当 三点共线时，的长度最小，
∴此时，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形求的长度．
30．B
【分析】根据全等三角形的判定和性质及折叠的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质等依次判断即可．
【详解】解：A、在和中：
∴；
∴；
∴，结论正确，不符合题意；
B、无法证明，结论错误，符合题意；
C、如图所示，沿折叠后，点的对应点是，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，结论正确，不符合题意；
D、∵，
∴，即点在线段的中垂线上，结论正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定定理以及性质，等腰三角形的性质及折叠的性质，解题关键是要把握三角形全等的判定定理．
31．B
【分析】先证明，得出，，设，，求出，，由平行四边形的对角相等得出方程，求出，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质(对边平行且相等，对角相等)，等腰三角形的性质(两底角相等) ，解题的关键是找到和之间的关系．
32．26
【分析】要求梯形的周长，就要利用周长公式，然后根据周长为，求出梯形的各边长即可．
【详解】解：梯形的周长，
∵，，，
为平行四边形，
，
周长为，
，
梯形的周长．
故答案为：26．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质；解题时要熟练掌握梯形的性质及平行四边形的性质．
33．．
【分析】当， 时和，时，以及，这三种情况即可求解．
【详解】①如图：当， 时，此时，为等腰三角形，，为直角三角形，
，
平分
②如图：当，时，此时，为等腰三角形，，为直角三角形，
，
四边形为平行四边形
为等腰三角形
设
③如图：当，时，此时，为等腰三角形，，为直角三角形，
，
四边形为平行四边形
，
为等腰三角形
设
综上所述的长为：，，
故答案为：，，
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质是解题关键．
34．②③④
【分析】首先可根据平行四边形的性质及全等三角形的判定推出，从而进行分析即可．
【详解】解：∵点O是对角线的交点，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，①成立；
∴，但不一定得出，
则不一定等于，②不一定成立；
若，则，
由题意无法明确推出此结论，③不一定成立；
由得，但不一定得出，
则不一定等于，④不一定成立；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形判定和性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
35．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义证明，得到，即可证明；再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，同理可得，则；
（2）过点C作交于K，交于点I，证明四边形是平行四边形，，得到，再证明，得到，则，同理证明，得到，求出，则．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，，
∴．
∵分别是的平分线，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
（2）解：过点C作交于K，交于点I，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵D，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等等，正确作出辅助线是解题的关键．
36．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由四边形是平行四边形，可知，求出即可；
（2）只要证明，即可解决问题；
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
37．(1)见解析；
(2)10；
(3)当时，四边形是菱形．
【分析】（1）利用平行四边形的性质，结合题意证，然后利用全等三角形的性质证明即可；
（2）结合（1），找到矩形的特殊性——有一个角是直角的平行四边形是矩形，然后解直角三角形即可；
（3）结合（1），找到菱形的特殊性——邻边相等的平行四边形是菱形，然后证是等边三角形，利用等边三角形性质求解即可．
【详解】（1）证明：是平行四边形，
即，
，
是的中点,
，
在与中：
，
，
是平行四边形；
（2）是平行四边形，，，，
，，，
由（1）可知当时，
四边形是矩形，
在中，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：当四边形是菱形时，
，
是平行四边形，，，，
，，，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用；抓住矩形、菱形的特殊性是解题的关键．
38．(1)12.5
(2)
(3)不是，，
【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形的面积，从而可以得到四边形的面积；
（2）由勾股定理可得，由配方法可求解；
（3）由平行四边形的性质可得，，由勾股定理可求，由配方法可求的最小值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，，，
则的面积，
即四边形的面积为，
故答案为：12.5；
（2）解：，
，
，
，
当时，取最小值，最小值为2；
（3）解：如图，过点B作于H，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
当时，有最小值，即的最小值为，
此时：，，
是等边三角形，
．
综上可知，不是定值，的最小值为，此时平行四边形的面积为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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