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12.3 二次根式的加减
课程标准 课标解读
了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算． 1．理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2．会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算．
知识点01 同类二次根式
1．同类二次根式定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．
【微点拨】
（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；
（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关．
2．合并同类二次根式
合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变．
【微点拨】
（1）根号外面的因式就是这个根式的系数．
（2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式．
（3）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，不是同类二次根式不能合并．
【即学即练1】
1．下列与可以合并的是（　　）
A． B． C． D．
【即学即练2】
2．已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
知识点02 二次根式加减法
1．二次根式的加减
二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式．
【微点拨】
（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用．
（2）二次根式加减运算的步骤：
①将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
②判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；
③合并同类二次根式．
2．二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用．
【微点拨】
（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
（2）在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
（3）二次根式混合运算的结果要写成最简形式．
【即学即练3】
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考法一 二次根式的混合运算
【典例1】
5．计算：
(1)；
(2)．
考法二 二次根式的分母有理化
【典例2】
6．阅读材料，回答问题：
，，像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为在理化因式，上述解题过程也称为分母有理化.
(1)的有理化因式是______；
(2)将式子进行分母有理化；
(3)类比（2）中的计算结果，计算：.
题组A 基础过关练
7．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．3
9．下列式子计算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．二次根式的有理化因式可以是 ．
12．写出一个与是同类二次根式的最简二次根式 ．（不与原数相等）
13．若与的被开方数相同，则 ．
14．计算： ．
15．计算：
(1)
(2)
16．计算．
(1)．
(2)．
题组B 能力提升练
17．下列二次根式不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
18．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
19．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．直角三角形两直角边的长分别为和6，那么这个直角三角形的周长是（　　）
A． B． C． D．
21．化简的结果是 ．
22．若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ．
23．若最简根式与是同类二次根式，则 ．
24．已知，，则代数式的值为 ．
25．计算：
(1)；
(2)
26．阅读下列解题过程：
，
．
(1)观察上面的解题过程，请直接写出结果　 　，＝　 　．
(2)利用上面提供的信息请化简：
的值．
题组C 培优拔尖练
27．已知，，，那么，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
28．若，则的值是（ ）
A． B．4 C．1 D．8
29．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
30．有依次排列的一列式子：，，，，，…小红对式子进行计算得：
第1个式子：；
第2个式子：……
根据小红的观察和计算，她得到以下几个结论：①第8个式子为；②对第n个式子进行计算的结果为；③前100个式子的和为；④将第n个式子记为，令，且，则正整数．小红得到的结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
31．已知，，则代数式的值是 ；
32．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则 ．
33．计算的值是 ．
34．已知，那么的值等于 ．
35．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：
∵，
∴．
∴，即，
∴，
∴，
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
(1)化简：①__________；
②__________；
(2)化简：+…+；
(3)若，求的值．
36．我们将、称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，因此二次根式除法可以这样解：如，，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化
根据以上材料，解答下列问题：
(1)比较大小用“”、 “”或“”填空；
(2)已知，，求的值；
(3)计算：
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】能与合并的二次根式，就是与是同类二次根式．根据同类二次根式的被开方数相同的性质解答．
【详解】解：的被开方数是3．
A．，被开方数是3，故本选项符合题意；
B．，被开方数是2，故本选项不符合题意；
C．，被开方数是5，故本选项不符合题意；
D．，被开方数是6，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
2．B
【分析】把选项中的数分别代入二次根式进行化简，然后看被开方数是否是2即可．
【详解】解：，A、当时，，所以与不是同类二次根式；
B、当时，，所以与是同类二次根式；
C、当时，，所以与不是同类二次根式；
D、当5时，=，所以与不是同类二次根式．
故选B．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的判断，注意同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式．
3．A
【分析】根据二次根式的运算法则计算各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：A. ，计算正确，故选项符合题意；
B. ，计算错误，故该选项不符合题意；
C. ，计算错误，故该选项不符合题意；
D. ，计算错误，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．B
【分析】根据二次根式的四则运算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
5．(1)
(2)
【分析】（1）首先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算，即可求解；
（2）首先根据完全平方及平方差公式进行运算，再进行加减运算，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
6．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据阅读材料，可知，所以的有理化因式是；
（2）根据阅读材料，分子分母同时乘即可；
（3）将以上的结论直接代入求解，，，，，然后直接相加即可．
【详解】（1）的有理化因式是；
（2）；
（3）
．
【点睛】此题考查分母有理化，解题关键是将分母上的根号去掉，难点是当利用平方差公式进行分母有理化时需注意符号问题．
7．A
【分析】根据二次根式的运算法则计算各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：A．，计算正确，符合题意；
B． 和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
C．，计算错误，不符合题意；
D．，计算错误，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8．C
【分析】绝对值和二次根式都大于等于零，所以，，求得x，y的值，即可求得最后结果．
【详解】解：，，，
，，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值和二次根式的非负性，准确计算是本题的解题关键．
9．D
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行逐一运算判定即可解答．
【详解】A．和不能合并，A错误；
B．，B错误；
C． ，C错误；
D．，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，准确熟练地进行计算是解题关键．
10．D
【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则计算，进而得出答案．
【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
11．
【分析】运用平方差公式可找到的有理化因式．
【详解】解：∵，
∴的有理化因式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查有理化因式，解题的关键是两个含有根号的代数式相乘，使它们的积不含有根式．
12．（答案不唯一）
【分析】根据同类二次根式的概念和最简二次根式的概念即可求解．
【详解】∵，
∴与是同类二次根式的最简二次根式有（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念和最简二次根式的概念，解题的关键是能够掌握同类二次根式的概念和最简二次根式的概念．
13．
【分析】根据被开方数相同列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
14．
【分析】先化简二次根式，再计算加法即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
15．(1)；
(2)．
【分析】（1）化简二次根式，然后按照二次根式的加减运算法则进行计算即可；
（2）先运用平方差公式、二次根式的除法法则、积的乘方进行去括号、化简，然后进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了平方差公式，二次根式的化简和计算；正确化简二次根式是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算；
（2）根据二次根式的混合运算进行化简计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．
17．D
【分析】先逐项进行化简，根据化简结题即可作出判断．
【详解】A． ，能与合并，故不符合题意；
B． ，能与合并，故不符合题意；
C． ，能与合并，故不符合题意；
D． ，不能与合并，故符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查同类二次根式，此类问题就是把所给的二次根式进行化简，然后判断是否为同类二次根式．
18．C
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法和除法的运算法则逐项计算即可判断．
【详解】和不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算正确，符合题意；
，故D计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的加法，减法，乘法和除法．掌握各运算法则是解题关键．
19．D
【分析】根据二次根式的加减逐一判断可得答案．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；
B、2与不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．D
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再求出其周长即可．
【详解】解：∵直角三角形两直角边的长分别为和6
∴其斜边的长
∴这个直角三角形的周长
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理及二次根式的应用，先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长是解答此题的关键．
21．
【分析】根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则，本题属于基础题型．
22．
【分析】根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案．
【详解】解：最简二次根式与最简二次根式相等，
∴
解得：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
23．2
【分析】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得，
故答案为：2．
【点睛】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．
24．18
【分析】把，直接代入代数式，利用完全平方公式求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：18
【点睛】本题主要考查因式分解和二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
25．(1)
(2)
【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后再按照分式混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式性质进行化简，然后再结合平方差公式，按照二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
26．(1)，
(2)2022
【分析】（1）先根据已知算式得出规律，再根据所得的规律得出答案即可；
（2）先根据得出的规律得出原式再进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，．
（2）解：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化类，平方差公式和分母有理化等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
27．A
【分析】先分别计算，，的倒数，然后再进行比较，即可解答．
【详解】解：，，，
，
，，都是正数，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数大小比较，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
28．A
【分析】先将原式变形为，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的化简求值，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键．
29．D
【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：A．，故A选项不符合题意；
B．，故B选项不符合题意；
C．和不是同类二次根式不能合并，故C选项不符合题意；
D．，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
30．C
【分析】直接写出第n个式子的通式可判断①②，③④直接计算即可．
【详解】由题可知，第n个式子：，故②正确；
那么第8个式子为
而，故①正确；
第100个式子为：
则前100个式子的和为：，故③正确；
令，则可化为
因为
所以可化为：
若，则，故④错误．
综上所述，①②③正确．
故选：C
【点睛】此题考查二次根式的规律，解题关键是将此数式的通式直接写出来，同时化简时需要分母有理化．
31．
【分析】根据题中条件，利用二次根式性质化简，代入求值即可得到答案．
【详解】解：，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键．
32．##
【分析】根据无理数的估算得出a，b，然后代入代数式计算即可；
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分，
小数部分，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，代数式求值，求出a，b的值，准确计算是解题的关键．
33．
【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
34．
【分析】通过完全平方公式求出，把待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴ ，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示．
35．(1)①，②
(2)
(3)5
【分析】（1）根据分母有理化的方法进行求解即可；
（2）把各项进行分母有理化，从而可求解；
（3）仿照所给的解答方式进行求解．
【详解】（1）解：①；
②，
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
36．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用分母有理化的方法化简，再比较分子即可；
（2）利用变形计算即可；
（3）先把各个式子进行分母有理化，再裂项相消即可．
【详解】（1）解：∵
；
∵，2，
∴，
∴．
（2）解：，
∵，，
∴原式．
（3）解：
+…
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，同时考查了完全平方公式的变形应用以及裂项法的应用，计算量较大．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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