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10.2 分式的基本性质
课程标准 课标解读
能利用分式的基本性质进行约分和通分． 掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算．
知识点01 分式的基本性质
1. 分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）．
【微点拨】
（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式．其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件．
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化．
2.分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数．
【微点拨】根据分式的基本性质有，．根据有理数除法的符号法则有．分式与互为相反数．分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用．
【即学即练1】
1．下列变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【即学即练2】
2．若分式中的和都扩大到原来的倍，那么这个分式的值（　　）
A．扩大到原来的倍 B．扩大到原来的倍
C．缩小为原来的 D．不变
知识点02 分式的约分与通分
1. 分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式．
【微点拨】
（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式．
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式．分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分．
2. 分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
【微点拨】
（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母．
（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母．
（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言．
【即学即练3】
3．下列各分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】
4．把，，通分的过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是 B．
C． D．
考法一 利用分式的基本性质判断分式值的变化
【典例1】
5．如果把分式中的和都扩大了10倍，那么分式的值（　　）
A．扩大10倍 B．不变 C．缩小10倍 D．缩小5倍
考法二 分式的约分与通分
【典例2】
6．按要求答题：
(1)约分
(2)通分，．
题组A 基础过关练
7．分式、、的最简公分母是（ ）
A． B．
C． D．
8．如果将分式中的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍
C．缩小为原来的 D．不改变
9．若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列等式成立的是（ ）．
A． B． C． D．
11．请写出一个含有，并且化简结果为的分式 ．
12．已知长方形的面积为，其中它的长为，则该长方形的宽为 ．
13．分式和的最简公分母是 .
14．化简： ．
15．如果把中的，都扩大到原来的5倍，那么分式的值变为 ．
16．通分：
(1)，
(2)，．
题组B 能力提升练
17．下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
18．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍
19．下列分式中，从左到右变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
20．与的最简公分母为（ ）
A． B． C． D．
21．已知，则的值为 ．
22．计算: ．
23．分式变形中的整式 ．
24．若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为 ．
25．计算：
(1)
(2)
26．（1）通分：和；
（2）约分：．
题组C 培优拔尖练
27．分式可化简为（ ）
A． B． C． D．
28．若将分式中的x，y的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值（ ）
A．1 B． C．变为相反数 D．不变
29．下列结论中，正确的是（ ）
A．为任何实数时，分式总有意义
B．当时，分式的值为0
C．和的最简公分母是
D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变
30．分式与的最简公分母是 ．
31．分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，则此分式的值扩大为原来的 倍．
32．不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ．
33．已知， ．
34．化简约分
(1)
(2)
(3)
35．阅读材料题：
已知：，求分式的值．
解：设，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k①；
所以②．
(1)上述解题过程中，第①步运用了 的基本性质；第②步中，由求得结果运用了 的基本性质；
(2)参照上述材料解题：
已知：，求分式的值．
36．如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题：
×年×月×日，星期日
整体代入法求分式的值
今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法：
方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy，
∴原式＝
方法2：x y≠0，将分式的分子、分母同时除以x y得，
原式＝
(1)“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 　 　．
(2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整．
(3)若（a，b都不为0），请直接写出的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据分式的基本性质求解即可．
【详解】解：A. ，故A选项不正确；
B. ，故B选项不正确；
C. ，故C选项不正确；
D. ，故D选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
2．D
【分析】把分式中的分子，分母中的a，b都同时变成原来的7倍，就是用分别代替式子中的a，b，看得到的式子与原式子的关系．
【详解】解：由题意得：，
∴若分式中的和都扩大到原来的倍，那么这个分式的值不变，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是明确分式的基本性质的含义．
3．B
【分析】最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
4．D
【分析】按照通分的方法依次验证各选项，找出不正确的答案．
【详解】A、最简公分母为，正确，该选项不符合题意；
B、，通分正确，该选项不符合题意；
C、，通分正确，该选项不符合题意；
D、通分不正确，分子应为，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．解题的关键是通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等．
5．B
【分析】把和都扩大10倍，根据分式的性质进行计算，可得答案．
【详解】解：根据题意得：，
分式的值不变，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．
6．(1)
(2)，
【分析】（1）根据分子分母所含相同因式，直接约分即可得到答案；
（2）根据通分定义，将分母不同的分式化为分母相同的与原分式相等的分式直接通分即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：，，
两个分式的最简公分母为，
；．
【点睛】本题考查分式的通分、约分，熟记通分、约分的定义，掌握通分、约分运算方法是解决问题的关键．
7．A
【分析】先把分母因式分解，再找出最简分母即可．
【详解】解：的分母为：，
∴最简公分母为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．
8．D
【分析】将的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍，与原式比较即可．
【详解】解：的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍得：
所以，分式的值不变．
故选D
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题关键．
9．C
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可得到答案．
【详解】已是最简分式，无法约分化简，
A选项错误；
已是最简分式，无法约分化简，
B选项错误；
可以分子分母同除以5，得到，
C选项正确；
已是最简分式，无法约分化简，
D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
10．D
【分析】根据分式的基本性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键．
11．（答案不唯一）
【分析】根据分式的性质即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查分式的性质，理解并掌握分式的性质，分式的约分化简是解题的关键．
12．
【分析】根据长方形的面积列式计算即可．
【详解】解：由题意可得：
该长方形的宽为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是单项式除以单项式，掌握其运算法则是解决此题的关键．
13．
【分析】根据最简公分母是按照相同字母取最高次幂，所有不同字母都写在积里，即可得出答案．
【详解】解：分式和的最简公分母是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简公分母的确定，确定最简公分母的关键是：各分母所含的所有因式的最高次幂的积即为最简公分母.
14．
【分析】分子分母同时除以，化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的性质，正确理解题意是解题的关键．
15．10
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：∵中的，都扩大到原来的5倍，
∴．
故答案为：10
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
16．(1)和
(2)和
【分析】（1）（2）最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．依此即可求解．
【详解】（1）∵两个分式分母分别为，未知数系数的最小公倍数为，
∵a，b，c的最高次数为2，2，1，
∴最简公分母为，
将，通分可得：和；
（2），
∴最简公分母是，
，
．
【点睛】本题考查了通分，规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
17．A
【分析】直接利用最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式，进而分析得出答案．
【详解】解：A．的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，故此选项符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题的关键．
18．A
【分析】分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：分别用和去代换原分式中的x和y，
得，
∴分式的值扩大3倍
故选：A．
【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
19．B
【分析】直接利用分式的加减运算法则以及分式的性质分别化简，进而判断得出答案．
【详解】解：A．，故此选项不合题意；
B．，故此选项符合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式的加减运算以及分式的性质，解题的关键是正确化简分式．
20．A
【分析】根据最简公分母的确定方法：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，进行判断即可．
【详解】解：与的最简公分母为；
故选A．
【点睛】本题考查最简公分母．熟练掌握最简公分母的确定方法，是解题的关键．
21．
【分析】设，代入约分化简．
【详解】∵，
∴设，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的约分，设是解答本题的关键．
22．
【分析】根据单项式除以单项式运算法则，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，计算得出答案即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，掌握单项式除以单项式的运算法则是解题关键．
23．##
【分析】依据，即可得到分式变形中的整式．
【详解】解：，
分式变形中的整式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
24．
【分析】分式与分式的公分母是，据此即可求解．
【详解】解：因为分式与分式的公分母是，所以分式的分母变为，则分式的分子应变为．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，通分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
25．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据整式的乘除法运算求解即可；
（2）根据整式的乘法运算求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】此题考查了整式的乘除法运算，解题的关键是熟练掌握整式的乘除运算法则．
26．（1），；（2）
【分析】（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；
（2）原式变形后，约分即可得到结果．
【详解】解：（1），；
（2）．
【点睛】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．
27．A
【分析】将分式分母先因式分解，再约分，即可求解．
【详解】解：
故先：A．
【点睛】本题考查了分式的约分，涉及到因式分解，分式的约分，按运算顺序，先因式分解，再约分．
28．D
【分析】把x，y的值都变为它们的相反数，代入原式计算，根据结果即可判定．
【详解】解：当x，y的值都变为它们的相反数时，
得，
故将分式中的x，y的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值不变，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的化简，在解题时要注意对分式基本性质的灵活应用．
29．D
【分析】根据分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A．当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意；
B．当时，分式的值为零，当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意；
C．和的最简公分母是，选项错误，不符合题意；
D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
30．
【分析】根据确定最简公分母的步骤找出最简公分母即可．
【详解】解：2、1的最小公倍数为2，
的最高次幂为2，的最高次幂为3，
所以最简公分母为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键．
31．
【分析】根据分式的基本性质，将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，整理即可得到．
【详解】解：将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，
得到：．
∴将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，
则此分式的值扩大为原来的 5倍．
故答案为：5．
【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知分式的基本性质并且会应用．
32．
【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案．
【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10，
即
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变．
33．##-0.125
【分析】根据得出，然后将进行变形，求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，由得出，将变形为，是解题的关键．
34．(1)6b
(2)
(3)
【分析】（1）原式约去分子与分母的公因式即可；
（2）分别分解分式的分子与分母，再约去分子与分母的公因式即可；
（3）分别分解分式的分子与分母，再约去分子与分母的公因式即可．
【详解】（1）=
（2）
=
=
（3）
=
=
【点睛】本题主要考查了分式的约分，能够正确进行因式分解是解答本题的关键
35．(1)等式，分式
(2)
【分析】（1）根据等式的基本性质分式的基本性质即可判断；
（2）按照阅读材料中的设k法即可解答．
【详解】（1）解：上述解题过程中，第①步运用了等式的基本性质，
第②步中，由求得结果运用了分式的基本性质的基本性质．
故答案为：等式，分式；
（2）解：设，
则，，，
∴，
∴分式的值为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质和代数式求值，熟练掌握阅读材料中的设k法是解题的关键．
36．(1)分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
(2)见解析
(3)1
【分析】（1）根据分式的基本性质求解；
（2）将分式的分子、分母同时除以得原式，然后利用整体代入的方法计算；
（3）把代入分式中化简即可．
【详解】（1）“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）∵，
∴原式＝
＝
＝，
∵，
∴，
∴原式=；
（3）∵，
∴，
∴=1．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：灵活运用分式的基本性质是解决问题的关键．也考查了整体代入的方法．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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