资源简介

12.1 二次根式
课程标准 课标解读
了解二次根式的概念和二次根式的性质 1.理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由．2.理解并掌握下列结论：≥0，（≥0），，（≥0），并利用它们进行计算和化简．
知识点01 二次根式的概念
1.二次根式：一般地，式子（a≥0）叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．
【微点拨】
二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数．
2.代数式：形如5，a，a＋b，ab，，x3，（a≥0）这些式子，用基本的运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．
【即学即练1】
1．下列式子中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
2．若有意义，则x的取值范围（ ）
A． B． C． D．
知识点02 二次根式的性质
1.；
2. ；
3.．
【微点拨】
1.二次根式（a≥0）的值是非负数．一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，
即．
2.与要注意区别与联系：
（1）的取值范围不同，中≥0，中为任意值．
（2）≥0时，＝＝；＜0时，无意义，＝．
【即学即练3】
3．下列命题中错误的是(　　)
A．若，则
B．若为有理数，则是它的算术平方根
C．化简的结果是
D．若二次根式有意义，则的取值范围为
【即学即练4】
4．已知，化简（ ）
A．1 B．3 C． D．
考法一 利用二次根式的性质化简
【典例1】
5．设，，为的三边，化简：．
考法二 复合二次根式的化简
【典例2】
6．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝　 　．
题组A 基础过关练
7．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．在函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知是整数，非负整数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．化简 ．
12．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
13．计算：当x 时，有意义．
14．二次根式在实数范围内有意义、则x的取值范围是 ．
15．计算：
(1)；
(2)．
16．计算题．
(1)；
(2)．
题组B 能力提升练
17．已知是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（ ）
A．5 B．1 C．2 D．3
18．下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
19．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则的值是（　　）
A． B． C． D．
20．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
21．若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
22．的三边长分别为1、k、3，则化简 ．
23．已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是 ．
24．如果，则的取值范围是 ．
25．先化简，再求值：，其中，．
26．无论x取何实数，代数式都有意义，化简式子．
题组C 培优拔尖练
27．若，则化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
28．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A． B． C． D．无法确定
29．设，是有理数，且，满足等式，则的平方根是（ ）
A． B． C． D．
30．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．
已知两个根分式与．则下列说法：
①根分式中x的取值范围为：且；
②存在实数x，使得；
③存在两个无理数x，使得是一个整数．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
31．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ．
32．实数m在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ．
33．已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简： ．
34．像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
35．规定表示一对数对，给出如下定义：，（）．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对为与．
(1)数对的一对“对称数对”是________．
(2)若数对的一对“对称数”相同，则的值是多少？
(3)若数对的一个“对称数对”是，则的值是多少？若数对一个“对称数对”是，求，的值．
36．点是平面直角坐标系中的一点，点为x轴上的一点．
(1)用二次根式表示点P与点A的距离；
(2)当时，连接，求；
(3)若点P位于第二象限，且满足函数表达式，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】利用二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解：A、中，当时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、中当时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、，恒成立，因此该式是二次根式，故此选项符合题意；
D、中被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式定义，关键是掌握形如()的式子叫做二次根式．
2．B
【分析】由二次根式有意义的条件可得，解这个不等式求出x的取值范围．
【详解】由题意得，
1-2x≥0
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式．
3．A
【分析】根据二次根式的性质对A、C进行判断；根据算术平方根的定义对B进行判断；根据二次根式有意义的条件对D进行判断．
【详解】解：A、若，则，所以A选项错误；
B、若为有理数，则是它的算术平方根，所以B选项正确；
C、化简的结果是，所以C选项正确；
D、若二次根式有意义，则x的取值范围为，所以D选项正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，算术平方根的定义，命题的知识，掌握二次根式的性质，，算术平方根的定义是解题的关键．
4．A
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟知：是解本题的关键．
5．
【分析】根据三角形的三边关系判定出的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】解：根据，，为的三边，
得到，，，，
则原式
．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，根据三角形三边的关系确定出各式的符号是解本题的关键．
6．（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
（2）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简；
（3）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解．
【详解】（1）解：，
∵，且均为整数，
，
故答案为：
（2）解：，
∵，
∴ ，
又∵均为正整数，
∴ 或，
即或；
（3）解：
＝
＝
＝，
故答案为：
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
7．D
【分析】利用二次根式的性质公式直接求解即可．
【详解】
故选：D
【点睛】此题考查二次根式的性质，解题关键是公式为：．
8．A
【分析】由题意，直接根据二次根式的性质即被开方数大于等于0进行分析求解即可得出答案．
【详解】解：由题意得，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
9．A
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、，则是二次根式，故此选项符合题意；
B、无意义，故此选项不符合题意；
C、当时，无意义，故此选项不符合题意；
D、属于三次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义的内容是解此题的关键，注意：式子叫做二次根式．
10．D
【分析】根据是整数，得到是完全平方数，再利用二次根式有意义的条件即可得到答案．
【详解】解：，且是整数，
是整数，即是完全平方数，
，
的最小非负整数值为0，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，解题关键是掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数．
11．
【分析】利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了化简二次根式，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．
12．##
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【详解】由题意得，，
解得．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
13．##
【分析】根据二次根式有意义的条件即可进行解答．
【详解】解：当时，有意义，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数．
14．
【分析】根据二次根式有意义的条件被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后再合并即可．
（2）利用多项式乘法展开，然后再合并即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事倍功半．
16．(1)
(2)﹣3
【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而合并得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
【详解】（1）原式＝0.5﹣2
；
（2）原式＝﹣4+23﹣（1）
＝﹣4+2﹣21
＝﹣3．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各项是解题的关键．
17．A
【分析】化简二次根式进而得出n的最小值．
【详解】，且是整数，
最小正整数n的值是5，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的定义，正确化简二次根式是解题的关键．
18．B
【分析】根据判断A选项；根据判断选项；根据判断选项；根据算术平方根的定义判断选项．
【详解】解：A、原式，故该选项不符合题意；
B、原式，故该选项符合题意；
C、原式，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题的关键．
19．A
【分析】根据数轴可以得到，即可进行二次根式的化解．
【详解】解：由题意得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的化简，解题的关键是根据数轴判断出a，b正负．
20．D
【分析】根据求算术平方根，二次根性质化简，求立方根计算判定即可
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查算术平方根，二次根式性质，立方根，熟练掌握求算术平方根和立方根，，二次根式性质是解题的关键．
21．##
【分析】根据二次根式有意义条件和分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
22．1
【分析】根据三角形的三边关系得到，再判断得到，，再化简代数式即可．
【详解】解：∵的三边长分别为1、k、3，
∴，
∴，，
∴
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，绝对值的化简，二次根式的化简，掌握“二次根式的化简方法”是解本题的关键．
23．##
【分析】根据二次根式的非负性，即可求解．
【详解】∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点．
24．
【分析】结合题意，根据二次根式的性质，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案．
【详解】解：
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式、一元一次不等式组的知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
25．，20
【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再将x和y的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式=
=，
当，，原式．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握．
26．
【分析】根据代数式都有意义，得出，继而根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵，
且无论取何实数，代数式都有意义，
∴，
∴.
当时，.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
27．D
【分析】先根据非负数的性质得到，解得，代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得，
，
故选：D
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法、算术平方根的非负性、算术平方根的求法，根据非负数的性质得到方程组是解题的关键．
28．A
【分析】由数轴可知，，可得，，再化简即可．
【详解】解：由数轴可知，，
，，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和绝对值的意义，熟练掌握数轴上的点的特征，注意字母的取值范围是解答本题的关键．
29．A
【分析】根据合并同类项法则列出关于x与y的方程组，求解方程组得到，，代入计算即可求出的平方根．
【详解】解：，是有理数，且，满足等式，
，
解得：，
，
的平方根是，
故选A．
【点睛】本题考查了实数的运算，二元一次方程组的应用，代数式求值，平方根的定义，掌握实数的性质构造二元一次方程组是解题关键．
30．A
【分析】对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将M，N代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将M，N代入再整理，讨论得出答案．
【详解】根据题意可知且，
解得且．
所以①不正确；
由，得，
解得．
经检验，是原方程的增根，
∴原方程无解，
∴不存在．
所以②不正确；
根据题意，得
．
∵是一个整数，
∴或，
解得或或或．
∵x为无理数，且，
∴．
所以③不正确．
所以正确的有0个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了定义新概念，二次根式的性质，解分式方程等，理解新定义是解题的关键，并注意分类讨论．
31．﹣2a
【分析】先根据数轴的定义得出再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由数轴可得：，
故
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键．
32．1
【分析】由数轴可得：，则有，再进行化简即可．
【详解】解：由数轴得：，
∴，
∴
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是由数轴得出．
33．
【分析】根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式，然后根据整式的加减计算法则化简即可得答案．
【详解】解：∵的三边分别为a、b、c，
∴，
∴，
∴原式
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，整式的加减计算，三角形三边的关系，正确根据三角形三边的关系得到是解题的关键．
34．(1)
(2)
(3)a的值为或
【分析】（1）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；
（2）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；
（3）将化简为，继而得到，， 再根据为正整数，即可求出其值，代入即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，，
又为正整数，
，或者，
当时，；
当，，
综上所述，a的值为或．
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
35．(1)
(2)
(3)；或
【分析】（1）根据“对称数对”的定义代入计算即可；
（2）先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据“数对的一对“对称数对”相同”，可得的值；
（3）先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据“数对的一个“对称数对”是”，即可得出的值；先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据数对一个“对称数对”是，即可得出的值；
【详解】（1）解：由题意得，，
∴数对的一对“对称数对”是与；
（2）解：由题意得，
∴数对的一对“对称数对”为与，
∵数对的一对“对称数对”相同，
∴
∴；
（3）解：∵数对的一对“对称数对”是与
而数对的一个“对称数对”是，
∴，
；
由题意得，
∴数对的一对“对称数对”为与，
数对一个“对称数对”是
或
或
【点睛】本题考查了实数的运算，“对称数对”的定义．理解题意是解题的关键．
36．(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）构造直角三角形利用勾股定理求解即可；
（2）根据题目条件构造直角三角形然后利用勾股定理分别求出，最后求解即可；
（3）根据点在第二象限可得出它横纵坐标的取值范围，再化简即可．
【详解】（1）解：由题意得：点与点的横坐标差为：，纵坐标差为，
∴点P与点A的距离：；
（2）∵，
∴，
∴，，
则；
（3）∵点位于第二象限，
∴，
又，
．
即的值是1．
【点睛】本题主要考查直角坐标系两点距离的计算，熟练掌握坐标系中两点距离公式是解决本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑