资源简介

12.2 二次根式的乘除
课程标准 课标解读
了解最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）乘、除运算法则． 1．掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算．2．了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简．
知识点01 二次根式的乘除法
1．乘法法则：（≥0，≥0），即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘．
【微点拨】
（1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数．
（2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
．
（3）若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简．
2．积的算术平方根:
，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积．
【微点拨】
（1）在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0，才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
（2）与都是的算术平方根；
（3）二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面．
3．除法法则：，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除．
【微点拨】
（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0；
（2）运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号．
4．商的算术平方根:
，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
【微点拨】
与都是的算术平方根．
【即学即练1】
1．估计的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【即学即练2】
2．下列各式的计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点02 最简二次根式
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（2）被开方数中不含有分母；
（3）分母中不含有根号．
满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式．
【微点拨】
二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1） 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式．
【即学即练3】
3．下列根式为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【即学即练4】
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
考法一 二次根式的乘除混合运算
【典例1】
5．计算：
考法二 已知最简二次根式求参数
【典例2】
6．如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值．
题组A 基础过关练
7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则，的关系为（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为负倒数
9．下列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．计算，结果为（ ）
A． B．1 C． D．11
11．计算的结果是 ．
12．已知矩形的面积为18，一边长为，则矩形的另一边为
13．将化为最简根式是 ．
14．计算： ．
15．计算：
(1)．
(2)．
16．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
题组B 能力提升练
17．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
18．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
19．下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．估计的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
21．若成立，则x的取值范围是 ．
22．计算： ．
23．将化为最简二次根式的结果是 ．
24．已知，化简二次根式的结果是 ．
25．（1）计算：
（2）计算：．
26．比较与的大小（作商法）
题组C 培优拔尖练
27．如果是最简二次根式，则x的值可能是（ ）
A．11 B．13 C．21 D．27
28．当时，下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
29．计算正确的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
30．如图1，在中，，点D是边的中点，动点P从点C出发，沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则的长为（　　）
A． B． C． D．6
31．已知，若是最简二次根式，请写出一个符合条件的正整数n： ．
32．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ．
33．的三边分别是a、b、c，且满足，则当c= 时是直角三角形．
34．把两个同样大小含角的直角三角尺（，，）按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若，则 ．
35．已知、满足
(1)求、的值；
(2)若、是某直角三角形的两条边的长，求此直角三角形的面积．
36．定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决：
(1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______；
(2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】利用二次根式乘法法则得到，再利用二次根式的性质可得到，然后估算出的值即可．
【详解】解：∵，
又∵
∴，
∴的值应在6和7之间．
故选：D．
【点睛】本题考查无理数的估算．正确估算出的值是解题的关键．也考查了二次根式的乘法和二次根式的性质．
2．D
【分析】根据二次根式的计算法则进行计算即可．
【详解】解：A． ，故原选项计算错误，不符合题意；
B． ，故原选项计算错误，不符合题意；
C． ，故原选项计算错误，不符合题意；
D． ，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
3．A
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：解：A. 是最简二次根式，符合题意；
B. ，不是最简二次根式，不符合题意；
C. ，不是最简二次根式，不符合题意；
D. ，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．D
【分析】根据最简二次根式的定义即可选出正确选项．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的因数数整数，因式是整式．
5．
【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
6．x=4，y=3．
【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可．
【详解】∵最简二次根式与同类二次根式，
∴3a+4=19-2a，
解得，a=3，
∴，即
∵≥0，≥0，
∴12-3x=0，y-3=0，
解得，x=4，y=3．
【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键．
7．A
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、，被开方数含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
8．C
【分析】根据互为倒数的性质进行计算.
【详解】解：,
∴，互为倒数，
故选C.
【点睛】本题考查的是互为负倒数的性质，熟练掌握性质是本题的解题关键.
9．D
【分析】根据二次根式的除法公式逐一计算即可．
【详解】A. 运算正确；
B. 运算正确；
C. 运算正确；
D. 运算错误．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法公式是解答本题的关键．
10．A
【分析】利用平方差公式计算后再加减即可．
【详解】
．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键．
11．2
【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解答的关键．
12．
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的除法，关键是掌握二次根式的除法法则．
13．3
【分析】将18拆成，再开方即可．
【详解】解：.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，将被开方数化成完全平方数与某数乘积的形式是解题的关键．
14．
【分析】首先进行二次根式的除法运算，再利用二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的除法运算及利用二次根式的性质化简，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的除法运算法则计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式的乘法和除法运算法则是解答本题的关键．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则，分母有理化计算即可；
（2）利用乘法分配律计算，利用分数的性质和二次根式的性质化简；
（3）根据二次根式除法和运算法则和分母有理化化简，再计算与5的和即可；
（4）先利用完全平方公式、平方差公式分别进行计算，再求和即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
17．B
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
18．B
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出a的取值范围，然后根据二次根式的除法公式和分母有理化化简即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，则，
∴
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式有意义的条件、二次根式的除法公式和分母有理化是解题关键．
19．B
【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式的化简逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项正确，符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法与化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
20．B
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算化简，最后估算，即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，正确的计算解题的关键．
21．
【分析】直接利用二次根式的性质，二次根式有意义的条件，得出关于的不等式组，进而求出出答案．
【详解】解：等式成立，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，正确解不等式组是解题关键．
22．##
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题的关键．
23．
【分析】将分母有理化后进行化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法解决本题的关键．
24．
【分析】根据已知条件判断b的取值范围，然后根据二次根式的性质进行化简即可得出答案．
【详解】∵有意义，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质：，当时，，当时，，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
25．（1）0；（2）
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解；
（2）先利用二次根式的乘法和除法计算，再合并，即可求解．
【详解】(1)
；
（2）
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
26．
【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．
【详解】解：∵
，
又∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查实数大小比较，二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则，准确进行计算．
27．B
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方式非负，列出不等式得到解集后，再由最简二次根式定义代值逐项验证即可得到答案．
【详解】解：是二次根式，
，解得，
A、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、当时，，确定是最简二次根式，该选项符合题意；
C、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意；
D、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件及最简二次根式定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解决问题的关键．
28．C
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式和分式的有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：A．当时，，故，选项错误；
B．当时，，故，选项错误；
C．当时，，，故，符合题意；
D．当时，，分母为0，根式无意义，选项错误，不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
29．D
【分析】利用二次根式的乘法，平方差公式，逆用积的乘方法则计算即可．
【详解】∵
=
=
=，
∴选D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，平方差公式，逆用积的乘方法则，熟练掌握法则是解题的关键．
30．A
【分析】由图象可知：当x=3时，y等于3，由此可得出的长，进而得出的长；当时，面积最大，且面积发生转折，此时点P和点A重合，可得，最后由勾股定理可得结论．
【详解】解：由图象可知：当时，， ，
即 ， 解得，
∵点D是的中点，
∴，
当时，此时点P和点A重合，
∴，
在中，，，，
由勾股定理可得，．
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出和的长．
31．1
【分析】根据根号下不含能开得尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案．
【详解】解：∵且是最简二次根式，
∴，
故答案为：1(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题关键．
32．68
【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可．
【详解】∵A，B为最简二次根式，且，
∴，
解得，
∴，，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：68．
【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键．
33．10或##或
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性得出，，再分情况根据勾股定理解答即可．
【详解】解∶∵，
∴，，
解得：，，
∴当是以为直角的直角三角形时，，
∴，
当是以为直角的直角三角形时，，
∴，
故答案为： 10或．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的化简，即如果直角三角形的三边长分别为a，b，c，那么 ，注意分情况讨论，不要漏解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
34．##
【分析】作于F，根据等腰直角三角形的性质求出AF，BF，CF，在中根据勾股定理求出，得到，在中，根据勾股定理求出，可得，即可求得
【详解】过点A作于点F，
在中，，
∴，
∴，，
∵两个同样大小的含角的三角尺，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
35．(1)，
(2)或
【分析】（1）将原等式转化为，然后利用非负性可得、的值；
（2）分、为直角边和为斜边、为直角边两种情况讨论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
（2）当、为直角边时，
此直角三角形的面积为，
当b为斜边，为直角边时，
另一直角边为，
此直角三角形的面积为：，
综上所述，此直角三角形的面积为或．
【点睛】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，非负数的性质，勾股定理，二次根式的乘法，三角形的面积．运用分类讨论是解题的关键．
36．(1)
(2)2
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式计算可得a的值；
（2）根据共轭二次根式的定义列等式解出m的值．
【详解】（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵与是关于C的共轭二次根式，
∴，
∴，
∵C是有理数，
∴，
∴解得．
【点睛】本题通过新定义共轭二次根式考查了二次根式，关键在于理解新定义的含义，并会灵活运用二次根式的性质进行计算．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑