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第17讲 解直角三角形
第7章 锐角三角函数
7.5解直角三角形
课程标准 课标解读
1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形． 2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题． 1．了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角（两锐角互余），边与边（勾股定理）、边与角关系解直角三角形． 2．运用直角三角形的角与角（两锐角互余），边与边（勾股定理）、边与角关系解直角三角形．
知识点01 解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角．
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）．
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．
③边角之间的关系：
，，，
，，．
④，h为斜边上的高．
【微点拨】
（1）直角三角形中有一个元素为定值（直角为90°），是已知值．
（2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系．
（3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解．
【即学即练1】
1．在中，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分别是∠A，∠B的对边，若sinA：cosA=2：3，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 解直角三角形的常见类型及解法
已知条件 解法步骤
Rt△ABC 两边 两直角边（a，b） 由求∠A，∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边（如c，a） 由求∠A，∠B=90°－∠A，
一边 一 角 一直角边和一锐角 锐角、邻边（如∠A，b） ∠B=90°－∠A，，
锐角、对边（如∠A，a） ∠B=90°－∠A，，
斜边、锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A，，
【微点拨】1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算．
　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边．
【即学即练3】
3．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，则tanB的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
考法 解直角三角形
【典例】
4．如图，在中，，，，，，分别在，，上，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
题组A 基础过关练
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣1，2)，以点O为圆心，将线段OA逆时针旋转，使点A落在x轴的负半轴上点B处，则点B的横坐标为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
6．如图，点C在以AB为直径的圆上，则BC＝（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，．下列四个选项，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，AB=4，BC=5，sinB =，则△ABC的面积等于（　　）
A．15 B． C．6 D．
10．如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．Rt△ABC中，，，AB=，则AC= ．
12．公园有一个亭子的底面是边长为2m的正六边形，这个正六边形底面的面积是 m2．
13．如图， ，点P在OA上， PC=PD，若CO=5cm，OD=8cm ，则 OP的长是 ．
14．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝ ．
题组B 能力提升练
15．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA、OB、AB、PO，PO与AB交于点C．若，OC=1，则PO的长为（ ）
A．12 B．8 C． D．4
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（　　）
A． B． C． D．
17．如图，中，垂直平分于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，为的直径，弦交于点，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
19．如图，OA是半⊙O的半径，弦BC⊥OA于点E，连接OC，若⊙O的半径为m，∠AOC＝∠α，则下列结论一定成立的是（　　）
A．OE＝m tanα B．BC＝2m sinα
C．AE＝m cosα D．S△COB＝m2 sinα
20．如图，在中，，为上一点，，，．则＝ ．
21．如图，在中，，于点D，，，则BC的值为 .
22．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC=2，则图中阴影部分的面积是 ．
23．如图，已知Rt△ABC 中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，且AD=2，AC=，解这个直角三角形．
24．已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，．求：
(1)线段DC的长；
(2)tan∠EDC的值．
题组C 培优拔尖练
25．如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠BAC等于（ ）
A． B． C． D．
26．如图，在中，．作交边于点E，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
27．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，点G在CD边上，，AG交BF于点H，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个．
28．如图，△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的半圆O与直角边BC相切于点F，分别交AC、AB于点D、E．已知CD=1，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
29．已知：如图，AB=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交OC于点D，AD的延长线交BC于点E，过D作⊙O的切线交BC于点F．下列结论：①；②；③；④其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
30．如图所示，点A与点B是两个四分之一圆的圆心，且两个圆的半径分别为3和6，则图中阴影部分的面积是 ．
31．如图，在中，AB是的直径，，AD，BC交于点E，点D为的中点，点G为平面内一动点，且，则AG的最小值为 ．
32．如图，的直径为，弦为，，则 ．
33．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，交BD于点E，若AE，则矩形ABCD的周长为 ．
34．如图，已知AB是的直径，为的内接三角形，C为BA延长线上一点，连接CD，于点E，交CD于点F，．
(1)求证：CD是的切线．
(2)若，求的长．
35．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E
(1)求证，直线DE是⊙O的切线；
(2)尺规作图：过点B作直线DE的垂线，垂足为点F，（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)若⊙O的半径为5，AD=8，求BF的长．
36．某数学社团遇到这样一个题目如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO∶CO=1∶3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，如图②，过点B作BDAC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD 就可以解决问题．
(1)请写出求AB长的过程．
(2)如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC=∠ACB=75°，BO∶OD=1∶3．若AO=，求AB的长．
37．如图，直线经过上的点C，并且，，交直线于E、D，连，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)试猜想，，三者之间的等量关系，并加以证明；
(3)若，的直径为5，求的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据题意画出图形，进而利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
【详解】解：如图所示：
∵BC=3，AC=，∠C=90°，
∴，
∴∠A=60°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数关系，正确记忆相关数据是解题关键．
2．B
【分析】根据sinA：cosA=2：3，推出，则．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA：cosA=2：3，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，正确根据题意推出是解题的关键．
3．A
【分析】设AB=k,则AC=2k,BC=k,根据勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义作答．
【详解】根据题意，可设AB＝k，则AC＝2k，BCk，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．
∴tanB2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据题意，运用勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形是解题的关键．
4．D
【分析】分别作点E关于AB，AC的对称点P，Q．连接AE，AP，AQ，DP，FQ，PQ，根据两点之间线段最短以及垂线段最短，即可得出△DEF周长的最小值．
【详解】解：分别作点E关于AB，AC的对称点P，Q，连接AE，AP，AQ，DP，FQ，PQ，作AM⊥PQ于点M，如图所示：
则DE＝PD，EF＝FQ，，，
∵，
∴，
根据轴对称可知，AP＝AE＝AQ，
∴，
∵AM⊥PQ，
∴，
∴，
过点A作AH⊥BC于点H，
∴，
∵，
∴，
∴△DEF的周长为：，
∵，
∴，
即周长的最小值是，故D正确．
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．对“动点”进行两次轴对称变换是解决问题的难点．
5．C
【分析】利用勾股定理求出OA，可得结论．
【详解】解：∵A（﹣1，2），
∴OA＝，
由旋转的性质可知，OB＝OA＝，
∴B（﹣，0）．
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是利用勾股定理求出OA即可．
6．B
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=90°，根据三角函数的定义求出BC即可．
【详解】解：连接AC，
∵AB是⊙的直径，
∴∠ACB=90°，
∵sinB=，cosB=，tanB=，
∴AC=AB sinB，BC=AB cosB，AC=BC tanB，
观察四个选项，选项B正确，
故选；B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
7．C
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝5．根据旋转性质可得＝AC=3，=CB＝4，＝2．利用勾股定理可求出，从而求出．
【详解】解：在Rt△ABC中，
AB==5，
由旋转旋转性质可得＝AC=3，=CB＝4，
∴＝AB-=2，
∵==2，
∴．
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键．
8．C
【分析】根据勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】解：如图，
在中，，，
∴根据勾股定理得：，
∴，，，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
9．D
【分析】作BC边上的高AD，由sinB =，即可求出AD的长，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】如图，作BC边上的高AD，
∵sinB =，即，
∴，
∴AD=3，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形．正确画出图形，根据正弦值求出底边BC上的高是解题关键．
10．D
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB，再根据三角函数的意义，可求出答案．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB，
∴,
又∵CD＝3，
∴AB＝6，
，
∴＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提．
11．1
【分析】根据的余弦进行计算即可．
【详解】解：Rt△ABC中，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查解直角三角形．熟练掌握特殊角得三角函数值是解题的关键．
12．
【分析】如图，连接正六边形对角顶点交于O点，将正六边形分成6个全等的等边三角形，过O点作AB边垂线于H点，计算出三角形AOB的面积，乘以6即可求出答案．
【详解】解：如图，连接正六边形对角顶点交于O点，过O点作AB边垂线于H点，
易知为等边三角形，，，
，
这个正六边形底面的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形面积计算、利用锐角三角函数解直角三角形等知识点，通过作图将正六边形分成6个全等的等边三角形是解题的突破口．
13．13cm
【分析】过点P作PE⊥OB，利用等腰三角形三线合一的性质求得CE的长，从而就得OE，然后解直角三角形求解即可．
【详解】解：过点P作PE⊥OB
∵CO=5cm，OD=8cm ，
∴CD=OD-CO=3
又∵PC=PD，PE⊥OB
∴CE=
∴OE=OC+CE=
∴在Rt△POE中，
故答案为：13cm．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及解直角三角形，掌握相关性质正确推理计算是解题关键．
14．
【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．
【详解】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，
∴＝，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝＝＝10，
∴cos∠ADC＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长．
15．D
【分析】由切线的性质和HL证明，推出，根据切线长定理和，推出为等边三角形，得到，再分别解Rt和Rt，即可求出PO的长．
【详解】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴，
∴ ，
又∵，
∴（HL）
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴ ，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，切线长定理．熟练掌握切线长定理及其推论是解题的关键．
16．C
【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义求值即可得出答案．
【详解】解：如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴，
A．，故该选项不符合题意；
B．=0.8，故该选项不符合题意；
C．=0.8，故该选项符合题意；
D．=0.6，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：垂直平分于点，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
∴，即，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形，利用直角三角形的两个锐角互余求得∠C的度数是解题的关键．
18．C
【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A=∠CDB=30°，根据锐角三角函数可得AE=3，AB=4，即可求解．
【详解】解：如图，连接BC，
∵为的直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC=∠CDB=30°，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴OA=2，
∴OE=AE-OA=1．
故选：C
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
19．B
【分析】根据垂径定理得到BE=CE，再利用正弦和余弦的定义得到sinα=，cosα=，则可对A、B进行判断；利用余弦的定义得到OE=m cosα，则AE=m-m cosα，于是可对C进行判断；然后利用三角形面积公式可对D进行判断．
【详解】解：∵BC⊥OA，
∴BE=CE，∠OEC=90°，
∵sinα=，cosα=，
∴CE= m sinα，OE=m cosα，所以A选项不符合题意；
∴BC=2CE=2m sinα，所以B选项符合题意；
∴AE=OA-OE=m-m cosα，所以C选项不符合题意；
∵S△COB=2×CE OE
∴S△COB=m sinα m cosα=m2 sinα cosα，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形．
20．
【分析】根据以及勾股定理可得BC=4，AC=3，从而得到CD=3，进而得到，过点D作DE⊥AB于点E，再由，可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴可设，则，
由勾股定理得：，
∵，
∴，解得：k=1或1（舍去），
∴BC=4，AC=3，
∵，
∴AC=CD，
∴，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵，
∴可设，则，
由勾股定理得：，
∵BD=1，
∴，解得：或（舍去），
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
21．
【分析】解直角三角形分别求出BD，DC即可解决问题．
【详解】∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握基本知识．
22．##
【分析】根据等边三角形的性质可得S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．
【详解】解：过点O作OD⊥AC于点D，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC=120°，AD=CD=，
∴∠OAC=30°，
∴OA=AD÷cos30°=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，
∴S阴影=S扇形AOC==，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
23．，，，．
【分析】先在中，利用锐角三角函数的定义求出，再利用角平分线的定义求出，然后利用直角三角形的两个锐角互余求出，再利用锐角三角函数的定义求出，的长，即可解答．
【详解】解：，，，
，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，，，．
【点睛】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．(1)5；
(2)．
【分析】（1）根据，求出AB，再求出BD即可解答；
（2）在Rt△ADC中， E是AC的中点，推出∠EDC＝∠C，则＝，即可求解．
【详解】（1）解：在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴．
∵AD＝12，
∴．
在Rt△ABD中，∵，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．
（2）解：在Rt△ADC中，E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
∴＝＝．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线的性质．
25．C
【分析】先利用勾股定理求出三角形三边长，再利用勾股定理逆定理判定三角形ABC是直角三角形，最后根据三角函数定义即可求解．
【详解】解：∵小正方形的边长均为1，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴cos∠BAC=．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握两个定理．
26．A
【分析】过点作于点，过点作于点，根据三角函数以及勾股定理求出的长度，然后根据三角形面积公式得出的长度，结果可得．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形以及勾股定理是解本题的关键．
27．B
【分析】先证明△AHE≌△BCF（AAS），即可判断①，由三角形的中位线定理可证GEBF，即可判断②，由勾股定理可求BF的长，即可求sin∠ABF＝sin∠BFC，即可判断③，由相似三角形的性质可求FH，CH，AO的长，即可求出，即可判断④．
【详解】解：如图，设BF与AE的交点为O，
设AB＝4a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴CF＝DF＝2a＝CE＝BE，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，BF＝AE，∠AEB＝∠BFC，
∵∠ABF+∠CBF＝90°＝∠ABF+∠BAE，
∴∠AOB＝90°＝∠AOH，
又∵∠BAE＝∠GAE，AO＝AO，
∴△AOH≌△AOB（ASA），
∴AH＝AB，∠AOB＝∠AOH＝90°，
∴AE垂直平分BH，
∴BE＝EH，∠ABE＝∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BCF＝90°，AH＝AB＝BC，∠GAE＝∠BAE＝∠BCF，
∴△AHE≌△BCF（AAS），故①正确；
∵AH＝AB，
∴∠AHB＝∠ABH，
∵ABCD，
∴∠ABF＝∠CFB，
∴∠CFB＝∠AHB＝∠CHF，
∴FG＝GH，
∵HE＝BE＝CE，
∴∠CHE＝∠ECH，∠EHB＝∠EBH，
∵∠CHE＋∠ECH＋∠EHB＋∠EBH＝2∠CHE＋2∠EHB＝180°，
∴∠BHC＝∠CHE＋∠EHB＝ 90°，
∴∠GHC＝∠GCH，
∴CG＝GH，
∴FG＝GC＝GH＝a，
又∵CE＝BE，
∴GEBF，故②正确；
∵，
∴sin∠ABF＝sin∠BFC＝，
故③正确；
∵∠CHF＝∠BCF＝90°，∠CFH＝∠CFB，
∴△CFH∽△BFC，
∴ ，
∴，
∴，，
∴，
∵sin∠ABF＝，
∴，
∵FG＝GC，
∴，
∵，
∴，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
28．B
【分析】连接DF，利用切线的性质可得∠CFO=∠OFB=90°，从而可得OFAC，再利用平行线的性质和等腰三角形的性质求得∠FOE=∠DOF，然后在Rt△CDF中求出DF=2，∠CFD=30°，从而可得△DFO是等边三角形，最后利用梯形CDOF的面积+△OFB的面积-扇形DOE的面积进行计算即可解答．
【详解】解：连接DF，
∵BC与半⊙O相切于点F，
∴∠CFO=∠OFB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠OFB=90°，
∴OFAC，
∴∠A=∠FOE，∠ADO=∠DOF，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠FOE=∠DOF，
∵∠C=90°，CD=1，CF=，
∴tan∠CFD=，
∴∠CFD=30°，
∴DF=2CD=2，
∴∠DFO=∠CFO-∠CFD=60°，
∴△DFO是等边三角形，
∴∠DOF=60°，DF=OF=2，
∴∠DOF=∠FOB=60°，
∴∠DOE=∠DOF+∠FOB=120°，
∴BF=DFtan60°=2×=2，
∴阴影部分的面积=梯形CDOF的面积+△OFB的面积-扇形DOE的面积
=（CD+OF） CF+OF BF-
=×（1+2）×+×2×2-
=，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质、扇形的面积计算，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是采用“分割法”来计算图中阴影部分的面积．
29．C
【分析】先连接BD，利用相似三角形的判定以及切线的性质定理得出DF=FB，进而分别得出△CDE∽△CBD以及△CDF∽△CBO，再根据相似三角形的性质分别分析即可得出答案．
【详解】解：连接BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠OBD=90°，
∴∠CBD=∠ADO=∠CDE，
∵∠BCD=∠DCE，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
∴，故①正确；
∵∠ABC=90°，AB为直径，
∴BC为⊙O的切线，
∵DF为⊙O的切线，
∴FD=FB，
∴∠FBD=∠FDB，
∵∠EDF+∠FDB=∠DEB+∠EBD=90°，
∴∠EDF=∠DEB，
∴EF=FD=FB，
∵∠EAB=∠EBD，
∴△EAB∽△EBD，
同理，
∵EB=2EF，
∴，故②正确；
∵∠ODF=∠OBF=90°，
∴∠DOB+∠DFB=180°，
而∠DFC+∠DFB=180°，
∴∠DFC=∠COB，
△CDF∽△CBO，
∴，
∴，
∴DF=CD．故④正确；
∵AO=DO，
∴∠OAD=∠ADO，
假设③∠OCB=∠EAB成立，
则∠OCB=∠COB，
∴∠OCB=30°，
而，与tan30°==矛盾，
故③∠OCB=∠EAB不成立，故③不正确；
综上正确的有①②④．
故选：C．
【点睛】此题主要考查圆的切线的判定和性质，圆周角定理及相似三角形的判定和性质．，熟练根据相似三角形的性质得出对应边之间关系是解题关键．
30．
【分析】如图，连接BC，解直角三角形求出，，然后根据列式计算即可．
【详解】解：如图所示，连接BC，
由题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算、解直角三角形等知识，解此题的关键是能正确运用扇形面积公式进行计算．
31．##
【分析】连接AC，以BE为直径作，先证明点G在上，连接AM，当AM于交于点G时，此时AG最短，再求得BE＝AE＝，CE＝AE＝1，则MG＝MB＝ME＝BE＝1，得到CM＝CE＋ME＝2，由勾股定理得到AM，即可得到答案．
【详解】解：连接AC，以BE为直径作，
∵BG⊥EG，
∴∠BGE＝90°，
∴点G在上，
连接AM，当AM于交于点G时，此时AG最短，如图，
∵AD＝BC，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD，
∴AE＝BE，
∵AB为的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠BAD＋∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AC＝AB＝×2＝，
∴BE＝AE＝，CE＝AE＝1，
∵MG＝MB＝ME＝BE＝1，
∴CM＝CE＋ME＝2，
∴AM＝，
∴AG＝AM－MG＝，
即AG的最小值为，
故答案为：
【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、解直角三角形等知识，作辅助圆是解题的关键．
32．
【分析】过点作于，连接，，利用圆周角定理得到，利用和圆周角定理得到，则为等腰直角三角形，从而可计算出，判断为等腰直角三角形得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可．
【详解】解：如图，过点作于，连接，，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角．也考查了等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理．理解和掌握圆周角定理是解题的关键．
33．##
【分析】根据矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证明△ABO是等边三角形，解直角三角形求出AB、AD即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=BO=OD，∠BAD=90°，
∵AE垂直平分BO，
∴AO=AB，∠AEB=90°，
∴AO=AB=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
在Rt△ABE中，AE，
∴，
在Rt△ABD中，AD=AB·tan60°=，
∴矩形ABCD的周长为2（AB+AD）=，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、线段垂直平分线 的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握矩形的性质和线段垂直平分线的性质，证得△ABO是等边三角形是解答的关键．
34．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接OD，根据垂直定义可得∠AEO＝90°，从而可得∠OAD＋∠AOF＝90°，再根据等腰三角形的性质，可得∠OAD＝∠ODA，从而可得∠ADC＋∠ODA＝90°，进而可得∠ODC＝90°，即可得证；
（2）在Rt中，由可得∠C＝30°，然后证明是等边三角形，解直角三角形求出AD＝2，可得OD＝2，再利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
∵OF⊥AD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠OAD＋∠AOF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠ADC＝∠AOF，
∴∠ADC＋∠ODA＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt中，，
∴∠C＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OA＝OD，
∴是等边三角形，
∴∠OAD＝60°，
∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
在Rt中，AD＝，
∴OD＝2，
∴的长为：．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
35．(1)见解析
(2)见解析
(3)BF=．
【分析】（1）先得出OD是△ABC的中位线，进而得出ODAC，最后根据切线的判定定理得出结论；
（2）根据垂线的作法即可过点B作BF⊥DE，垂足为点F；
（3）过点O作OM⊥AD于点M，先根据勾股定理得出OM的长，再根据三角形的中位线定理得出BD=6，最后根据解直角三角形得出结果．
【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴ODAC，
∴∠AED+∠ODE=180°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠ODE=90°，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：如图所示，BF即为所求．
；
（3）解：如图，
过点O作OM⊥AD于点M，
∵OA=OD，
∴AM=DM=AD=4，
在Rt△DOM中，OD=5，
OM==3，
∵OA=OB，AM=DM，
∴BD=2OM=6，
∵OD⊥DE，DE⊥AC，
∴∠ODA+∠ODB=∠BDF+∠ODB=90°，
∴∠ODA=∠BDF，
在Rt△DOM中，
，
∴BF=6×=．
【点睛】本题考查了切线的判定，作图－复杂作图，平行线的性质，勾股定理及解直角三角形，解决本题的关键是正确作出辅助线．
36．(1)见解析
(2)8
【分析】（1）先根据BDAC，得到∠D=∠OAC=75°，△BOD∽△COA，进而推出∠ABD=∠D，，则；
（2）如图所示，过点B作交AC于E，先证明△BOE∽△DOA，推出，再利用三角形内角和定理求出∠BAC=30°，然后解直角三角形ABE即可．
【详解】（1）解：∵BDAC，
∴∠D=∠OAC=75°，△BOD∽△COA，
∴∠ABD=180°-∠D-∠BAD=75°，，
∴∠ABD=∠D，，
∴AB=AD，，
∴；
（2）解：如图所示，过点B作交AC于E，
∴，△BOE∽△DOA，
∴，
∴，
∴，
∵∠BAC=30°，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
37．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)6.5
【分析】（1）利用等腰三角形底边上的中线也是底边上的高，得到OC⊥AB，证明AB是OO的切线；
（2）根据题意证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质，得到线段BC，BD和BE的数量关系；
（3）根据△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，列出方程求OA的长．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是的半径，
∴AB是的切线；
（2）解：，理由如下：
∵ED是直径，
∴∠ECD=90°．
∴∠E+∠EDC=90°，
∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E，
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵△BCD∽△BEC，
∴，
设BD=2x，则BC=3x，
∵，
∴，
解得：x=2或0（舍去），
∴BD=2x=4，
∵的直径为5，
∴OD=2.5，
∴OA=OB=BD+OD=6.5．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识点有：等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、解一元二次方程等，综合性较强．
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