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9.4 矩形、菱形、正方形
课程标准 课标解读
探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直．探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系． 1． 理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理与判定定理．2． 理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理． 3．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；掌握正方形的性质及判定方法．
知识点01 矩形
1．矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
【微点拨】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角．即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件．
2．矩形的性质
（1）矩形具有平行四边形的所有性质；
（2）矩形的对角线相等；
（3）矩形的四个角都是直角；
（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴．
【微点拨】（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分．
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）．对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）．
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等．
3．矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
（2）对角线相等的平行四边形是矩形．
（3）有三个角是直角的四边形是矩形．
【微点拨】在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形．
4．直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【微点拨】（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论．性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用．
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题．
【即学即练1】
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【即学即练2】
2．如图，把矩形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（ ）
A．是等腰三角形 B．
C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．
知识点02 菱形
1．菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【微点拨】菱形的定义的两个要素：①是平行四边形．②有一组邻边相等．即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件．
2．菱形的性质
（1）菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
（4）菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心．
【微点拨】（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分．
（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）．实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半．
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题．
3．菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（3）四条边相等的四边形是菱形．
【微点拨】前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等．
【即学即练3】
3．如图，菱形ABCD中，，则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【即学即练4】
4．下列说法错误的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直且平分 B．矩形的对角线相等
C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形
知识点03 正方形
1．正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形．
【微点拨】既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形．
2．正方形的性质
（1）正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
（2）边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
（3）角——四个角都是直角；
（4）对角线：①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
（5）是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心．
【微点拨】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形．
3．正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）．
【即学即练5】
5．如图，在正方形中，等边三角形的顶点，分别在边和上，则（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【即学即练6】
6．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．四条边都相等的四边形是正方形
考法一 矩形性质和判定的综合应用
【典例1】
7．如图所示，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
考法二 菱形性质和判定的综合应用
【典例2】
8．如图，在矩形中，对角线交于点，分别过点作，的平行线交于点，连接交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
考法三 正方形性质和判定的综合应用
【典例3】
9．如图，在中，，，点为边的中点，交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是正方形？请证明你的结论．
题组A 基础过关练
10．如图，四边形是菱形，，，于点，则等于（ ）
A． B． C．5 D．4
11．如图，四边形是平行四边形，下列结论中，错误的是（　　）
A．当是矩形时，
B．当是菱形时，
C．当是正方形时，
D．当是菱形时，
12．如图，在菱形中，于点E，菱形的面积为48，，则的长为（　　）
A．12 B．8 C．4 D．2
13．矩形不具备的性质为（ ）
A．四个角相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
14．已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的面积为 ．
15．如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD变成矩形，则还需添加 ．（写出一个合适的条件即可）
17．如图，在长方形中，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的长．
18．如图，中，是的平分线，是上一点，，交于，与交于，求证：四边形是菱形．
19．如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC于点M．
（1）求证：BE＝FM；
（2）求BE的长度．
题组B 能力提升练
20．菱形两条对角线长为8cm和6cm，则菱形面积为（ ）cm2．
A．10 B．14 C．24 D．34
21．如图，矩形中，对角线，交于O点．若，，则的长为（ ）．
A．4 B． C．3 D．5
22．已知四边形是平行四边形，下列说法正确的有（ ）．
①当时，它是矩形；
②时，它是菱形；
③当时，它是菱形；
④当时，它是矩形．
A．①② B．② C．②④ D．③④
23．如图，正方形中，点是对角线上的一点，且，连接，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
24．如图，已知菱形的对角线，的长分别是，，，垂足为点，则的长是 ．
25．如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点．若，则的大小为 度．
26．如图，在正方形中，，点F在边上运动(不包含两个端点)，点E是边的中点，连接，，．当为等腰三角形，为底边时，的长为 ．
27．如图，，平分，直角三角板的直角顶点P在射线上移动，两直角分别与相交于点C、D．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
28．如图，在矩形中，、分别是边、上的点，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求的长．
29．如图，在正方形中，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)把正方形改为菱形，且，其他条件不变，如图．连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由．
题组C 培优拔尖练
30．如图，中，对角线、交于点．若，，，（　　）
A．4 B． C． D．8
31．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（ ）．
A．48 B．24 C．12 D．6
32．如图，长方形中，，点是射线上一动点(不与重合)，将沿着所在的直线折叠得到，连接，若为直角三角形，则的长为（ ）
A．1 B．8 C．1或8 D．1或9
33．将一把含角的三角尺和一把长方形直尺按如图所示摆放，若，则这把直尺的宽 ．
34．如图，在中，，，以为边向外作正方形，连接，则 ．
35．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为 ．
36．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于H，连接．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
37．如图，在矩形中，垂足分别为E、F．连接
(1)求证：．
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
38．如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连接．
(1)若点为的中点，求证：点为的中点；
(2)若点为的中点，，，求的长；
(3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________．
39．已知，在长方形纸片中，，．将纸片沿对角线翻折，点C落在点E处，交于点F．
(1)如图1，连结．
①求证：；
②求证：；
(2)如图2，将沿翻折回去，则点F正好落在边G处，连结，求的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，从而得到∠ADO=55°，再由，即可求解．
【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，，
∴∠ADO=55°，
∵，即∠AED=90°，
∴∠DAE=35°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
2．B
【分析】根据矩形的性质得到，，再由对顶角相等得到，可推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，即可判断A、C、D，无法判断和是否相等．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，
在和中，
∴，
∴是等腰三角形，
∴折叠后得到的图形是轴对称图形
无法判断和是否相等，
故其中正确的是A、C、D，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换及其应用问题，灵活运用翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，借助矩形的性质、全等三角形的判定和性质是解决本题的关键．
3．A
【分析】由菱形的性质可得AB = BC，∠B=∠D= 120°， 再由等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解．
【详解】四边形ABCD是菱形，
∴AB= BC，∠B=∠D= 120°，
∴∠1 =∠BCA=（180°-120°）÷2=30°
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
4．C
【分析】根据菱形的性质与判定，矩形的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直且平分，说法正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，说法正确，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法错误，符合题意；
D、四条边相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，熟知菱形的性质与判定条件，矩形的性质是解题的关键．
5．C
【分析】根据题意直接证明，进而得，可知，结合等边三角形的条件，即可求得．
【详解】四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
在和中
，
（HL），
，
，
，
又，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了HL证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练以上性质是解题的关键．
6．B
【分析】根据正方形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：A. 有一个角是直角的菱形是正方形，此选项错误；
B. 有一组邻边相等的矩形是正方形，此选项正确；
C. 对角线相等且互相垂直的矩形是正方形，此选项错误；
D. 四条边都相等的矩形是正方形，此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是正方形的判定定理，熟记判定定理内容是解此题的关键．
7．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得出，即可证明四边形是矩形；
（2）根据菱形对角线的性质可知，，，用勾股定理即可求出的长度,即可求解．
【详解】（1）证明，∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴
∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵四边形是菱形，，，
∴，，
∵，
∴中，，
∵四边形是矩形，
∴,
即．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质以及矩形的判定定理是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由矩形的性质得，即可得出结论；
（2）先由矩形性质，得，再判定是等边三角形，得，再由菱形的性质得,，然后由勾股定理长，即可求得长，最后由菱形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明： ∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）知：四边形是菱形，
∴，
∴在中，由勾股定理，得
，
∴，
∴，
答：菱形的面积为．
【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定是解题的关键．
9．（1）见解析；（2）当是等腰直角三角形，四边形是正方形，见解析．
【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再证，可得；
（2）先证四边形是平行四边形，再证，，根据正方形的判定可得出结论．
【详解】证明：（1）∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形
∴
∵点是的中点，
∴
∴
在与中，
∴
∴
（2）当是等腰直角三角形，四边形是正方形
∵，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∵是等腰直角三角形，点是的中点
∴，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定、平行四边形的判定与性质，能找到边与边之间的关系是解题的关键．
10．A
【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出，再利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，设菱形的对角线交于O，
∵四边形是菱形，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．
11．D
【分析】根据矩形、菱形和正方形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A. 当是矩形时，，正确；
B. 当是菱形时，，正确；
C. 当是正方形时，，正确；
D. 当是菱形时，和不一定相等，错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形、菱形和正方形的性质，熟知矩形的四个角都是直角，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线相等是解题的关键．
12．B
【分析】直接根据菱形的面积及性质求解即可．
【详解】解：根据题意得：菱形的面积为，即，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查菱形的面积及性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
13．D
【分析】依据矩形的性质进行判断即可．
【详解】解：矩形不具备的性质是对角线互相垂直，
故选：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，矩形的四个角都是直角，矩形的对角线平分且相等．
14．24
【分析】菱形的面积等于两条对角线之积的一半，根据面积公式直接进行计算即可．
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴菱形的面积为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是菱形的性质，熟练的掌握菱形的面积是两条对角线之积的一半是解本题的关键．
15．8
【分析】根据正方形的面积公式求出结果即可．
【详解】解：∵图中阴影部分的面积之和正好等于正方形面积的一半，且正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了正方形面积的计算，根据图形得出阴影部分的面积正好为正方形面积的一半，是解题的关键．
16．AC=BD（答案不唯一）
【分析】根据矩形的判定条件求解即可．
【详解】解：添加条件AC=BD，利用如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC=BD（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定条件是解题的关键．
17．(1)是直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用翻折变换的性质及矩形的性质即可求解；
（2）利用翻折变换的性质即可求解．
【详解】（1）是直角三角形，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，
∴，
∴是直角三角形；
（2）∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
18．见解析
【分析】先根据条件证明、，得到，，再根据等边对等角得到，从而证明四边形是平行四边形，进一步得证四边形是菱形．
【详解】是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
又，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和证明、菱形的判定，解决本题的关键是熟知菱形的判定定理．
19．（1）见解析；（2）—4
【分析】（1）由旋转和正方形的性质得出∠FAM＝∠EAB，再证≌即可；
（2）求出正方形对角线长，再求出MC=—4即可．
【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF
∠CAB＝45°，∠EAF＝45°，AE＝AF
∠FAM＝∠EAB
∵FM⊥AC
∠FMA＝∠B＝90°
≌（AAS）
BE＝FM
（2）在正方形ABCD中，边长为4
AC＝，∠DCA＝45°
≌
∴AM＝AB＝4
MC＝AC—AM＝—4
∵是等腰直角三角形
BE＝MF＝MC＝—4
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是熟练运用正方形的性质和全等三角形的判定进行证明推理．
20．C
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求其面积即可．
【详解】解：根据题意得：
菱形的面积为： cm2，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
21．A
【分析】先由矩形的性质得出，结合题意证明是等边三角形即可．
【详解】解：四边形是矩形，且
是等边三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质及等边三角形的判定方法，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键.
22．C
【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【详解】解：①当时，它是菱形，选项说法错误；
②时，它是菱形，选项说法正确；
③当时，它是矩形，选项说法错误；
④当时，它是矩形，选项说法正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
23．B
【分析】根据正方形的性质，得到，，进而得到，又因为，得到，推出，即可得到答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握正方形对角线平分每一组对角是解题关键．
24．
【分析】先根据菱形的性质及勾股定理求得的长，再根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，记对角线的交点为O，
∵四边形是菱形，对角线，的长分别是，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用勾股定理求出的长是解题关键．
25．65
【分析】由三角形的外角性质可知：要求，只要求，由正方形的轴对称性质可知：，即可求出．
【详解】解：四边形是正方形，具有关于对角线所在直线对称的对称性，
，，，
又是的外角，
，
故答案为：65．
【点睛】本题综合考查正方形的对称性质和三角形外角性质，解题关键是利用正方形的对称性快速得出结论．
26．
【分析】根据正方形的性质，得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵点E是边的中点，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
，
∵为等腰三角形，为底边，
∴，
∴，
解得：，
即的长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是设，根据勾股定理列出关于x的方程．
27．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）过P分别作于E，于F，根据角平分线的性质，可得，可证得，即可；
（2）先证得四边形是正方形，根据，从而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：过P分别作于E，于F，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正方形的判定和性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
28．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用求证即可；
（2）利用勾股定理求证即可．
【详解】（1）证明：矩形中，，
，
∵
（2），
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明、勾股定理以及矩形的性质，掌握上述知识点是解题关键．
29．(1)见解析
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】对于（1），根据“”证明即可；
对于（2），根据全等三角形的性质得，由等边对等角，得．即可得出，再根据三角形内角和定理得，即可得出结论；
对于（3），先证明，再证明，可知是等边三角形，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴（）．
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
记PE，CD交于点O，
在和中，，
∴．
∴．
即．
（3）．
证明：∵四边形是菱形，
∴，．
∵，
∴（）．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
即．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，菱形的性质，等边三角形的性质和判定等，合理利用已证的结论是解题的关键．
30．C
【分析】根据四边形是矩形，，可得是等边三角形，再根据勾股定理即可求
出的长．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等且互相平分．
31．C
【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积即可解答．
【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积，
∵是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积．
故选C．
【点睛】本题主要考查了中心对称、菱形的性质等知识点，判得阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
32．D
【分析】根据题意，分为两种情况，一种是点在线段上，另一种是点在的延长线上，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】解：①当点在线段上时，如图1所示：
，
，，三点共线，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图2所示：
，，，
，
设，则，
，
，
，解得，
，
综上所述，的值为1或9，
故答案为：D．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是根据题意正确进行分类讨论．
33．
【分析】过点E作，垂足为F，设长直角边与的交点为G，斜边与的交点为M，角的顶点为H，计算，结合，计算即可．
【详解】如图，过点E作，垂足为F，设长直角边与的交点为G，斜边与的交点为M，角的顶点为H，
∵，，，
∴，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
解得（负值已舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
34．
【分析】作出如图的辅助线，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求得，，证明，利用全等三角形的性质求得，，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点C、D、E分别作直线的垂线，垂足分别为F、I、G，过点D作直线的垂线，垂足为H，如图，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
35．
【分析】先根据矩形的判定得出是矩形，再根据矩形的性质得出，互相平分，且，再根据垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，
于，于，
四边形是矩形，
，互相平分．且，
，的交点就是点．
当的值最小时，的值就最小，
当时，的值最小，即的值最小．
，
，
，，，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键．
36．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据菱形的性质得，则利用得到，所以为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质证明结论；
（2）先根据菱形的性质得，，，再根据勾股定理计算出，然后利用菱形的性质和面积公式求菱形的面积即可得出结论．
【详解】（1）∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
在中，，
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角），解决（1）小题的关键是判断为直角三角形斜边上的中线．
37．(1)见详解
(2)四边形是平行是四边形.
【分析】（1）由矩形的性质可得.根据AAS可得，则可得 .
（2）根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形.
【详解】（1）∵四边形是矩形，
.
又∵
∴，
（AAS），
∴.
（2）四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
，
.
又∵，
∴四边形是平行是四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的判定.熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定方法是解题的关键.
38．(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）由，推出，由，，推出，即可证明F点为的中点；
（2）延长到N，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（3）取的中点M，连接，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，当C、P、M共线时，的值最小，则可求出答案．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∵，
∵，
∴，
∴F点为的中点；
（2）延长到，使得，连接，
∵，
∴．
∵点为的中点，
∴由（1）可知，
∵在和中，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）取的中点M，连接，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴C、P、M共线时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
39．(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）①由矩形的性质得，由折叠的性质可得到，可得出，又有一组对顶角，根据即可得出
②利用得出，从而得出，再利用证得得出，从而得出即可得出答案．
（2）设，根据勾股定理列出关于x的方程及的长，解之求出和的长，再证明四边形为菱形，利用菱形的面积公式即可得出的长
【详解】（1）解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质知，，
∴；
在与中，
∴，
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）设，则
在中，
∴
∴
∴
在中，
∵将沿翻折回去，则点F正好落在边G处，，
∴垂直平分，
∴，
∵
∴
∴四边形为菱形，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查的是翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识吧，熟知图形翻折不变性是解答此题的关键．
答案第1页，共2页
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