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第18讲 用锐角三角函数解决问题
第7章 锐角三角函数
7．6用锐角三角函数解决问题
课程标准 课标解读
1．通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系．2．了解测量中坡度、坡角的概念． 3．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题． 比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，提高把实际问题转化为数学问题的能力．
知识点01 坡度的概念，坡度与坡角的关系
如图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作
坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角．从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．
【微点拨】在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．
1．已知，斜坡的坡度i=1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（ ）
A．米 B．20米 C．米 D．米
2．如图，一斜坡上栽树，相邻在坡面上的距离m，水平距离为12m，则该斜坡坡度为（ ）
A．5∶12 B．12∶13 C．12∶5 D．
知识点02 仰角、俯角的定义
如图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．图中的∠β就是俯角，∠α就是仰角．
3．如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成α=60°角时，光线刚好不能直接射人室内，则m的值是（ ）
A．m=+0.8 B．m=+0.2 C．m=-0.2 D．m=-0.8
4．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A． B． C． D．
考法 方位角问题
5．如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处．然后右转40°再航行到B处，在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（ ）
A．北偏东20° B．北偏东30° C．北偏东35° D．北偏东40°
题组A 基础过关练
6．如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．m B．m C．8m D．4m
7．如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5米 B．米 C．米 D．米
9．如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( )
A． B． C． D．
11．如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，若在AC上取一点B，使∠ABD＝145°，BD＝500米，∠D＝55°．要使A、C、E成一条直线，开挖点E与点D的距离是（ ）米．
A．500sin55° B．500cos55° C．500tan55° D．500cos35°
12．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为 ．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37° ≈0.75）
13．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 m．
14．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离BC为4米，，则梯子的长是 米．
15．某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB的高．（精确到1米，参考数据：）
题组B 能力提升练
16．如图，在一艘小船A上测得海岸上高为的灯塔的顶部处的仰角是，则船离灯塔的水平距离等于（ ）
A． B． C． D．
17．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为海里．观测站B到AC的距离BP是（ ）
A． B．1 C．2 D．
18．河堤横断面如图所示，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比为1∶，则AC的长是（ ）
A．5米 B．10米 C．15米 D．10米
19．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点之间的距离为35米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．35sin米 B．米 C．35cos米 D．米
20．如图，武汉起义门城楼BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆AB的高度约为 m．（结果保留小点后一位，参考数据：，，，≈1.41）．
21．如图，小明利用一个锐角是的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离为，为（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是 ．
22．北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为50m，坡AB的坡比为3：4，则铅直高度AH为 m．
23．如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°方向以34海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿北偏西45°方向出发，2小时后两船在P处相遇，则乙货船每小时航行 海里（结果保留根号）．
24．如图，从气球A上测得正前方的河流两岸B、C的俯角分别为60°和37°，此时气球的高是60m，求河流的宽度BC．（精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
25．小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，小明的爸爸想把囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户改造成了营业窗口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，如图2，AB表示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为0．5米．小明为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗的天气，正午12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据（tan60°=≈1．73）
(1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太阳照射到室内区域面积为___________．（结果保留根号）
(2)正午12点时，太阳刚好没有射入室内，求此时CD的长．（结果保留根号）
题组C 培优拔尖练
26．如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为．已知BC=90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i=5：12，求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程（　　）米.（结果精确到0.1米）（测倾器的高度忽略不计，参考数据：，）
A． B． C． D．
27．如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点A的高AE＝a米，水平赛道BC＝b米，赛道AB，CD的坡角均为θ，则点D与点A的水平距离DE为( )
A．米 B．( b)米 C．(a-b)sinθ米 D．(a﹣b)cosθ米
28．如图，已知楼高AB为50m，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD为50m，塔高DC为m，下列结论中，正确的是（　　）
A．由楼顶望塔顶仰角为60°
B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30°
D．由楼顶望塔基俯角为30°
29．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度为( )
（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
A．30.4 B．36.4 C．39.4 D．45.4
30．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则风车叶片转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
31．东太湖风景区美丽怡人，如意桥似浮在太湖之上富有灵动起飞的光环．小亮在如意桥上看到一艘游艇迎面驶来，他在高出水面的A处测得在C处的游艇俯角为；他登高到正上方的B处测得驶至D处的游艇俯角为，则两次观测期间游艇前进了 米．（结果精确到，参考数据：）
32．如图1，是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．如图2，是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC＝∠DEF＝28°，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．
（1）闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离为 ．
（参考数据：，，）；
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的1.5倍，120人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约2分钟，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为 人．
33．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为320cm，AB坡度i＝1：，BE＝CA＝60cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢EF的长度是 cm.（结果保留根号）
34．如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得，求的长度．(结果精确到)（参考数据：）
35．小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向， C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得 C在北偏东60°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求两颗银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．
36．某项目学习小组用测倾仪、皮尺测量小山的高度，他们设计了如下方案（如图）：①在点A处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角的度数；②在点A与小山之间的B处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角的度数（点A，B与N在同一水平直线上）；③量出测点A，B之间的距离．已知测倾仪的高度米，为减小误差，他们按方案测量了两次，测量数据如下表（不完整）：
测量项目 第一次 第二次 平均值
的度数 （度）
的度数
A，B之间的距离 150.2米 149.8米 150米
(1)写出的度数的平均值．
(2)根据表中的平均值，求小山的高度．（参考数据：）
(3)该小组没有利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，你认为原因可能是什么？（写出一条即可）
37．如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：，，．
(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？
(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？
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参考答案：
1．A
【分析】根据坡度意思可知，设米，则米，由勾股定理可得：，即，求出h即可．
【详解】解：如图：
由题意可知：，米，
设米，则米，
由勾股定理可得：，即，
解得：米，米（舍去）．
故选：A
【点睛】本题考查勾股定理，坡度坡比问题，解题的关键是理解坡度的意思，找出BC，AC之间的关系．
2．A
【分析】如图所示：过点A作AC平行于地面的直线，过点B作BC⊥AC于点C， 再利用勾股定理得出BC的长，进而利用坡度的定义得出答案．
【详解】解：如图所示：过点A作AC平行于地面的直线，过点B作BC⊥AC于点C，
由题意可得：AC=12m，AB=13m，
故（m），
则该斜坡坡度i为：BC：AC=5：12．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用以及坡角问题，正确把握坡度的定义是解题关键．
3．C
【分析】根据三角函数求出BC的长度，BC-AC即可得出 m的值．
【详解】CD=1米，CDB=a=60°，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练应用三角函数解直角三角形是解题的关键．
4．A
【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解．
【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．
5．C
【分析】连接BC，由锐角三角函数定义得AC=PA= km，则AC=AB，再由等腰三角形的性质得∠ACB=∠ABC=35°，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接BC，
由题意得：∠ACP=∠ACD=90°，∠PAC=30°，PA=10km，∠BAE=40°，AB=km，
∴∠BAC=180°—∠PAC—∠BAE=180°—30°—40°=110°，
∵cos∠PAC==cos30°= ，
∴AC=PA=×10= km，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=×（180°—∠BAC）=×（180°—110°）=35°，
即B处在C处的北偏东35°方向，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，由锐角三角函数定义求出AC的长是解题的关键．
6．D
【分析】如图，过点C作CE⊥BC，解直角三角形即可．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥BC
∵∠ABC=150°
∴∠CBE=30°
∴
故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用：正确的添加辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
7．B
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵O为AB的中点，AB=1.6，
∴OB=AB=0.8，
在Rt△OCB中，sin∠OBC=，
∴OC=OB sin∠OBC=0.8sin20°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．B
【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可．
【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E，
∵BE平行于地面，
∴∠ABE＝∠α，
∵BE＝5米，
∴AB＝＝．
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形．
9．C
【分析】结合图形利用正切函数求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
∴，
故选C．
【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键．
10．D
【分析】根据俯角的定义可直接得出结果．
【详解】解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，
∴∠DAC为对应的俯角，
故选D．
【点睛】题目主要考查对俯角定义的理解，深刻理解俯角的定义是解题关键．
11．B
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠E=90°，再根据锐角三角函数值求出答案．
【详解】∵∠ABD=145°，∠D=55°，
∴∠AED=145°-55°=90°．
在Rt△BDE中，BD=500米，得，
即DE=500cos55°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，确定直角三角形是解题的关键．
12．10米##10m
【分析】由锐角三角函数可以求得AB的长即可．
【详解】解：根据题意得：∠BAC=37°，∠ACB=90°，
∵，
∴，
解得：AB≈10米，
即自动扶梯AB的长约为10米．
故答案为：10米
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
13．50
【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：根据题意得：∠ACB=90°，sinα＝，
∴，
∵BC＝30m，
∴，
解得：AB=50m，
即迎水坡面AB的长度为50m．
故答案为：50
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
14．##
【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数的余弦值即可解答．
【详解】解：在Rt△ABC中，BC＝4米，，
∴AB＝＝＝（米），
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
15．20米
【分析】延长EF交AB于点G，设AB为x，利用三角函数解直角三角形用x表示出EG、AC，根据CD=EG﹣AC列出方程求出x即可．
【详解】延长EF交AB于点G，如图，
设AB=x米，则BG=AB﹣2=（x﹣2）米，
在Rt△BGE 中，EG=（AB﹣2）÷tan∠BEG= ，
在Rt△BAC 中CA=AB÷tan∠ACB=，
则CD=EG﹣AC= ，
解得：．
答：大树AB的高约为20米．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的概念是解题的关键．
16．A
【分析】根据正切的定义即可得出，代入数据即可求出的长．
【详解】根据题意可知，．
∵，
∴，
∴(m)．
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．读懂题意，利用数形结合的思想是解题关键．
17．B
【分析】证△BCP是等腰直角三角形，得BP=PC，再由含30°角的直角三角形的性质得PA=BP，然后由PA+PC=AC，得BP+BP=+1，求解即可．
【详解】解：由题意得：∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，
∴PA=BP，
∵PA+PC=AC，
∴BP+BP=+1，
解得：BP=1（海里），
故选：B．
【点睛】本题考查了的解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
18．D
【分析】根据坡比的概念列式计算即可得到答案．
【详解】解： ∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴BC：AC＝1：，即10：AC＝1：，
∴AC＝米，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，掌握坡比的概念是解题的关键．
19．A
【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来．
【详解】在Rt△ABC中，
,
即，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，根据解三角函数的定义，列出方程是解题关键．
20．
【分析】先在中，解直角三角形可得，再在中，解直角三角形可得的长，然后根据即可得．
【详解】解：由题意，在中，，
在中，，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
21．
【分析】利用三角函数求出DE，然后根据CD+DE=CE即可得出旗杆的高度．
【详解】解：由题知，AD=BC=15m， ，
，
∴CE=DE+CD=，
即旗杆的高度为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
22．30
【分析】根据坡比的意义设AH＝3x，可知BH＝4x，在Rt△ABH中，利用勾股定理构建方程求出x即可得到AH．
【详解】解：∵坡AB的坡比为3：4，
∴设AH＝3x，则BH＝4x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：，
∴，
∴x＝10（负值已舍去），
∴AH＝30m，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了坡比的概念，勾股定理的应用，坡比即坡面的垂直高度和水平宽度的比．
23．
【分析】先作于点，根据甲货船从港沿北偏东的方向以34海里/小时的速度出发，求出和，从而得出的值，根据乙货船从港沿北偏西45°方向出发，求出，得出的值，即可求出答案．
【详解】解：作于点，
∵甲货船从港沿北偏东的方向以34海里/小时的速度出发，
∴，（海里），
∴（海里）．
∵乙货船从B港沿北偏西45°方向出发，
∴，
∴（海里），
∴乙货船每小时航行：（海里），
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．
24．45.4m
【分析】过作于，解两个直角三角形得到和的长度，求出差可得答案．
【详解】解：过作于，如图：
则，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
答：河流的宽度约为．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．(1)60°，
(2)
【分析】（1）设正午 12 点时， 太阳光线与地面的夹角为 ，由题意可知，没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为：
（2）根据，求得，，根据，即可求解．
【详解】（1）设正午 12 点时， 太阳光线与地面的夹角为 ，由题意可知∶
，
，
正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为
由题意可知：没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为∶
没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为 ，
故答案为： ；
（2）由题意可知∶
，
，
，
，
，
此时 的长为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
26．D
【分析】首先过点P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，由题意可知i=PH：CH=5：12，然后设PH=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，，BC=90米，则可得，利用正切函数的知识可求AB，在Rt△AEP中，，利用正切函数可得关于x的方程，从而得出PH，在Rt△PHC中，利用勾股定理可求CP的长度，进一步可求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程．
【详解】解：如图：过点P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，
设PH=BE=5x米，CH=12x米，
在Rt△ABC中，
，BC=90米，则，
即，
∴AB=180(米)，
在Rt△AEP中，，AE=AB-BE=180-5x，BH=EP=BC+CH=90+12x，
∴，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴(米)，
在Rt△PHC中，(米)，
故此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程是：(米)，
故选：D．
【点睛】本题考查了仰角的定义，以及解直角三角形的实际应用问题，解题的关键是要能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
27．B
【分析】如图，过B作，过C作，解直角三角形，根据进行计算即可．
【详解】解：过B作，过C作
由题意得：，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加合适的辅助线构造直角三角形．
28．C
【分析】求CE，进而求得∠CAE的正切值即可求得∠CAE的度数；同理可求得∠EAD的正切值，得到∠EAD的度数．
【详解】解：过点A作水平线AE，则∠EAD为楼顶望塔基俯角，∠CAE为由楼顶望塔顶仰角．
∵AB＝50m
∴DE＝50m
∴CE＝CD＝﹣50＝(m)
∴tan∠CAE＝CE：AE＝CE：BD＝．
∴∠CAE＝30°．
故C正确，A错误；
∵tan∠EAD＝DE：AE＝50：BD＝1，
∴∠EAD＝45°．
故B、D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义，特殊角的三角函数值是解题的关键．
29．C
【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=（6+20）（米），即可得出大楼AB的高度．
【详解】解：如图，延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，
则GH＝DE＝15米，EG＝DH，
∵梯坎坡度i＝1：，
∴BH：CH＝1：，
设BH＝x米，则CH＝x米，
在Rt△BCH中，BC＝12米，
由勾股定理得：x2+（x）2＝122，
解得：x＝6，
∴BH＝6米，CH＝6米，
∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（6+20）（米），
∵∠α＝45°，
∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG＝EG＝（6+20）（米），
∴AB＝AG+BG＝6+20+9≈39.4（米）；
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．
30．（10+）
【分析】作平行线OP，根据平行线分线段成比例定理可知PC=PD，由EF与影子FG的比为2：3，可得OM的长，同法由等角的正弦可得OB的长，从而得结论
【详解】解：如图，过点O作，交MG于P，过P作PN⊥BD于N，则OB＝PN，
由题意可得，
∴，
∴＝，∠EGF＝∠OPM，
∵OA＝OB，
∴CP＝PD＝CD＝6.5，
∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15，
tan∠EGF＝tan∠OPM，
∴＝＝，
∴OM＝×15＝10；
设EF=2x，则FG=3x，
∴EG=x，
∵，
∴∠EGF＝∠NDP，
∴sin∠EGF＝sin∠NDP，即＝，
∴OB＝PN＝，
以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．
故答案为：（10+）．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
31．36
【分析】设BA与CD的延长线交于点O，由题意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=30m，AB=12m，在Rt△BOD中，解直角三角形求得OD的长度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的长度即可．
【详解】解：设BA与CD的延长线交于点O，
根据题意易得：∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=30m，AB=12m，
在Rt△BOD中，，
解得：，
在Rt△AOC中，，
，
答：两次观测期间龙舟前进了米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，要理解俯角概念，并且熟练掌握解直角三角形的方法．
32． 66.4cm 30
【分析】（1）连接AD，并向两方延长，易得，，所以MN的长度就是BC与EF之间的距离，由两圆弧翼成轴对称可得，，解直角三角形即可得到结论；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：（1）连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于M，N，由点A，D在同一条水平线上，BC，EF 均垂直于地面可知，，，所以MN的长度就是BC与EF之间的距离，
同时，由两圆弧翼成轴对称可得，，
在中，，，AB=60cm，
∵，
∴（cm），
∴（cm），
∴BC与EF之间的距离为66.4cm．
故答案为：66.4cm；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，
根据题意得
，
解得： ，
经检验，是原方程的根，
当时，．
故答案为： 30．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
33．
【分析】延长BA交直线DF于点G，过点A作AH⊥GF于H，根据坡度的概念求出∠G＝30°，根据直角三角形的性质求出AG，进而求出EG，根据正切的定义计算，得到答案．
【详解】解：延长BA交直线DF于点G，过点A作AH⊥GF于H，
由题意可知，CD⊥GF，AH＝50cm，
∵AB坡度i＝1：，
∴＝＝，
∴tanG＝＝，
∴∠G＝30°，
∴AG＝2AH＝100cm，
∴CG＝AC+AG＝160cm，
∴EG＝AB+AG﹣BE＝320+100﹣60＝360（cm），
在Rt△GEF中，tanG＝，
则＝，
解得：EF＝120（cm），
故答案为：120.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形．
34．
【分析】过点作交于点．构造直角三角形，在中，计算出，在中， 计算出.
【详解】解：如图所示：过点作交于点．
在中，
又∵在中，
答：的长度为
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
35．（1）30°；（2）（）米
【分析】（1）作交于点，根据且，可得，利用外角的性质根据可求出结果
（2）过点B作BG⊥AD于G，则有，可得，，，可求得，再根据可得结果．
【详解】解：（1）如图示，作交于点，
∵且
∴
∵且
∴
（2）过点B作BG⊥AD于G．
∵
∴
在中，，
在中，
∵
∴
∴
答：两颗银杏树B、C之间的距离为 米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，外角的性质，能根据题意理清图形中各角的关系是解题的关键．
36．(1)22°
(2)101.5米
(3)小山的影子长度无法测量
【分析】（1）根据平均数公式，用两次测量得的的度数和除以2即可求解；
（2）在Rt△MDE中，利用仰角∠MDE的45°，即可求得ME=DE，在Rt△MCE中，利用仰角∠MCE的正切值，可得ME=CEtan∠MCE，进而由CE=CD+DE=CD+ME，易知四边形CANE、四边形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，代入即可求出ME的值，然后由MN=ME+NE求解；
（3）可根据小山的影子长度无法测量解答即可．
【详解】（1）解∶ 的度数的平均值=，
答：的度数的平均值为22°；
（2）解：在Rt△MDE中，
∵∠MDE=45°，
∴∠DME=∠MDE=45°，
∴ME=DE，
在Rt△MCE中，
∵，
∴ME=CEtan∠MCE，
由题意知四边形CANE、四边形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，
∴，
∴ME=100(米)，
∴MN=ME+NE=100+1.5=101.5(米)，
答：小山的高度约为101.5米．
（3）答：因为利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，由于小山的内部无法到达，则小山的影子长度无法测量，所以没有用物体在阳光下的影子来测量小山的高度的原因是小山的影子长度无法测量．
【点睛】本题考查仰角，要求学生能借助仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
37．(1)B处离岛C有10海里；有触礁危险，证明见解析
(2)没有触礁危险，证明见解析
【分析】（1）过C作于O，通过证明，即可求出CB的长；判断C到AB的距离即CO是否大于9，如果大于则无触礁危险，反之则有；
（2）过C作交BF于D，交BO于E，求出CD的长度即可作出判断．
【详解】（1）过C作于O，CO为渔船向东航行到C的最短距离，
∵在A处测得岛C在北偏东的方向，
∴，
又∵B处测得岛C在北偏东方向，
∴，，
∴，
∴（海里），
∵，，
∴，
∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；
（2）过C作交BF于D，交BO于E，
，
∴没有触礁危险．
【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
答案第1页，共2页
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