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10.4 分式的乘除
课程标准 课标解读
能对简单的分式进行加、减、乘、除运算 1．学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则．2．会分式的乘法、除法运算． 3．掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算．
知识点01 分式的乘除法
1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用字母表示为：，其中是整式，．
2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用字母表示为：，其中是整式，．
【微点拨】
（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式．
（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘．
（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变．当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分．
（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式．
【即学即练1】
1．下列运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
2．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
知识点02 分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
（为正整数）．
【微点拨】
（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号．不要把写成
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负．
（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分．
（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．
【即学即练3】
3．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【即学即练4】
4．的结果是（ ）
A． B． C． D．
考法一 分式加减乘除混合运算
【典例1】
5．计算：
考法二 分式化简求值
【典例2】
6．先化简，再求值：，其中
题组A 基础过关练
7．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
9．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，则的值为（ ）
A．7 B． C．1 D．
11．计算 ．
12．若，则代数式的值是 ．
13．若两个连续的整数a、b满足，则的值为 ．
14．如果，则的值为 ．
15．计算：
(1)；
(2)．
16．化简下列分式：
(1)．
(2)．
题组B 能力提升练
17．化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
18．若，则分式的值为（ ）
A． B． C． D．
19．下列说法错误的是( )
A．点到轴的距离为 B．点关于轴对称的点在第三象限
C．如分式的值为零，那么 D．
20．下面是一位同学做分式运算的过程，M，N代表代数式，则下列关于M、N的式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
21．计算： ．
22．化简：，结果为 ．
23．已知，则的值为 ．
24．已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是；的差倒数是，如果m的差倒数正好是m，那么的值是 ．
25．（1）
（2）先化简，然后从的围内选取一个合适的整数为的值代入求值．
26．【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知，所以，即，
所以．
故的值为．
(1)【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知，求的值．
(2)【拓展延伸】已知，，，求的值．
题组C 培优拔尖练
27．分式化简的最终结果是（ ）
A． B． C． D．
28．若，则分式的值为（ ）
A． B． C． D．1
29．已知，则的值为（ ）
A．7 B．9 C．1 D．3
30．已知，且，则的值为（ ）
A． B．± C．2 D．
31．当时，计算的结果等于 ．
32．已知，则 ．
33．已知，则的值是 ．
34．已知，，，…，（为正整数，且，1），则 （用含有的式子表示）．
35．化简求值
(1)求的值，其中，．
(2)先化简，再从中选择一个适合的整数代入求值．
36．发现规律
我们发现，．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：．
(1)如果，那么m的值是______，n的值是______；
(2)如果，①求的值；②求的值．
37．定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数高于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如．
(1)判断：分式是________，分式是________；（填“真分式”或“假分式”）
(2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
(3)若x是整数，且分式的值为整数，求x的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】通过约分化简即可判定A、D，根据分式的乘法法则计算判定C，根据分式除法法则计算判定C．
【详解】解：A．原式，故此选项不符合题意；
B．原式，故此选项符合题意；
C．原式，故此选项不符合题意；
D．原式，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题词考查分式化简和分式乘除法，熟练掌握分式化简与分式乘除法法则是解题的关键．
2．A
【分析】根据分式的除法运算法则即可求解．
【详解】解：
，
故选：．
【点睛】本题主要考查分式的运算，掌握分式的除法运算法则是解题的关键．
3．C
【分析】根据分式的负整数次幂和分式的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题考查分式的负整数次幂、分式的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．B
【分析】首先把每一项因式分解，然后根据分式的混合运算法则求解即可．
【详解】
=
=
=
故选：B．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是先对每一项因式分解，然后再根据分式的混合运算法则求解．
5．
【分析】先将各项的分子分母进行因式分解，把除法改写为乘法，再根据分式混合运算的运算顺序和运算法则，进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序．
6．，
【分析】先将括号内通分合并，然后再计算除法，最后利用零指数幂计算出代入即可．
【详解】解：原式，
，
．
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的基本性质化简是解题关键．
7．C
【分析】先将除法转化为乘法，再根据分式乘法法则计算即可．
【详解】
，
故选：C
【点睛】本题考查了分式的乘除法混合运算，熟练掌握分式混合运算的顺序是解题的关键．
8．A
【分析】把变形得到整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查分式求值，掌握整体代入是解题的关键．
9．B
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以判断哪个选项是正确的．
【详解】解：A. ，原式计算错误，故不符合题意；
B. ，原式计算正确，故符合题意；
C. ，原式计算错误，故不符合题意；
D. ，原式计算错误，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
10．B
【分析】设，其中，代入后进行化简即可得到答案．
【详解】解：由可设，其中，
∴，
故选：B
【点睛】此题考查了分式的化简，设是解题的关键．
11．
【分析】根据分式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
12．
【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【详解】原式=
∵，
∴，
∴原式=．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则以及运用整体代入的思想求值是解题的关键．
13．##
【分析】求出在哪两个连续整数之间即可求得两个连续整数a，b，进而求得的值．
【详解】，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，属于基础题，熟练掌握“夹逼法”的应用是解答本题的关键．
14．
【分析】把分式得分子、分母，同时除以，再把代入计算即可．
【详解】解：分式的分子、分母同时除以得，
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确运用分式的运算法则与运算率进行分式的化简求值是解题的关键．
15．(1)；
(2)
【分析】（1）分式的混合运算，先算乘方，然后算乘除；
（2）分式的加减乘除混合运算，先算乘除，然后算加减，有小括号，先算小括号里面的．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据异分母分式的减法法则化简即可；
（2）根据分式的加减乘除混合运算法则化简即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，异分母分式的减法，正确计算是解题的关键．
17．C
【分析】根据分式的加减以及乘除运算法则即可求出答案．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
18．A
【分析】先将变形为，再代入分式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴
．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的化简求值，运用了整体代入的思想．掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
19．B
【分析】根据分式的值为零的条件，分式的乘方运算，坐标与图形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 点到轴的距离为 ，故该选项正确，不符合题意；
B. 点关于轴对称的点为在第一象限，故该选项不正确，符合题意；
C. 如分式的值为零，那么故该选项正确，不符合题意；
D. 故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式的乘方运算，坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．
20．D
【分析】根据分式加减运算法则进行计算，得出结果即可．
【详解】解：
，
∴，，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了异分母分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握分式通分的基本步骤，准确计算．
21．
【分析】根据分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
22．##
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】解：
＝
＝
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．##
【分析】先将括号里面的通分，将除法转化为乘法，约分化简，代入的值，即可求解．
【详解】原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式化简求值，正确化简分式是解题的关键．
24．3
【分析】由m的差倒数正好是m得到，求得，整体代入，计算整理后即可得到答案．
【详解】解：∵m的差倒数正好是m，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了分式的化简求值、完全平方公式等知识，整体代入是解题的关键．
25．（1）；（2），当时，原式；当时，原式
【分析】（1）根据分式的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据分式的混合运算进行计算，根据分式有意义的条件取的值，代入化简结果进行计算即可求解．
【详解】解：
；
（2）
，
∵，，且为整数，
∴当时，原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算与化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
26．(1)
(2)
【分析】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，整理得到；将所求分式取倒数，利用完全平方公式配方和整体代入的方法求得式子的值，最后取倒数即可得出结论；
（2）将已知三个等式的左右两边分别相加得到的值，将所求的分式取倒数计算出结果，利用（1）中的方法即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴
，
∴．
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查分式的化简求值，分式的加减法，倒数的意义，分式的乘除法，完全平方公式的应用，运用了恒等变换和整体代入的思想方法．本题是阅读型题目，理解并熟练运用题干中的解题思想与方法是解题的关键．
27．D
【分析】先将分子分母进行因式分解，将除法改写为乘法，最后根据分式的运算法则和运算顺序进行计算即可．
【详解】解：原式=
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的运算法则和运算顺序．
28．C
【分析】将分式通分得，由，整体代换即可求解．
【详解】解：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的计算．解题的关键是熟知分式的性质，分式的基本性质为：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
29．A
【分析】先将转化为，然后利用完全平方公式将变形为，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴
，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的化简求值，完全平方公式的应用，运用了恒等变换和整体代入的思想．灵活运用完全平方公式是解题的关键．
30．A
【分析】已知，变形可得，，可以得出和的值，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意、的大小关系以及本身的正负关系．
31．7
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．
32．6
【分析】根据完全平方公式变形可得，，由此即可解题.
【详解】解：∵
∴，即
∴
∴
∴
故答案为6.
【点睛】本题考查代数式的求值，根据条件利用完全平方公式变形，结合整体代入思想是解决问题的关键．
33．##
【分析】先计算括号内的，再计算乘方，然后计算除法，将式子化简，最后把已知整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键，注意整体思想的运用．
34．
【分析】根据题意求出，并从中找出规律即可求出答案．
【详解】∵，
，
，
，
∴结果每3个一循环，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及分式的计算，解题的关键是正确找出题中的规律．
35．(1)，
(2)，当时，原式
【分析】（1）根据，，整式的乘法，然后合并同类项，化简得到代数式，最后把，代入，即可；
（2）根据，把除法变为乘法，然后化简代数式，在选择一个数，代入即可．
【详解】（1）∵，
，
，
，
，
把，代入，
∴原式=．
（2），
，
，
，
，
．
当时，原式=．
【点睛】本题考查整式、分式的化简求值，解题的关键是掌握，的运用．
36．(1)，
(2)①；②
【分析】（1）根据运用规律得出，，再求出、即可；
（2）根据求出，，①根据多项式乘多项式进行计算，再变形，最后代入求出答案即可；②通分后变形，再代入求出答案即可．
【详解】（1）解：，
，．
故答案为：，；
（2），
，，
①
；
②
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值和整式的运算法则，能正确根据分式和整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
37．(1)真分式；假分式
(2)
(3)
【分析】（1）分式的分子的次数低于分母的次数，所以是真分式；分式的分子的次数高于分母的次数，所以是假分式．
（2）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；
（3）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．
【详解】（1）分式的分子的次数为0，低于分母的次数1，所以是真分式；分式的分子的次数为2，高于分母的次数1，所以是假分式．
（2）由题可得，；
（3），
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴，，
∴，
故的值为：，，，，，．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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