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第07讲 黄金分割
第6章 图形的相似
6.2黄金分割
课程标准 课标解读
1.掌握黄金分割的概念并能确定一条线段的黄金分割点。 2.了解黄金分割的意义，并能作出线段的黄金分割点。 3.会用线段的黄金分割来解决一些实际问题。 了解黄金分割的概念，求作任意线段的黄金分割点
知识点01 黄金分割
1.定义：如图： 点C把线段AB分割成AC和CB两段，如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
【微点拨】(叫做黄金分割值).
【即学即练1】
1．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（　　）cm
A． B． C． D．
知识点02 求作一条线段的黄金分割点
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）过点B作BD⊥AB与B点，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
【即学即练2】
2．如图，乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离．
【即学即练3】
3．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设是已知线段，经过点B作，使；连接，在上截取；在上截取．点C就是线段的黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
考法01 黄金分割
【典例1】
4．如图，C为线段AB的黄金分割点（AC＜BC），且BC＝2，则AB的长为（ ）
A．2＋2 B．2﹣2 C．＋1 D．﹣3
考法02 线段的比
【典例2】
5．已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
题组A 基础过关练
6．已知三条线段的长分别为3，4，6，则下列线段中不能与它们组成比例线段的是（ ）
A．2 B．4.5 C．5 D．8
7．若，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知线段、、、是成比例线段，，，，那么的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．8
9．已知线段，点P是线段AB的黄金分割点，则线段AP的长为（ ）
A． B．－ C． D．
10．地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（　　）
A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米
11．已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是，则它的宽为 cm．（结果保留整数）
12．若2a-3b=0，则 ．
13．已知，若，则 ．
14．若点C是线段AB的黄金分割点，AB=8cm，则AC等于 ．
题组B 能力提升练
15．若，则下列各式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
17．若，则＝（ ）
A． B．2 C． D．
18．神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
19．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果AP1，那么AB＝ ．
20．比例尺是1：3000的地图上，某条街道的长度为25cm，它的实际长度约为 米．
21．（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；
（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．
题组C 培优拔尖练
22．下列说法中，不正确的是（　　）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形
C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴
D．点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），若AB＝2，则AP＝3﹣
23．如果，则下列比例式中错误的是（ 　）
A． B． C． D．
24．下列命题是真命题的有( )个
①若时，则 ②反比例函数，若，则y的值随x的值增大而减小 ③平分弦的直径垂直于弦 ④若点C为线段的黄金分割点，则 ⑤顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
A．0 B．1 C．2 D．3
25．已知线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，线段PB的长是（ ）
A． B．或 C． D．
26．我们将顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底边和腰的比值为黄金分割比）．如图，已知，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，…，依次类推则第2021个黄金三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．
27．如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走 米报幕（结果精确到0.1米）．
28．我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于 ．
29．已知点P是线段AB的黄金分割点，若，则 ．
30．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为 ．
31．作黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB．
②连接DA，在DA上截取DE=DB．
③在AB上截取AC=AE则点C为线段AB的黄金分割点．
32．（1）数学活动一
宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；
第二步，如图②，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；
第三步，如图③，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；
第四步，如图④，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC．
若，请证明矩形BNMC是黄金矩形．
（2）数学活动二
如图⑤，点C在线段AB上，且满足，即，此时，我们说点C是线段AB的黄金分割点，且通过计算可得．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图⑥，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的K点处，若，请通过计算说明G点是AD的黄金分割点．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据黄金比值是进行计算即可．
【详解】解:一本书的宽与长之比为黄金比，
这本书的长，
故选：．
【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．
2．（80﹣160）cm．
【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可．
【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝80×＝（40﹣40）cm，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝（80﹣160）cm．
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
3．见解析
【分析】设AB＝2a，则BD＝a，DE＝a，根据勾股定理计算出AD＝a，则AE＝AD DE＝（ 1）a，再利用画法得到AC＝AE＝（ 1）a，即AC＝AB，然后根据黄金分割的定义得到点C就是线段AB的黄金分割点．
【详解】解：设AB＝2a，则BD＝a，DE＝a，
在Rt△ABD中，AD＝=a，
所以AE＝AD DE＝a a＝（ 1）a，
所以AC＝AE＝（ 1）a，
即AC＝AB，
所以点C就是线段AB的黄金分割点．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
4．C
【分析】黄金分割比定理：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值为，叫黄金分割比，由此进行求解即可．
【详解】解：C为线段AB的黄金分割点，BC＝2 ，AC＜BC
∴
∴
∴
故选：C
【点睛】本题考查黄金分割定理，理解黄金分割定理的概念，熟悉比值是解题的关键．
5．C
【分析】设AB=1，AP=x，则PB=1－x，由比例中项得出AP2=PB·AB，代入解一元二次方程即可解答．
【详解】解：设AB=1，AP=x，则PB=1－x，
∵线段是和的比例中项，
∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，
∴x2+x－1=0，
解得：，（舍去），
∴PB=1－= ，
∴ ，，，，
故选：C．
【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键．
6．C
【分析】根据比例线段的定义，即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【详解】解：A、∵2×6=3×4，∴四条线段能组成比例线段，故选项不符合题意；
B、∵3×6=4×4.5，∴四条线段能组成比例线段，故选项不符合题意；
C、∵3×6≠4×5，∴四条线段不能组成比例线段，故选项符合题意；
D、∵3×8=4×6，∴四条线段能组成比例线段，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．如果有单位，注意单位要统一．
7．D
【分析】设未知数，根据比例的性质求出未知数，进而求出答案．
【详解】解：设，则，，，
，即，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是设辅助未知数来求解．
8．D
【分析】根据成比例线段的概念，得a∶ b=c∶ d ，再根据比例的基本性质，求得d的值．
【详解】∵线段a、 b、c、d成比例，
∴ a∶b=c∶d，
∴
又∵，，，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查成比例线段的概念，要理解掌握成比例线段的概念，写比例式的时候，要特别注意按照字母的顺序进行．
9．D
【分析】根据黄金分割的定义即可解答．
【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了黄金分割，应该熟记黄金分割的公式：较长线段=原线段长的倍．
10．B
【分析】设乐山到峨眉的实际距离为x cm，利用比例尺的定义得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的性质求出x，再化单位化为米即可．
【详解】解：设乐山到峨眉的实际距离为x厘米，
根据题意得3.8：x=1：1000000，
解得x=3800000，
所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．
11．
【分析】黄金比是，即宽与长的比是，且长为，根据比例的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，设宽为，
∴，解方程得，，
∵，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查线段的比例，理解和掌握黄金比的值，比例的性质和应用是解题的关键．
12．3
【分析】由已知可得，代入计算即可求解．
【详解】解：∵2a-3b=0，
∴2a=3b，即，
∴．
故答案为：3
【点睛】本题考查了比例的基本性质，比较简单．得出是解答本题的关键．
13．12
【分析】根据等比性质，可得答案．
【详解】解：，
由等比性质，得，
所以．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了等比性质，即如果，则．解题关键是掌握并运用等比性质．
14．或
【分析】根据黄金分割的含义：较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，黄金分割比例公式为，分点C靠近A点和靠近B点两种情况进行计算．
【详解】因为黄金分割比例公式为，点C是线段AB的黄金分割点，
当点C靠近A点时，，
，
则；
当点C靠近B点时，，
，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割比例公式，理解分割点有两种可能是解题关键．
15．C
【分析】根据比例的性质，设（k≠0），进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵，设（k≠0）
A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，符合题意；
D. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
16．C
【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析判断即可，成比例线段，如果两条线段的比值与另两条线段的比值相等，即，则为成比例线段．
【详解】A、∵，∴4cm，5cm，6cm，7cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
B、∵，∴3cm，4cm，5cm，8cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
C、∵，∴5cm，15cm，3cm，9cm是成比例线段，故该选项符合题意；
D、∵，∴8cm，4cm，1cm，3cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，理解成比例线段的定义是解题的关键．
17．A
【分析】根据，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．
【详解】解：，
∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知将a和c用b和d正确表示．
18．D
【分析】根据黄金分割的定义即可求解．
【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．
故选：D
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．
19．2
【分析】根据黄金分割的定义可得，进而即可求解．
【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴，
∵AP1，
∴AB=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，掌握黄金分割点与黄金比的关系是解题的关键．
20．750
【分析】设实际距离为xcm，根据题意，求得x，单位换算成米即可．
【详解】设实际距离为xcm，
根据题意，
解得x=75000cm=750（米），
故答案为：750．
【点睛】本题考查了比例尺的计算，熟练掌握比例尺的意义是解题的关键．
21．（1）；（2）
【分析】（1）由c是a，b的比例中项，可得，由此求解即可；
（2）根据黄金分割点的定义进行求解即可．
【详解】解：（1）∵a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，
∴，
∴；
（2）∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴．
【点睛】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项，正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键．
22．D
【分析】根据黄金分割，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的性质，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，故A选项正确，不符合题意；
B、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，故B正确，不符合题意；
C、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，故C选项正确，不符合题意；
D、点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），若AB＝2，则AP＝﹣1，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了黄金分割，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的性质，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
23．B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A． 由得，ab＝mn，故本选项不符合题意；
B． 由得， ，故本选项符合题意；
C． 由得，ab＝mn，故本选项不符合题意；
D． 由得，ab＝mn，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
24．B
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】若a＞b，则，当c=0时不成立，故这个命题是假命题；
反比例函数，若，则y的值随x的值增大而减小，成立的前提是在各自的象限内，因而是假命题；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故③是假命题；
若点C为线段的黄金分割点，且AC＞BC，则，故④是假命题；
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，正确，故⑤是真命题；
上述命题中真命题只有1个，
故选：B
【点睛】本题综合考查了不等式的性质、反比例函数的性质，垂径定理，黄金分割以及中点四边形等有关知识．
25．B
【分析】根据黄金分割的定义和黄金比值，分PB为较长线段和PB为较短线段求解即可．
【详解】解：∵线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，
∴PB= AB= ×2=，
或PB=2－（）=，
故选：B．
【点睛】本题考查黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和CB（AC＞BC），且AC为AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC= AB，熟记黄金比值是解答的关键．
26．B
【分析】由黄金三角形的定义得BC=AB=，同理：△BCD是第二个黄金三角形，，△CDE是第三个黄金三角形，则CE=，由此得出规律，即可得出结论．
【详解】解：∵AB=AC=1，∠A=36°，△ABC是第一个黄金三角形，
∴底边与腰之比等于，
即，
∴BC=AB=，
同理：△BCD是第二个黄金三角形，
∴
△CDE是第三个黄金三角形，
则CE= …，
∴第2021个黄金三角形的底边长
故选：B
【点睛】本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键．
27．3.8
【分析】根据黄金分割的定义，先求出PB=AB，再根据AP=AB﹣PB计算即可得解．
【详解】解：∵点P为AB的黄金分割点，AP＜BP，
∴PB=AB=×10=5﹣5（米），
∴AP=AB﹣PB=10﹣（5﹣5）=15﹣5≈3.8（米）．
故答案为：3.8．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金比是解题的关键．
28．
【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质可证四边形ABEF是正方形，可得EF＝BE，进一步即可求出EF与CE的比值．
【详解】解：根据折叠，可知AB＝AF，BE＝FE，∠BAE＝∠FAE，
在矩形ABCD中，∠BAF＝∠B＝90°，
∴∠BAE＝∠FAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴BA＝BE，
∴AB＝BE＝EF＝FA，
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴EF＝BE＝AB，
∵矩形ABCD是黄金矩形，
∴＝，
∴＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键．
29．
【分析】根据黄金分割的定义得到，再把把AB=6代入可计算出AP的长，然后计算AB-AP即可．
【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，，
∴，
∴BP=AB-AP=4-=，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中，并且线段AB的黄金分割点有两个，熟记黄金分割的定义是解题的关键．
30．10-4
【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH=CH=2，根据勾股定理求出AH，根据线段的“黄金分割”点的定义得到CD、BE的长，求出DE的长，最后由三角形面积公式解答即可．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，
∴BH=CH=BC=2，
在Rt△ABH中，，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10-4．
【点睛】本题考查的是黄金分割、等腰三角形的性质，熟记黄金比值是解题的关键．
31．见解析
【详解】
32．（1）证明见解析，（2）证明见解析
【分析】（1）由正方形ABCD的边长为2，根据折叠可知FB，由勾股定理可得FC，易得出BN的值，再求BN：BC的值即可判断；
（2）如图，连接 设 则 再利用轴对称的性质与勾股定理求解 再利用勾股定理建立方程求解，从而可得答案．
【详解】证明：（1）根据第一步折叠可知，ABCD是正方形，
由正方形边长为2，
根据第二步可知，
在△FCB中，根据勾股定理， 得
根据第三步可知，
∴
∴
∴矩形BNMC是黄金矩形．
（2）如图，连接 正方形的边长
由对折可得：
设
所以由勾股定理可得：
解得：
所以G点是AD的黄金分割点．
【点睛】本题考查的是成比例线段，黄金分割点的含义，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，理解题意利用轴对称的性质逐步计算是解本题的关键．
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