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10.1 分式
课程标准 课标解读
了解分式和最简分式的概念 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件．
知识点01 分式的概念
1. 分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．其中A叫做分子，B叫做分母．
【微点拨】
（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的．分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式．分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母．
（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况．
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式．
（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果．
【即学即练1】
1．在式子中，分式的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练2】
2．一位作家用了m天写完了一部小说的上集，又用了n天写完下集，这部小说（上、下集）共120万字，这位作家平均每天的写作量是（ ）
A．万字/天 B．万字/天 C．万字/天 D．万字/天
知识点02 分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零．
2.分式无意义的条件：分母等于零．
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．
【微点拨】
（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零．
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零．
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值．
【即学即练3】
3．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】
4．如果分式的值为0，那么x的值为（ ）
A．－1 B．1 C．－1或1 D．1或0
考法一 分式有意义、无意义、分式的值为0的条件
【典例1】
5．已知时，分式无意义；时，分式的值为0，求的值．
考法二 分式的求值
【典例2】
6．设a，b，c都是非零有理数，试求的值．
题组A 基础过关练
7．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
8．对于分式的值，下列说法错误的是（ ）
A．当时，该分式的值是正数
B．当且时，该分式的值是负数
C．当时，该分式的值为0
D．无论x取何值，该分式的值都不可能为整数
9．下列x的值使得分式无意义的是（ ）．
A．0 B．1 C．1或 D．2
10．代数式，，中，属于分式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．请写出一个有意义的条件是的分式 ．
13．当 时，代数式的值为0．
14．分式，当x= 时分式的值为零．
15．当时，求分式的值．
16．已知－＝4，求的值．
题组B 能力提升练
17．分式有意义时x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
18．如果分式的值为零，那么的值是（ ）
A． B． C． D．以上都不是
19．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．在式子，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
21．若分式的值为0，则x的值为 ．
22．如果，那么 ．
23．已知式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
24．已知分式（n为常数），当时分式值为0，则n的值为 ．
25．已知：，求代数式的值．
26．（1）已知一个正数的两个平方根是2a﹣3和3a﹣22，求这个正数．
（2）已知，求的值．
题组C 培优拔尖练
27．下列命题正确的是（　　）
A．两边及一角对应相等的两三角形全等
B．若分式的值为零时，则
C．的三边为a、b、c，若，则不是直角三角形
D．估计的值在整数3和4之间
28．有一个计算程序，每次运算都是把一个数除以它与1的和，即，，……多次重复进行这种运算，若输入的值是2，则为（ ）
A． B． C． D．
29．若分式的值为0，则的值（ ）
A．2 B．1 C． D．
30．要使分式有意义，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
31．若，则代数式的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
32．已知，，，则的值为 ．
33．若，那么 ；如果分式的值为0，则的值是 ．
34．已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为 ．
35．已知：代数式．
(1)当为何值时，该式无意义？
(2)当为何整数时，该式的值为正整数？
36．已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m的取值范围．
小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．解：
(1)请将小明对此题 = = 的解题过程补充完整；
(2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据分式的定义逐项分析判断即可，分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母．
【详解】解：在式子中，是单项式，是分式，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据总字数除以总天数求出所求即可．
【详解】解：根据题意得：
这位作家平均每天的写作量是万字/天．
故选：C．
【点睛】此题考查了列代数式（分式），弄清题意是解本题的关键．
3．B
【分析】直接利用分式有意义的条件分别分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】解：A．当时，，此时没有意义，故本选项不合题意；
B．∵，
∴，
∴当x为任意实数时，一定有意义，故本选项符合题意；
C．当时，，此时没有意义，故本选项不合题意；
D．当时，，没有意义，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题关键．
4．B
【分析】根据分子等于0且分母不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意得
且，
解得．
故选B．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．
5．
【分析】分式无意义时，分母；分式是值为零时，分子，分别求出a，b的值，故可求解．
【详解】解：∵当时，分式无意义，
∴，即；
又∵当时，分式的值为零，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零的条件．分式有意义，分母不为零；若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
6．值为0或4或．
【分析】根据a、b、c是非零实数，分两正一负、两负一正、都为正数和都为负数四种情况分别讨论求值即可．
【详解】解：由已知可得：a，b，c为两正一负、两负一正、都为正数和都为负数．
①当a，b，c为两正一负时：；
②当a，b，c为两负一正时：；
③当a，b，c都为正数时：；
④当a，b，c都为负数时：；
综上所述，值为0或4或．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，涉及到绝对值、非零实数的性质等知识点，注意分情况讨论未知数的取值．
7．A
【分析】根据分式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握要使分式有意义，则分母不等于零．
8．D
【分析】A、B、C转化为分别求当分式大于0、小于0、等于0，再利用特殊值法判断D选项即可求得解．
【详解】解：A、当时，，则该分式的值是正数，故正确，不合题意；
B、当且时，，则该分式的值是负数，故正确，不合题意；
C、当时，，则该分式的值为0，故正确，不合题意；
D、当时，，为整数，故错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握分式的值为0，为正，为负的条件是解题的关键．
9．B
【分析】根据分式无意义的条件，分母等于0，列方程求解即可．
【详解】因为分式无意义，
所以，
解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式无意义的条件．
10．D
【分析】根据分式的定义进行判断即可．
【详解】解：，中分母不含字母，不属于分式；
分母含有字母，属于分式；
故分式只有1个．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的定义，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
11．
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
12．（答案不唯一）
【分析】根据分式有意义的条件，得出 ，将作为分母即可．
【详解】解：要使分式有意义的条件，
，
可用其中均可作为分母，
取一个简单的分式：．
故答案：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不等于零，掌握有意义的条件是解题的关键．
13．
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出算式，计算即可．
【详解】解：由题意得，，，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
14．
【分析】根据分式值为零的条件是分子为零，分母不为零进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子为零，分母不为零是解题的关键．
15．
【分析】直接将已知数据代入求出即可．
【详解】解：∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，正确应用有理数的混合运算法则是解题关键．
16．．
【分析】去分母，得出b－a＝4ab，整体代入即可求值．
【详解】解：∵－＝4，
两边同时乘以ab，得
∴b－a＝4ab，
∴a－b＝-4ab，
∴＝＝．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式的运算法则对等式进行变形，整体代入求值．
17．D
【分析】根据分数有意义的条件得出，求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴x的取值范围为．
故选：D．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母值不为0是解题的关键．
18．C
【分析】根据分式的值为零的条件得出且，再求出即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴且，
∴或，
当时，，
当时，，不符合题意，舍去，
综上所述，的值是．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：且．
19．B
【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义，是解题的关键．
20．B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】式子，， 中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
，，中分母中含有字母，因此是分式．
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式，掌握分母里含有字母是分式区别于整式的标志是解题的关键．
21．
【分析】根据分式的值为0，可得分式的分子等于0，分母不等于0，由此可解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式的值为0时，分子等于0，分母不等于0．
22．
【分析】先由已知条件式得到，再利用分离常数法得到，由此即可得到，即可利用分离常数法得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的求值，利用分离常数法求解是解题的关键．
23．
【分析】根据分母不为0，列出不等式即可求解．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
则，
解得；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是明确分式有意义的条件是分母不为零，列不等式求解．
24．
【分析】根据分式的值为0的条件列出关于的式子，求出的值即可．
【详解】解：∵当时分式值为0，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的值为0，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
25．
【分析】设，则，然后代入代数式化简即可得．
【详解】解：设，则，
所以．
【点睛】本题考查了求分式的值，通过转化思想，将转化为含有相同字母的量是解题关键．
26．（1）49（2）3
【分析】（1）利用两个平方根互为相反数，相加为0来列式求解即可．
（2）利用条件将，用ab表示出来即可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴2a﹣3+3a﹣22=0，
解得：a=5，
∴这个正数是．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】（1）本题考查一个正数的两个平方根之间的关系，利用等量关系列方程求解是解题关键；
（2）本题主要考查完全平方公式之间的关联，能够熟练的配方是解题关键．
27．D
【分析】A．根据三角形全等的判定方法即可判断A；
B．根据分式有意义的条件和分式值为0的条件即可判断B；
C．根据勾股定理的逆定理即可判断C；
D．根据无理数的估测方法即可判断D．
【详解】解：A．两边及其夹角对应相等的两三角形全等，故A错误；
B．∵分式的值为0，
∴，
解得：，故B错误；
C．∵的三边为a、b、c，若，即，
∴是直角三角形，故C错误；
D．∵，
又∵，
∴，
∴，
∴的值在整数3和4之间，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，无理数的估算，分式的值为0的条件，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，注意分式的值为0时，分子为0，而分母不为0．
28．D
【分析】根据题意可得，，，……，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
，
，
……，
由此发现，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
29．C
【分析】根据题意，可得：，据此求出的值即可．
【详解】解：分式的值为0，
，
由①，可得：或，
由②，可得：，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
30．A
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴分式有意义，x的取值范围，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0，掌握不等式的解法是解题的关键．
31．A
【分析】对已知等式进行变形，然后整体代入所求的代数式中，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴原式＝
＝
＝
＝﹣4．
故选： A．
【点睛】此题考查了分式的计算求值，熟练掌握运算法则是基础，整体代入是关键．
32．
【分析】先把所给的三个条件式相加求出，再将所求式子变形为，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，正确求出是解题的关键．
33． 7 1
【分析】将的两边分别平方，用完全平方公式展开即可求得的值，根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，
∵分式的值为0，
∴，，
∴，
故答案为：7，1．
【点睛】本题主要考查了分式的求值、完全平方公式以及分式值为0，熟练掌握分式为0的条件及完全平方公式是解题的关键．
34．0
【分析】根据为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出的值再求和即可．
【详解】解：
，
为整数，分式的值也为整数，
当时，分式，符合题意；
当时，分式值，符合题意；
当时，分式值，符合题意；
当时，分式值，符合题意；
满足条件的的值为、、、，
所有满足条件的数的和为，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是读懂题意能按要求分情况讨论分式的值．
35．(1)
(2)或0
【分析】（1）根据分母等于0计算即可；
（2）根据值为整数进行判断求解即可；
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：；
（2）解：代数式的值为正整数，
或，
解得：或0．
【点睛】本题主要考查了分式的值，准确分析，列出方程是解题的关键．
36．(1)补全过程见解析
(2)
【分析】（1）根据分式有意义的条件可知，分式 总有意义，就是分母不为零，即只需要即可，根据求解即可得到结论；
（2）根据（1）的解题过程即可同理求解得到无论x取何实数，分式都有意义时m的取值范围．
【详解】（1）解：
=
=
，
根据无论x取何实数，分式 总有意义，
只要当，即可满足题意，
；
（2）解：由（1）可知
，
，
根据无论x取何实数，分式 总有意义，
只要当，即可满足题意，
．
【点睛】本题考查分式有意义条件的综合应用，涉及到配方及不等式的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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