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第22讲 抽签方法合理吗
第8章 统计和概率的简单应用
8.4抽签方法合理吗
课程标准 课标解读
1．通过实例研究分析，澄清日常生活中的一些错误认识．2．通过具体情境了解一些游戏活动的公平性． 3．通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的问题，体会概率是描述随机现象的数学模型． 1、在具体情境中，进一步理解概率的意义，能运用概率知识解释游戏规则的公平合理性．2、经历探索运用抽签、转盘等方法决定某件事情是否公平合理的活动过程． 3、在探索游戏是否公平合理和设计公平合理的游戏规则的过程中，进一步感受数学是解实际问题的重要工具．
知识点 普查和抽样调查
1．普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查．
【微点拨】
① 普查又叫“全面调查”，它是指在统计的过程中，为了某种特定的目的而对所有考察的对象一一做出的调查．
②一般来说，普查能够得到全体被调查对象的全面、准确的信息，但有时总体中的个体的数目非常大，普查的工作量太大；有时受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；有时调查具有破坏性(例如：测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的杀伤半径等)，不能进行普查．
2．抽样调查
从总体中抽取样本进行调查，然后根据样本来估计总体的相应特性，这种调查方式称为抽样调查．为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性．
【微点拨】
①抽样调查的优点是调查范围小，节省时间、人力、物力和财力，但调查的结果往往不如普查得到的结果准确．
②抽样调查的注意点：1．随机取样；2．取样具有代表性；3．若样本由具有明显不同特征的部分组成，应按比例从各部分抽样．
【即学即练1】
1．某初中七年级进行了一次数学测验，参加人数共540人，为了了解这次数学测验成绩，下列抽样方式较为合理的是（ ）
A．抽取前100名同学的数学成绩 B．抽取后100名同学的数学成绩
C．抽取其中两班同学的数学成绩 D．抽取各班学号为6的倍数的同学的数学成绩
【即学即练2】
2．众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
考法 游戏的公平性
3．有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4四个数字，另一个信封内的四张卡片分别写有5，6，7，8四个数字．甲乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜； 否则乙获胜．
（1）请你通过列举法求甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏公平吗？如果不公平，那么得到的两数之积大于多少时才能公平？
题组A 基础过关练
4．如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A、B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜.如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止.
（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由.
5．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．
（1）先后两次抽得的数字分别记为x和y，画出树形图或列表求|x﹣y|≥1的概率．
（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜．B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案胜率更高？
6．小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张．
（1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；
（2）计算小明和小亮抽得的两张卡片上的数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜，请判断游戏是否公平？并说明理由．
题组B 能力提升练
7．某校七年级共10个班，为了了解本年级学生一周中收看电视节目所用的时间，小亮利用放学时在校门口调查了他认识的60名七年级同学．
（1）小亮的调查是抽样调查吗？
（2）如果是抽样调查，指出调查的总体、个体和样本容量．
（3）根据他调查的结果，能反映七年级同学平均一周收看电视的时间吗？为什么？
8．一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3. 小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球， 记下标号. 若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由.
9．甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次(若压线，重新转)．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．

（1）请用画树状图或列表的方法，写出所有可能出现的结果；
（2）试用概率说明游戏是否公平．
题组C 培优拔尖练
10．我国在2020年11月1日启动第七次人口普查．为了调查学生对人口普查知识的了解程度，湖州市某学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题．
（1）本次抽样调查的人数是______人；
（2）若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”人口普查知识的人数约为多少？
（3）根据调查结果，学校准备开展关于人口普查知识竞赛，某班要从“非常了解”的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其它差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
11．小明和小华想利用抽取扑克牌游戏决定谁去参加市里举办的“创建全国文明城市，争做文明学生”的演讲比赛，游戏规则是：将4张除了数字2、3、4、5不同外，其余均相同的扑克牌，数字朝下随机平铺于桌面，一人先从中随机取出1张，另一人再从剩下的3张扑克牌中随机取出一张，若取出的2张扑克牌上数字和为偶数，则小明去参赛，否则小华去参赛．
（1）用列表法或画树状图法，求小明参赛的概率；
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
12．如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P（x，y）；记S=x+y．
（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；
（2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S<6时甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？对谁有利？
13．某市第三中学组织学生参加生命安全知识网络测试，小明对九年级2班全体学生的测试成绩进行统计，并绘制了如图不完整的频数分布表和扇形统计图．
组别 分数段（） 频数
A 2
B 5
C 17
D
E
根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求九年级2班学生的人数；
（2）写出频数分布表中，的值；
（3）已知该市共有80000名中学生参加这次安全知识测试，若规定80分以上（含80分）为优秀，估计该市本次测试成绩达到优秀的人数；
（4）小明通过该市教育网站搜索发现，全市参加本次测试的中学生中，成绩达到优秀有56320人．请你用所学统计知识简要说明实际优秀人数与估计人数出现较大偏差的原因．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．D
【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
【详解】解：参加人数共540人，为了了解这次数学测验成绩，下列所抽取的样本中较为合理的是抽取各班学号为6号的倍数的同学的数学成绩，
故选：D．
【点睛】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
2．B
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【详解】解：根据题意画出树状图：
∴共有9种等可能的结果，小明获胜的有3种情况，
∴小明获胜的概率
P==，
故选: B.
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
3．（1）；（2）不公平，得到的积大于15能保证公平
【分析】（1）通过列表法求解即可；
（2）分别求出与的值，根据、是否相等判断公平性，然后根据表格确定出公平时满足的条件即可．
【详解】解：（1）利用列表法得出所有可能的结果，如下表：
由上表可知，该游戏所有可能的结果共16种，
其中两卡片上的数字之积大于20的有5种，
∴甲获胜的概率为=；
（2）∵甲获胜的概率=，乙获胜的概率=，≠，
∴这个游戏对双方不公平；
∵从表格中可知，积大于15的共计有8种情况，
∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率，=，
∴将规则改为“如果得到的积大于15，则甲获胜； 否则乙获胜”能保证公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平；用到的知识点：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．（1）；（2）公平．理由见解析.
【详解】试题分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出甲乙获胜的概率，比较即可．
试题解析：（1）列表得：
由列表法可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为1的有3种结果．
∴P（乙获胜）=；
（2）公平．
∵P（乙获胜）=，P（甲获胜）=．∴P（乙获胜）= P（甲获胜），∴游戏公平．
考点：1．游戏公平性；2．列表法与树状图法．
5．（1）；（2）甲选择A方案胜率更高，理由见解析
【分析】(1)列出表格,再根据概率公式计算即可.
(2)根据题意分别列出两种方案的所有情况,算出概率比较即可.
【详解】（1）列表如下：
红桃3 红桃4 黑桃5
红桃3 （红桃3，红桃3） （红桃4，红桃3） （黑桃5，红桃3）
红桃4 （红桃3，红桃4） （红桃4，红桃4） （黑桃5，红桃4）
黑桃5 （红桃3，黑桃5） （红桃4，黑桃5） （黑桃5，黑桃5）
所有等可能的情况有9种，其中|x﹣y|≥1的情况有6种，
则P＝＝；
（2）A方案：两次抽得相同花色的情况有5种，不同花色的情况有4种，
则P（甲获胜）＝，P（乙获胜）＝；
B方案：两次抽得数字和为奇数的情况有4种，偶数的情况有5种，
则P（甲获胜）＝，P（乙获胜）＝，
则甲选择A方案胜率更高．
【点睛】本题考查概率的应用,关键在于掌握列表或树形图的方法.
6．（1）（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）；（2）游戏不公平，理由见解析
【分析】（1）根据题意可以写出所有的可能性；
（2）根据题意可以分别求得他们获胜的概率．
【详解】解：（1）由题意可得，
出现的可能性是：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）；
（2）游戏不公平，
理由：出现和为奇数的可能性是：（1，2）、（2，1）、（2，3）、（3，2），
∴小明获胜的概率是 ，则小亮获胜的概率是，
故该游戏不公平．
故答案为（1）（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）；（2）游戏不公平，理由见解析．
【点睛】本题考查游戏公平性、列表法与树状图法，解答本题的关键明确题意，写出所有的可能性．
7．（1）是抽样调查；（2）调查的总体是该校七年级共10个班学生一周中收看电视节目所用的时间，个体是每个同学一周中收看电视节目所用的时间，样本容量是60；（3）这个调查的结果不能反映七年级同学平均一周收看电视的时间，因为抽样太片面
【分析】（1）根据调查的人数与调查的总体进行比较即可得出答案；
（2）总体是指调查对象的全体，个体是总体中的每一个调查的对象，样本容量则是指样本中个体的数量，据此进一步得出答案即可；
（3）根据题意，结合调查的情况进一步分析判断即可.
【详解】（1）小亮的调查是抽样调查；
（2）调查的总体是该校七年级共10个班学生一周中收看电视节目所用的时间；
个体是每个同学一周中收看电视节目所用的时间；
样本容量是60；
（3）这个调查的结果不能反映七年级同学平均一周收看电视的时间，因为抽样太片面.
【点睛】本题主要考查了抽样调查的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
8．（1）；（2）不公平，理由见解析
【分析】（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；使用树状图分析时，一定要做到不重不漏．
（2）根据题意可以分别求得他们获胜的概率，即可进行判断．
【详解】解：方法一：（1）由题意画出树状图
所有可能情况如下：
；
（2）由（1）可得：标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，
，
，
因为，所以不公平；
方法二：（1）由题意列表
小林 小华 1 2 3
1
2
3
所有可能情况如下：
；
（2）由（1）可得：标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，
，
，
因为，所以不公平．
【点睛】本题主要考查了游戏公平性的判断、用画树状图或列表的方法解决概率问题；判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
9．（1）(红，红)，(红，黄)，(红，绿)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，绿)，(绿，红)，(绿，黄)，(绿，绿)共9种情况；（2）不公平．
【分析】（1）采用画树状图的方法，列举出所有可能的情况；
（2）分别求出甲乙获胜的概率，然后比较判定游戏是否公平.
【详解】（1）树状图，如图所示：

(红，红)，(红，黄)，(红，绿)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，绿)，(绿，红)，(绿，黄)，(绿，绿) 共9种情况；
（2）
所以游戏不公平．
【点睛】此题主要考查树状图列举的画法以及概率的应用，熟练掌握，即可解题.
10．（1）400；（2）300人；（3）不公平，理由见解析
【分析】（1）把条形统计图给出的数据相加即可得出答案；
（2）用总人数乘以“比较了解”所占的百分比即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个球颜色相同与不同的情况，再利用概率公式求得其概率，比较概率的大小，即可知这个游戏规则是否公平．
【详解】解：（1）本次抽样调查的人数是：20+60+180+140=400（人），
故答案为：400；
（2）这些学生中“比较了解”人口普查知识的人数有：2000×=300（人）；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两个球颜色相同的有4种情况，两个球颜色不同的有8种情况，
∴P（颜色相同）=，P（颜色不同）=，
∴游戏规则不公平．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图．注意概率相等，则公平，否则不公平．
11．（1）；（2）不公平，理由见解析
【分析】（1）先列出表格，展示出所有等可能的结果，数出符合条件的结果数，利用概率公式，即可求解；
（2）分别求出小明和小华去参赛的概率，进而即可求解．
【详解】解：（1）列表如下
第一次 第二次 2 3 4 5
2
3
4
5
数字之和为：5,6,7,5,7,8,6,7,9,7,8,9，共12种，其中偶数有4种．
（小明参赛）；
（2）游戏不公平，理由：
（小明参赛），
（小华参赛），
，
∴这个游戏不公平．
【点睛】本题主要考查概率和游戏的公平性，掌握列树状图和列表格展示等可能的结果，是解题的关键．
12．（1）见解析；（2）不公平，对乙有利
【分析】（1）根据题意列出树状图，并根据树状图写出P点的坐标 ；
（2）通过树状图可求出各种可能的的结果，s=x+y＜6的结果有4种，s＞6的有8种，总共有12种，因此可求出甲与乙的概率分别为、，可判断出结论.
【详解】解：（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标，如图：
（2）这个游戏不公平，其中S＜6的可能性为，意味着甲获胜的可能性为，同样乙获胜的可能性为，对乙有利．
考点：概率知识
13．（1）九年级2班学生的人数为50人；（2）a=12，b=14；（3）41600人；（4）见解析．
【分析】（1）用C组的频数除以扇形统计图中C组人数所占百分比即得结果；
（2）用总人数乘以扇形统计图中D组人数所占百分比即可求出a，用总人数减去其它各组的人数即可求出b；
（3）用D、E两组的频率之和乘以80000即得结果；
（4）样本人数太小，所抽取的样本不具有代表性，据此解答即可．
【详解】解：(1)17÷34%＝50(人)，
答：九年级2班学生的人数为50人．
(2)a＝24%×50＝12，b＝50－2－5－17－12＝14．
(3)14÷50＝28%，(28%＋24%)×80000＝41600(人)，
答：估计该市本次测试成绩达到优秀的人数为41600人；
(4)全市参加本次测试的中学生中，成绩达到优秀有56320人，而样本中估计该市本次测试成绩达到优秀的人数为41600人，原因是：小明是以第三中学九年级2班全体学生的测试成绩作为样本，样本人数太小，不能代表全市中学的总体情况，所以会出现较大偏差．
【点睛】本题考查了频数分布表、扇形统计图、抽样调查和利用样本估计总体等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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