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10.3 分式的加减
课程标准 课标解读
能对简单的分式进行加、减、乘、除运算 1．能利用分式的基本性质通分．2．会进行同分母分式的加减法；会进行异分母分式的加减法．
知识点01 同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
即：．
【微点拨】
（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误．
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式．
【即学即练1】
1．将分式化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．0
【即学即练2】
2．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点02 异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
【微点拨】
（1）异分母的分式相加减，先通分是关键．通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法．
（2）异分母分式加减法的一般步骤：
①通分，
②进行同分母分式的加减运算，
③把结果化成最简分式．
【即学即练3】
3．已知，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【即学即练4】
4．化简的结果是（ ）
A．x－2 B． C． D．
考法一 分式加减混合运算
【典例1】
5．已知：．
(1)当时，计算的值；
(2)当时，判断P与Q的大小关系，并说明理由；
(3)设，若x、y均为非零整数，求的值．
考法二 已知分式恒等式确定分子或分母
【典例2】
6．阅读下列材料：
若，试求A、B的值
解：等式右边通分，得
根据题意，得，解之得．
仿照以上解法，解答下题．
(1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值；
(2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________．
(3)计算：_________．
题组A 基础过关练
7．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
10．若，其中，则下列分式的值一定比的值大的是（　　）
A． B． C．﹣ D．
11．计算： ．
12．化简：的结果是 ．
13．计算的结果为 ．
14．已知，则＝ ．
15．计算：
(1)
(2)
16．计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
题组B 能力提升练
17．小强上山和下山的路程都是千米，上山的速度为千米时，下山的速度为千米时，则小强上山和下山的平均速度为（ ）
A．千米/时 B．千垙时
C．千时 D．千米/时
18．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
19．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知实数，，满足，，那么的值（ ）
A．是正数 B．是零
C．是负数 D．正、负不能确定
21．计算： ．
22．若且，则分式的值为 ．
23．计算： ．
24．试卷上一个正确的式子被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ．
25．计算：
(1)
(2)
26．阅读下列材料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，这样的分式就是假分式．假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
例如：；
又如：
．
(1)分式是_________（填“真分式”或“假分式”）﹔
(2)将假分式化为带分式；
(3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值．
题组C 培优拔尖练
27．对于任意的值都有，则，值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
28．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
29．下面是甲、乙、丙三位同学在黑板上计算的做法：则关于这三位同学的做法，你认为（ ）
A．甲同学的做法正确 B．乙同学的做法正确
C．丙同学的做法正确 D．三位同学的做法都不正确
30．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比真分数、假分数，我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．假分式也可以化为带分式．如：；．则下列说法中正确的个数是（ ）
①分式是真分式；②分式是假分式；③把分式化为带分式的形式为；④将假分式化为带分式的形式为．
A．1 B．2 C．3 D．4
31．若，则的值为 ．
32．若，，都有意义，下列等式①；②；③；④；中一定不成立的是 ．
33．已知，其中，，，为常数，则 ．
34．已知x为整数，且为正整数，则整数 ．
35．综合与探究
在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整式法.
例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：设，则.
原式，
∴.
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式.
(1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为___________.
(2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为___________.
(3)已知分式的值为整数，求整数的值.
36．阅读下列材料：
【材料一】
我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．
如这样的分式就是假分式：再如这样的分式就是真分式．
类似的假分式也可以化为带分式．如：．
【材料二】
问题：用配方法求代数式的最值．
解：∵，而，
∴，
故当时，的最小值为．
解答下列问题：
(1)分式是_________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可以化为带分式_________的形式；
(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
(3)求分式的最值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】先化成同分母，再计算即可得．
【详解】解：原式=
=
=1．
【点睛】本题考查了同分母分式的加法，解题的关键是正确计算．
2．D
【分析】根据分式的基本性质以及分式的加法运算法则进行判断即可．
【详解】解：A、，等式不成立，不符合题意；
B、，等式不成立，不符合题意；
C、，等式不成立，不符合题意；
D、，等式成立，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质以及分式的加法，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
3．D
【分析】由可得，然后对变形，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵
∴，即
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式的的减法运算、代数式求值等知识点，对代数式进行正确变形成为解答本题的关键．
4．B
【分析】先通分，再根据同分母分式的运算法则计算即可．
【详解】原式
．
故选B．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式．
5．(1)
(2),详见解析
(3)12或18
【分析】（1）将代入计算的值即可；
（2）先求差，再比较差与0的大小关系．
（3）先表示，再求，的整数值，进而可以解决问题．
【详解】（1）当时，
；
（2）当时，，理由如下：
，
，
或，
当且时，；当时，；
（3），，，
，
、均为非零整数，
时，，；
时，，；
综上所述：的值为18或12．
【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．
6．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值；
（2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值；
（3）由，，，利用裂项相消，即可求解．
【详解】（1）解：等式右边通分，得
，
根据题意，得，解之得；
（2）解：等式右边通分，得
，
根据题意，得，解之得；
故答案为：，；
（3）解：
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．A
【分析】根据同分母分式减法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题主要考查了同分母分式减法，熟知相关计算法则是解题的关键．
8．B
【分析】通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果即可求出值．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的化简，正确对分式进行通分、约分是关键．
9．C
【分析】根据同分母分式相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
【详解】解：原式
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．D
【分析】由题意可得出，然后由作差法进行判断大小即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
A． ，不符合题意；
B． ，不符合题意；
C． ，不符合题意；
D． ，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的大小比较，掌握分式的大小比较的方法是解题的关键．
11．
【分析】分式分母相同，直接加减，最后约分．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
12．##
【分析】根据分式的性质先进行通分，再利用分式的加减法进行计算，最后约分即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的性质和分式的加减运算，掌握分式的加减法的运算法则是计算本题的关键．
13．##
【分析】根据同分母分式的加减法法则以及平方差公式解题即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了同分母分式的加减法和平方差公式，解题的关键在于识别出平方差公式．
14．5
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理后代入原式计算即可求出值．
【详解】解：已知等式整理得：，即，
则原式，
，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了分式的加减法，掌握运算法则是关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先通分，化成同分母分式加法计算即可；
（2）先通分，化成同分母分式加法计算即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】此题考查了分式的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16．（1）1；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）原式各项利用同分母分式的加减法则，约分计算即可．
（2）原式各项利用同分母分式的加减法则计算即可．
（3）原式各项利用同分母分式的加减法则，约分计算即可．
（4）原式各项利用同分母分式的加减法则，约分计算即可．
【详解】解：（1）原式1；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．D
【分析】先表示出上山时间与下山时间，然后根据总路程除以总时间，即可求解．
【详解】解：依题意，上山所用时间为：，下山所用时间为：，
∴小强上山和下山的平均速度为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列代数式，分式的加减运算，根据题意列出代数式是解题的关键．
18．C
【分析】由条件可得，从而可得，再解方程组即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，解得：，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键．
19．B
【分析】A选项利用积的乘方运算法则即可求解；B选项将分子提出一个负号放到分式的前面即可判断；C选项分母互为相反数两个分式的相减，转化为同分母相加减即可；D选项利用同底数幂的除法运算法则计算，再将负指数幂转化成正指数幂即可得解．
【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意；
B、，正确，该选项符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、，原计算错误，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了负指数幂、分式的基本性质以及分式加减乘除运算等知识点，虽较为基础但属易错点，正确运用相关运算法则是解题的关键．
20．C
【分析】根据已知条件得出，再通分计算，判断正负即可．
【详解】解：，，
，且、、都不为0，
，
，
又、、都不为0，
，
，
又，
，
．
的值是负数．
故选：．
【点睛】本题考查了分式的运算和完全平方公式，解题关键是熟练运用分式运算法则计算，根据分子分母的符号确定分式的正负．
21．1
【分析】按照同分母分式的减法：分母不变，分子相减计算，然后再化简即可．
【详解】解：，
故答案是：1．
【点睛】本题主要考查了同分母分式的减法，分式的减法：分母不变，分子相减，熟悉相关性质是解题的关键．
22．1
【分析】利用分式的减法运算将原式写成，即可得到结果．
【详解】解：且，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．
23．
【分析】根据分式的运算求解即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的有关运算法则．
24．
【分析】根据分式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
25．(1)
(2)
【分析】（1）根据异分母分式的加减运算法则即可求解；
（2）根据异分母分式的加减运算法则即可求解．
【详解】（1）
（2）
（或）
【点睛】本题考查异分母分式的加减运算法则，解题的关键是能够将异分母分式化为同分母分式进行计算．
26．(1)假分式
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义，即可求解；
（2）仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则把假分式化为带分式；
（3）先把分式化为带分式，然后再找出满足条件的整数x即可．
【详解】（1）解：分式是假分式；
故答案为：假分式
（2）解：；
（3）解：
，
∵分式的值为整数，
∴可取，
∴所有符合条件的整数的值．
【点睛】本题考查了分式的加减法和分式的求值，理解新定义是解决本题的关键．
27．B
【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
28．A
【分析】根据分式减法运算法则直接求解即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查分式减法运算，涉及因式分解、通分、约分等知识，熟练掌握分式减法运算法则是解决问题的关键．
29．D
【分析】异分母分式加减，先通分，分子加减，约分化简．
【详解】解：
，
∴三位同学的做法都不正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了异分母分式的加减，解题的关键是熟悉异分母分式加减的步骤，即先通分，分子加减后再约分．
30．D
【分析】①根据新定义即可判定；②根据新定义即可判定；③把分式化为带分式的形式，即可判定；④将假分式化为带分式的形式，即可判定
【详解】解：①分式是真分式，故①正确；
②分式是假分式，故②正确；
③把分式化为带分式的形式为：
，故③正确；
④将假分式化为带分式的形式为为：
，故④正确，
故正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的概念，分式的混合运算，分解因式，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及新定义的理解和运用．
31．
【分析】根据分式的加减得出，进而得出，将分式化简，整体代入，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
32．②
【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可．
【详解】解：∵，，都有意义，
∴，，，
当时，①，④，
∴①④可能成立，
∴①④不符合题意；
根据分式的基本性质可得，
∴③不符合题意；
若成立，则有，
∴，
关于m的一元二次方程，，
∴不存在这样的m、n的值使原式成立，
∴②一定不成立；
故答案为：②．
【点睛】本题考查了分式的加减、分式有意义的条件、分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质及加减运算法则是解题关键．
33．6
【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：，且，
当时，①
当时，②
当时，③
∵,
即
∴④
联立解之得
、、，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题．
34．4或5##5或4
【分析】根据异分母分式加减法计算得，利用x为整数，且为正整数，得到x-3=1或x-3=2，由此得到x的值．
【详解】解：
=
=
=
=
∵x为整数，且为正整数，
∴x-3=1或x-3=2，
∴x=4或5，
故答案为4或5．
【点睛】此题考查了异分母分式的加减法，正确掌握异分母分式加减法计算法则并结合题意得到x-3=1或x-3=2是解题的关键．
35．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根据题意将化简为一个整式与一个分式和的形式即可；
（2）设，则，根据例题将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式；
（3）设，则，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进行分析即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：设，则
∴
，
∴
，
（3）设，则，
∴
，
∴，
，
∵是整数，
∴，
解得：或或或．
【点睛】本题考查了分式的化简，掌握分式的性质是解题的关键．
36．(1)真分式；
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料一的定义与例题判断化简即可；
（2）将化为真分式，然后对分母进行赋值即可；
（3）先将根据材料一化为真分式，然后根据材料二对分母转化求最值即可．
【详解】（1）解：1为0次，为1次，
故分式是真分式；
；
故答案为：真分式，
（2）解：，
，解得；
，解得；
，解得；
，解得．
故满足条件的整数x的值为
（3）解：，
故当时，分式的最小值为．
【点睛】本题考查了新定义，相关知识点有：分式加法的逆用，多项式的配方等知识点，充分理解题意是解题关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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