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9.5 三角形的中位线
课程标准 课标解读
探索并证明三角形的中位线定理。 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.
知识点 三角形的中位线
1.三角形的中位线
（1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
（2）定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
【微点拨】（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
2.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
(4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
【微点拨】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
1．如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是、中点，测量的长度为，那么的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB＝8cm，AC＝10cm，则四边形ADEF的周长等于（　　）cm．
A．14 B．18 C．20 D．24
考法 与三角形中位线有关的证明
3．在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
4．如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的度数．
题组A 基础过关练
5．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．角平分线 B．中位线 C．高 D．中线
6．如图，为测量BC两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取线段AB，AC的中点D，E，连接DE．测得DE的长为7米，则B，C两地的相距（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
7．如图，在中，若，，则下列线段是的中位线的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，D，E，F分别是边，，的中点，连接，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是的中位线 B．是的中位线
C．是的中位线 D．DF是的中位线
9．如图，已知矩形的对角线的长为10cm，顺次连接各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为 cm．
10．如图，在△ABC中，已知点D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S△ABC＝9，则图中阴影部分△CEF的面积是 ．
11．如图，点D，E分别是的BC，AC边的中点，若，则DE的长等于 ．
12．如图，点、、分别是直角的中点，，、分别为，，则的长为 ．
13．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH．
(1)猜想四边形EFGH是什么特殊四边形？
(2)对你的猜想给予证明．
14．如图，在中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作交DE的延长线于F点，连接AD、CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形图ADCF是菱形？为什么？
题组B 能力提升练
15．下列命题中错误的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．顺次连接矩形四条边中点所得的四边形是正方形
16．如图，等边中，点是中点，于点，若，则长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
17．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A．48 B．32 C．24 D．16
18．已知：如图中，点、、分别在三边上，是的中点，，，交于一点，，，，则的面积是（ ）．
A．25 B．30 C．35 D．40
19．若、、分别是三边中点，，，，则的周长为 ．
20．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且面积等于，则的面积等于 ．
21．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E、F分别是线段、的中点，若，的周长是18，则 ．
22．如图，在中，点D是上一点，，过点B作，分别交于点E，交于点F.
(1)求证：；
(2)如果，求证：.
23．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接ED，BD． 若BD平分∠ABC，求证：
(1)DE=BE；
(2)BD⊥AC．
24．如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC内的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
(1)求证：四边形DGFE是平行四边形；
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？并说明理由.
题组C 培优拔尖练
25．如图，在菱形中，，，E，F分别是边上的动点，连接和，G，H分别为，的中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
26．如图，中，，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
27．如图，是矩形的一条对角线，点E，F分别是的中点．若，则的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
28．如图，在菱形中，，对角线与交于点O，延长到点E，使得，连接，取的中点M、的中点，连接，则的长为 ．
29．如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段运动，已知P、Q同时开始移动，当动点P到达D点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．若线段的中点为M，在整个运动过程中，写出点M运动路径的长度为 ．
30．如图，四边形中，，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若，，则的度数为 ．
31．如图，在中，，是边上的高线，过点作交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连结交于点，若，求的长．
32．已知：如图，在中，点D在上，，E、F、G分别是、、的中点，、的延长线相交于点H．求证：
(1)；
(2)．
33．已知：，为边上的中线，点M为上一动点（不与点重合），过点作，过点作，连接．
(1)如图1，当点与点重合时，求证①；②四边形是平行四边形；
(2)如图2，当点不与点重合时，试判断四边形还是平行四边形吗 如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
(3)如图3，延长交于点，若，请求出的值．
34．问题初探
如图（1），中，，，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想，和有怎样的数量关系，并说明理由．
类比再探
如图（2），中，，，点M是中点，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，若，则四边形的面积为多少，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】由三角形中位线定理即可求得的长度．
【详解】∵M、N分别是、中点，且，
∴是的中位线，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理的实际应用，掌握定理是关键．
2．B
【分析】根据三角形中位线定理可得DE＝AC＝5cm，EF＝AB＝4cm，即可求解．
【详解】解：∵点D、E、F分别是边AB、BC、CB的中点，AB＝8cm，AC＝10cm，
∴AD＝AB＝4cm，DE＝AC＝5cm，AF＝AC＝5cm，EF＝AB＝4cm，
∴四边形ADEF的周长＝AD＋DE＋EF＋AF＝18cm，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
3．（1）见解析；（2）见解析
【分析】从所给的条件可知，是中位线，所以且，所以和平行且相等，所以四边形是平行四边形，又因为，所以是菱形；是，所以为，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．
【详解】（1）证明：、分别是、的中点，
且，
又，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
是等边三角形，
菱形的边长为4，高为，
菱形的面积为．
【点睛】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点，解题的关键是掌握菱形的判定定理及性质．
4．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边的性质得出，，根据，，可得是的中位线，等量代换得出，可得，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质得出，求得，根据，由等边对等角即可求解．
【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
是的中位线，
，，
为的中点，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，中位线的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
5．D
【分析】根据角平分线，中位线，高，中线的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；（下图中两部分面积显然不等）
B、三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得：三角形面积为梯形面积的；
C、三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；（下图中两部分面积显然不等）
D、三角形的中线把三角形分成两部分，的面积为，面积为；
因为为中线，所以为中点，所以，
所以的面积等于的面积．
三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的中线，中位线，高，角平分线的定义与性质，掌握“三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分”是解题的关键．
6．C
【分析】根据中位线定理即可进行解答．
【详解】解：∵点D、E是AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC=2DE=14（米）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线的定义以及三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
7．A
【分析】根据三角形中位线的定义分析即可．
【详解】解：∵，，
∴为的中点，为的中点，
∴为的中位线．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形中位线和中点的定义．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．熟练掌握三角形中位线的相关知识是解题的关键．
8．B
【分析】根据中位线定义（连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。）即可判断.
【详解】解：∵D，E，F分别是边，，的中点.
∴DE、EF、FD是的中位线.
A：AE是的中线，不符合题意.
B：EF是的中位线，符合题意.
C: 是的中线,不符合题意.
D:DF是的中线，不符合题意.
故选：B
【点睛】本题考查中位线的定义，属于基础题。注意区分中位线和中线的区别.
9．20
【分析】根据三角形中位线定理易得四边形的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为8，那么就求得了各边长，让各边长相加即可．
【详解】解：∵H、G是与的中点，
∴是的中位线，
∴cm，
同理cm，根据矩形的对角线相等，
连接，
得到：cm，
∴四边形的周长为20cm．
故答案是：20．
【点睛】本题考查了中点四边形．解题时，利用了“三角形中位线等于第三边的一半”的性质．
10．
【分析】根据E、F分别为中点，利用等底同高面积相等求出所求即可．
【详解】解：∵E为AD的中点，
∴S△BEC＝S△ABC＝，
又∵F为BE的中点，
∴S△EFC＝S△BEC＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形面积求法是解本题的关键．
11．3
【分析】点D，E分别是的BC，AC边的中点，则DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
【详解】解：∵点D，E分别是△ABC的BC，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEAB6＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．
12．4.5cm
【分析】根据三角形中位线性质可知AC=2EF=12cm，AB=2DE=15cm，根据勾股定理可知cm，即可求得DF=cm．
【详解】解：∵、、分别是直角的中点，
∴AC=2EF=12cm，AB=2DE=15cm，
∴在直角中，有勾股定理得：，
∴cm，
∴DF=cm，
故答案为：4.5cm．
【点睛】本题主要考查的是三角形中位线的性质，以及勾股定理，掌握中位线性质是解题的关键．
13．(1)菱形
(2)见解析
【分析】（1）四边形ABCD是矩形，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH是菱形；
（2）连接AC，BD，根据中位线的性质得出且EF＝GH，从而四边形EFGH是平行四边形，再根据EF＝EH得出四边形EFGH是菱形．
【详解】（1）四边形ABCD是矩形，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH是菱形，
∴猜想四边形EFGH是菱形；
（2）证明：如图，连接AC，BD，
∵E，F分别是AD，AB中点，∴EF是的中位线，
∴且，
同理，且，
∴且EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵E，H分别是AD，CD的中点，∴EH是的中位线，
∴且，而四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
【点睛】本题考查中位线和矩形的性质以及平行四边形、菱形的判定定理，熟记平行四边形、菱形、矩形的性质和判定是解题的关键．
14．（1）见解析；（2）当△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形，理由见解析．
【分析】（1）首先利用平行四边形的判定方法得出四边形ABDF是平行四边形，进而得出AF=DC，利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；
（2）利用直角三角形的性质结合菱形的判定方法得出即可．
【详解】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE∥AB，BD=CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD，则AF=DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）解：当△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形，
理由：∵△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°
又∵点D是边BC的中点，
∴AD=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练应用平行四边形的判定与性质是解题关键．
15．D
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法依次判断各项后即可解答．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，不符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
D、顺次连接矩形四条边中点所得的四边形是菱形，不一定是正方形（可用三角形中位线定理结合矩形的对角线相等证明这个中点四边形的四条边相等），是假命题，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了判断命题真假，平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，熟知平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法是解决问题的关键．
16．A
【分析】先构造直角，证明是的中位线，求出，再利用等边三角形的性质求出后即可求解.
【详解】解：如图，过A点作于M，
∵，
∴
∵点D是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵等边中，，
∴，
∴，
∴，
故选：A.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形中位线的判定，线段的和差等知识，解题关键是构造直角三角形.
17．B
【分析】由菱形的性质先证明再求解 从而可得到答案．
【详解】解：菱形ABCD中，对角线相交于点O，E是的中点，
菱形ABCD的周长为
故选：B．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，三角形的中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”是解题的关键．
18．B
【分析】根据两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出，的大小，进而求出的大小；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，用的面积乘以2，求出的面积即可．
【详解】解：∵，
∴；
∵E是的中点，
∴，
∴
，
∵是的中线，
∴的面积是：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及三角形的中线的特征，解答此题的关键是要明确：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．
19．
【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】解：∵、、分别是三边中点，，，，
∴的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
20．2
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】解：∵点F是的中点，
∴，
∵中边上的高与中边上的高相等，
∴，
同理，∵E是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴即阴影部分图形的面积为．
故答案为：2．
【点睛】本题考查利用中线的性质求三角形的面积，解题的关键是掌握“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”．
21．
【分析】根据平行四边形的性质可知，结合，的周长是18，求出的长，利用三角形中位线定理求出的长．
【详解】解：∵平行四边形的对角线，相交于点O，
∴点O是，的中点，
∵，
∴，
∵的周长是18，
∴，
∵平行四边形的对角线，相交于点O，点E、F分别是线段、的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出的长，此题难度不大．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由，推出，，再由三角形内角和定理即可证明；
（2）取中点G，连接，证明即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：取中点G，连接，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，中位线定理，关键是作辅助线构造全等三角形．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据中位线的性质得出，再由角平分线及平行线的性质结合等量代换即可证明；
（2）根据（1）得，，再由等腰三角形三线合一的性质即可证明．
【详解】（1）证明：∵D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，
又∵，
∴，
又
∴，
∵点D是的中点，
∴．
【点睛】题目主要考查三角形中位线的性质及角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，综合运用这些知识点是解题关键．
24．(1)证明见解析
(2)OA＝BC，理由见解析
【分析】（1）首先利用三角形中位线的性质得出DEBC，DE＝BC，GFBC，GF＝BC，从而得出DEGF，DE＝GF，即可证得四边形DGFE是平行四边形；
（2）由四边形DGFE是菱形，可得DG＝GF，再根据三角形中位线的性质可得DG＝OA，GF＝BC，从而得出OA＝BC．
【详解】（1）证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点．
∴DEBC，DE＝BC．
∵点G、F分别是OB、OC的中点，
∴GFBC，GF＝BC．
∴DEGF，DE＝GF．
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：OA＝BC，理由如下：
连接OA．
∵四边形DEFG是菱形，
∴DG＝GF，
∵D是AB的中点，点G、F分别是OB、OC的中点，
∴DG＝OA，GF＝BC，
∴OA＝BC．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记相关的定理和性质是解题的关键．
25．B
【分析】连接，得到是的中位线，，当时，最小，得到最小值，则，证得是等腰直角三角形，求出即可．
【详解】连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∵G，H分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
当时，最小，得到最小值，则，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即的最小值为．
故选：B．
【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
26．B
【分析】根据勾股定理得到，证明得到，求得，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】解：中，，，
∴，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
在和中
，
∴
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
27．C
【分析】先根据三角形中位线定理得到的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质可得的长，最后代入计算即可解答．
【详解】解：∵点E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
又∵E是的中点，
∴中，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，掌握“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”和“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”成为解答本题的关键．
28．
【分析】延长到点F，使，连接，求出，得到是的中位线，在中，根据勾股定理求出即可得到的长．
【详解】在菱形中，，⊥，
∴，
∵N为的中点，
∴，
延长到点F，使，连接，如图：
则，
∵M是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的性质及正确作出辅助线是解题的关键．
29．
【分析】分类讨论点Q在线段上和点Q在线段上时点M的轨迹，计算出轨迹即可．
【详解】解：①如图，点Q在线段上，过点O作于点K，过点Q作于点H，
矩形，
，
，
，
，
，
，
，
点M在线段上，当点P到达K点时，点Q到达O点，此时点M在点E处，
这时段点M的运动轨迹为；
②如图，点Q在线段上，取的中点，的中点M，连接，则点M的运动轨迹是线段，
在中，．
在整个过程中，点M的运动轨迹的长度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线的性质，勾股定理，解决本题的关键是找到点Q和点P的轨迹之间的关系．
30．
【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，熟练运用相关定理是解题的关键．
31．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出，，根据平行线的性质得出，等量代换得到，根据等角对等边即可得到结论；
（2）作，交于，交于点，连接，则，得出，进而得出，是等腰直角三角形，得出，，证明，得出，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质得出，利用勾股定理求得，进而求得．
【详解】（1）证明：在中，，
是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）作，交于，交于点，连接，则，
是等腰三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
,
又
，
又
，
是等腰直角三角形，
，，
又，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
，
，
，
的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
32．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由题目的已知条件可得是的中位线，所以，由此可得，再根据三角形外角和定理即可证明；
（2）连接，易证是等腰三角形，所以，再根据平行线的性质以及对顶角相等可证明，进而可得：，
【详解】（1）证明，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
；
（2）解：连接，
，，分别是，，的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，解题的关键是掌握中位线的性质．
33．(1)①见解析；②见解析；
(2)是，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）①根据，得出，根据，，根据是的中线，且与重合，得出，再证（ASA）即可；
②由①得，得出，根据，即可得出结论．
（2）如图，设延长交于点，根据，，可得，，再根据中位线的性质可得出，可证（ASA），可证四边形是平行四边形；
（3）过点作交于点，根据四边形为平行四边形，得出，根据，可得，结合，为的中点，得出，即可得出 ，再根据平行线分线段成比例即可得出即可解答．
【详解】（1）证明：①如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，且D与M重合，
∴，
在与中，
∴（ASA），即；
②由①得，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．．
（2）解：是理由如下：如图，延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴（ASA），
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：过点作交于点，由（2）知四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴
∵为的中点
∴，
∴，
∵
∴
【点睛】本题考查三角形中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，平行四边形判定，三角形中位线性质，掌握三角形中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，平行四边形判定，三角形中位线性质是解题关键．
34．问题初探：；理由见解析；类比再探：四边形的面积为1
【分析】问题初探：根据证明，得出，根据线段之间的关系即可得出答案；
类比再探：取的中点N，连接，根据中位线性质得出，，证明，，再根据证明，得出，即可得出，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：（1）；理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）取的中点N，连接，如图所示：
∵点M是中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，勾股定理，三角形中位线性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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