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第09讲 探索三角形相似的条件
第6章 图形的相似
6.4探索三角形相似的条件
课程标准 课标解读
1.掌握平行线分线段成比例定理以及和三角形一边平行的判定定理，并会灵活应用；2.探索三角形相似的条件，掌握三角形相似的判定方法； 3.了解三角形的重心，并能从相似的角度去进行相关的证明. 掌握平行线分线段成比例定理及其推论，学会灵活应用；
知识点01 平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
如图： ////，直线a、b分别与交于点A、B、C和点D、E、F，则有
（1）（2）（3）成立.
【微点拨】当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.
2.平行于三角形一边的直线的性质
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.
【微点拨】这条定理也可以作为判定两个三角形相似的判定定理，有时也把他叫做判定两个三角形相似的预备定理.
【即学即练1】
1．如图，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 相似三角形的判定定理
1．判定方法（一）：两角分别相等的两个三角形相似.　
【微点拨】要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
【即学即练2】
2．将两个完全相同的等腰直角△ABC与△AFG按图所示的方式放置，那么图中一定相似（不含全等）的三角形是（　　）
A．△AEC与△ADB B．△ABE与△DAE C．△ABC与△ADE D．△AEC与△ADC
2．判定方法（二）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
【微点拨】此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
【即学即练3】
3．图，在中，P为AB上一点，在下列四个条件中不能判定和相似的条件是（ ）
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C． D．
3．判定方法（三）：三边成比例的两个三角形相似.
【即学即练4】
4．如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
知识点03 三角形的重心
三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.
考法01 由平行判断成比例的线段
【典例1】
5．如图，在中，平分，于点，为的中点，连接延长交于点若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
考法02 证明两三角形相似
【典例2】
6．如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F将沿折叠，点D恰好落在上M点处，延长交于点N，有下列四个结论：①垂直平分；②是等边三角形；③；④．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
题组A 基础过关练
7．如图，在△ABC中，，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，则AC的长为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm
8．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，直线abc，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若DE＝2EF，AC＝6，则AB的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图，在 中，点 是 上一点，过 作 交 于点 ， ， ，则 与 的比是（　　）
A．3：2 B．3：5 C．9：16 D．9：4
12．下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似
B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似
C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似
D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似
13．如图，E、D是△ABC的边AB、AC上一点，请添加一个条件 使得△ABC与△ADE相似．
14．如图，在中，，，，，则的长 ．
15．如图，∠1＝∠2，请你补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE．
16．图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是 （写出一个条件即可）．
题组B 能力提升练
17．如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍无法判定的是（　　）

A． B． C． D．
18．如图，，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，DE＝3，EF＝6，则AC的长是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
19．如图，在中，D、E分别是、上的点，，若，，，则的长是（ ）
A． B．3 C． D．6
20．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若，EF=2，则CE的长为 .
23．如图，为估算河的宽度，在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD＝20m，然后又在垂直AB的直线上取点C，并量得BC＝40m．如果DE＝30m，A、E、C三点共线，则河宽AD为 ．
24．如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是 ．
25．如图，E是的边BC上的点，已知，，，．求证：．
题组C 培优拔尖练
26．如图，点在的边上，添加一个条件，不能判断与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
27．已知，如图∠DAB＝∠CAE，下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是（　　）
A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
28．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
29．已知菱形，、是动点，边长为5，，，则下列命题中正确的是（ ）
①；②为等边三角形；③的边长最小值为；④若，则．
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
30．如图，AD是ABC的中线，M是AD的中点，延长BM交AC于点N，若AC=4，则AN= ．
31．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1＋S2＝ ．
32．如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，的延长线交于点F．如果，那么FC的长是 ．
33．已知中，，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法正确的是 （填写序号）．
34．如图，在△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD．
(1)求证：△ABC与△BCD相似：
(2)求∠A的度数
35．如图，ABCD是正方形，E是CD上一点，F是BC延长线上一点，且CE＝CF，BE延长线交DF于点G．
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)求证：△BGF∽△DCF．
36．已知，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，点E为CD中点，以点E为圆心，CE为半径的圆交BC与点F，连结AF交⊙E与点G，连结BG，EF，∠BGF＝∠BAC．求证：
(1)ABEF．
(2)△ABG∽△FAE．
37．请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．…
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】用平行线分线段成比例定理，可得到比例式，再对各选项逐一判断．
【详解】解：∵，
∴ ， 故A选项不符合题意；
∵，
∴ ， 故B选项不符合题意；
∵，
∴ ，
∴， 故C选项符合题意；
∵，
∴，故D选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．熟知该定理是解题的关键．
2．B
【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
【详解】解：A．根据已知条件无法证明△AEC与△ADB，故选项不符合题意；
B．∵△ABC与△AFG都为等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠B＝45°，
∵∠AEB＝∠DEA，
∴△ABE∽△DAE ；
故选项符合题意；
C．根据已知条件无法证明△ABC与△ADE，故选项不符合题意；
D．根据已知条件无法证明△AEC与△ADC，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
3．D
【分析】根据相似三角形的判定定理依次验证四个选项即可．
【详解】解：当∠ACP=∠B时．
∵∠A是△APC和△ACB的公共角，
∴．
故A不符合题意．
当∠APC=∠ACB时．
∵∠A是△APC和△ACB的公共角，
∴．
故B不符合题意．
当时．
∴．
∵∠A是△APC和△ACB的公共角，且是成比例的对应边的夹角，
∴．
故C不符合题意．
当时．
∴．
∵∠A是△APC和△ACB的公共角，但并不是成比例的对应边的夹角，
∴无法证明△APC和△ACB相似．
故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握该知识点是解题关键．
4．A
【分析】根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【详解】解：根据题意得：，，，∴，
A、图中的三角形三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似，故此选项符合题意；
B、图中的三角形三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似，故此选项不题意；
C、图中的三角形三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似故此选项不题意；
D、图中的三角形三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似，此选项不题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
5．B
【分析】先求出，然后证明，根据平行线分线段成比例可得，再根据三角形中位线定理求出即可．
【详解】解：，
，
，为中点，
，
，
又平分，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理以及三角形中位线定理等知识，证明是解答本题的关键．
6．B
【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF，利用全等三角形的判定和性质得出EF＝FN，再由等腰三角形三线合一的性质确定△EBN为等腰三角形、BF⊥EN；证明∠EFM＝∠EBF即可证明；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可证明．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF，
在△DFE与△CFN中，
∴△DFE≌△CFN，
∴EF＝FN，
∴△EBN为等腰三角形，
无法确定△EBN为等边三角形，故②错误；
由等腰三角形的三线合一得：BF⊥EN，
∴BF垂直平分EN，故①正确；
∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，
∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，
∴∠EFM＝∠EBF，
∵∠DFE＝∠EFM，
∴∠DFE＝∠FBE，
∴；故③正确；
∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，
∴BE＝3EM，
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，故④正确．
综上所述：①③④都正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断．此题难度适中，证得△DFE≌△CFN是解题的关键．
7．D
【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．
【详解】解∶∵，AD∶DB=3：2，
∴AD∶DB=AE∶EC=3∶2，
∵AE=6cm，
∴6∶EC=3∶2，
∴EC=4cm，
∴AC=AE+EC=10cm．
故选：D
【点睛】本题主要考查了成比例线段，熟练掌握平行线分线段成比例基本事实是解题的关键．
8．B
【分析】△ABC和△ACD有公共角∠A，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案．
【详解】∵∠DAC=∠CAB，
∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断
△ACD∽△ABC，故①正确，④不正确；
当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC，故②正确；
当＝时，虽∠DAC=∠CAB但不是夹角，所以△ACD与△ABC不相似，故③不正确．
因此有2个正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．
9．D
【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，故D选项正确，符合题意；B选项错误，不符合题意；
∴，故A，C选项错误，不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
10．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵abc，
∴＝，
∵DE＝2EF，AC＝6，
∴＝2，
解得：AB＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
11．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴，
∴ 与 的比是 ，
故选：．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
12．D
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可得解．
【详解】解：A、∵两个直角三角形只有一组角相等，
∴两个直角三角形不一定相似，故选项A不合题意；
B、∵两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，
∴两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似，
故选项B不合题意；
C、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似，
∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不合题意；
D、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
13．∠ADE=∠B或∠AED=∠C或
【分析】根据相似三角形的判定方法：两角相等，或者两组对应边对应成比例，夹角相等进行解题即可．
【详解】解：如图∵，
∴当∠ADE=∠B或∠AED=∠C或时：△ABC∽△ADE；
故答案为：∠ADE=∠B或∠AED=∠C或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定方法．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
14．4
【分析】根据平行线分线段成比例进行求解即可．
【详解】解：∵
∴，
∴
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
15．（答案不唯一）
【分析】相似三角形的判定问题，由题意，∠BAC＝∠DAE，所以再加一对应角相等即可．
【详解】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，
要使△ABC∽△ADE，只需再有一对应角相等即可，
∴添加的条件为∠B＝∠D．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的性质及判定定理是解题的关键．
16．（答案不唯一）
【分析】两个三角形中如果有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，据此添加条件即可．
【详解】解：添加，可以使两个三角形相似．
∵，，
∴．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似．理解和掌握三角形相似的判定是解题的关键．
17．C
【分析】根据公共角，再分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】∵
A、当时，再由，可得出，故选项A不合题意；
B、当时，再由，可得出，故选项B不合题意；
C、当时，不是夹角，所以无法得出，故选项C符合题意；
D、当时，即，再由，故选项D不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
18．D
【分析】利用平行线分线段成比例定理求出BC，可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴BC＝8，
∴AC＝AB+BC＝4+8＝12，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线段成比例，解决本题的关键是掌握平行线段成比例的性质．
19．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得，EC=，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
20．B
【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴该三角形为直角三角形，且两直角边的比为，
第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，则两直角边的比为2，故第1个图形中三角形与△ABC相似；
第2个图形中，三边长分别为，，，
∵，
则该三角形是直角三角形，两直角边的比为1，故第2个图形中三角形不与△ABC相似；
第3个图形中，三边长分别为，，，
∵，
则该三角形不是直角三角形，故第3个图形中三角形不与△ABC相似；
第4个图形中，三边长分别为，，，
∵，
则该三角形是直角三角形，两直角边的比为2，故第4个图形中三角形与△ABC相似；
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
21．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过，，逐项判断，得出结论．
【详解】∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，推理论证．
22．6
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得，，利用平行线成比例定理的推论可知，结合，EF=2，可，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵BF：CD=4：3，EF=2，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点睛】此题考查平行线成比例定理的推论和平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例．
23．##60米
【分析】根据平行得到△ADE∽△ABC，然后根据对应边成比例，得到答案．
【详解】解：根据题意，在 与 中，
∵ ，，，，
∴△ADE∽△ABC,
∴ ，
∴ ，
故答案是：m ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质和判定，理解相似三角形的对应线段成比例是解题的关键．
24．
【分析】分别求出三个三角形的三边的比（按边长的大小顺序），所求三边之比等于△ABC的三边之比就是与△ABC相似的三角形．
【详解】解：∵△ABC的三边之比是，
△EBC的三边之比是
△CDB的三边之比是，
△DEB的三边之比是．
∴△DEB与△ABC相似，
故答案为：△DEB．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，勾股定理与网格，掌握“三边对应成比例，两三角形相似”是解题的关键．
25．见解析
【分析】根据，可证得．
【详解】证明：，，
，
，
，
即，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉三角形相似判定定理是解题关键．本题用到的判定是两边对应成比例且夹角相等．
26．B
【分析】根据三角形相似判定即可选出答案．
【详解】解：A、，，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意．
B、CD与AB不是对应边，不能说明相似，选项错误，符合题意．
C、，，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意．
D、，，两组对边成比例，夹角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形相似判定．三组对应边成比例的三角形相似；两组对应边成比例，夹角相等的三角形相似；两组对应角相等的三角形相似．
27．D
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析即可.
【详解】解：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴当添加条件∠D＝∠B时，符合两角分别相等的两个三角形相似，则△DAE∽△BAC，故选项A不符合题意；
当添加条件∠E＝∠C时，符合两角分别相等的两个三角形相似，则△DAE∽△BAC，故选项B不符合题意；
当添加条件时，符合两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，则△DAE∽△BAC，故选项C不符合题意；
当添加条件时，则△DAE和△BAC不一定相似，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．
28．C
【分析】①由题意得出，证明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC=∠ABD，则可证出结论；②不能证明△ABC与△ADC相似，得出②不符合题意；证出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质得出∠ADC=∠BAC=90°，可得出③符合题意；根据不能证明△ABC与△ABD相似，则可得出结论．
【详解】解：①∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵，
∴，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠DAC=∠ABD，
∴∠ABD+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90°，
即∠BAC=90°，
故①符合题意；
②∵AB CD=AC AD，
∴，
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴∠ABD=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠BAC=90°，
故②符合题意；
③∵，
∴，
∵∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴∠ADC=∠BAC=90°，
故③符合题意；
④由不能证明△ABC与△ABD相似，
故④不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
29．C
【分析】根据菱形的性质可得AB＝BC，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°，从而可得∠B＝60°，进而证明△ABC是等边三角形，然后得出BC＝AC，即可判断①；利用①的结论可得CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，从而可得∠BCA＝∠ECF＝60°，即可判断②；当CE⊥AB时，的边长取最小值，根据含30度角的直角三角形的性质求出BE，再利用勾股定理求出CE即可判断③；过点E作EM∥BC，交AC于点M，求出EM＝3，然后利用平行线分线段成比例求出即可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°，
∴∠B＝180° ∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
在△BEC和△AFC中，，
∴△BEC≌△AFC（SAS），①正确；
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACF＋∠ACE，
∴∠BCA＝∠ECF＝60°，
∴△ECF是等边三角形，②正确；
∵△ABC是等边三角形，AB＝BC＝5，
∴当CE⊥AB时，的边长取最小值，
∵∠B＝60°，
∴此时∠BCE＝30°，
∴BE＝，
∴CE＝，
∴的边长最小值为，③错误；
过点E作EM∥BC，交AC于点M，
∵△BEC≌△AFC，
∴AF＝BE＝2，
∵AB＝5，
∴AE＝AB BE＝5 2＝3，
∵EM∥BC，
∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AE＝EM＝3，
∵AD∥BC，
∴AF∥EM
∴，
∴，④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理以及平行线分线段成比例，灵活运用各性质进行推理是解题的关键．
30．##
【分析】作DEBN交AC于E，根据平行线分线段成比例定理得到NE＝EC和AN＝NE，即可得到答案．
【详解】解：如图，作DEBN交AC于E，
∵AD是ABC的中线，
∴BD＝DC，
又∵DEBN，
∴，
∴NE＝EC，
∵DE∥BN，AM＝MD，
∴，
∴AN＝NE，
∴AN＝NE＝EC，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系得到相关的比例是解题的关键．
31．2
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到,，分别计算出和，最后根据得到答案．
【详解】解：如下图所示，连接DF，过点G作 ，过点A作，垂足为O，
MN交AO于点H,
得，
，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∵D、F是中点，
∴
∴，
，
∵，
故答案为：2．
【点睛】本题考查三角形的中线、平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用平行线分线段成比例定理计算出三角形高的比例．
32．10
【分析】由OE⊥AB，得AD=BD，且OD是△ABC的中位线，OE是三角形AFC的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．
【详解】∵OE⊥AB，
∴AD=BD=AB=×8=4，
∵OA=OC，
∴OD为三角形ABC的中位线，
∴OD//BC，
又∵OD=3，
∴
∴OE=OA=5，
∵OE∥CF，点O是AC中点，
∴AE：EF=AO：OC=1，
即E为AF中点，
∴OE是三角形ACF的中位线，
∴CF=2OE=2×5=10，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．
33．①②③④
【分析】根据作图可得，逐个分析判断即可求解．
【详解】解：①，，
，，
，
②根据作图可得， ，
则，
，
，
③根据作图可得，同理可得，
④根据作图可得为圆的直径，则，同理可得，
故答案为：①②③④
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作垂线，作一个角等于已知角，直径所对的圆周角是直角，掌握基本作图是解题的关键．
34．(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）根据点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD，可知AD：AB=BD：AD，根据题目给的条件可以推出BD：BC=BC：BA，结合∠B=∠B，即可证明出相似．
（2）根据第一问的相似得到∠BCD=∠A，通过推角，在中用内角和为，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵AC= BC
∴∠A=∠B
∵AD=AC
∴AD=BC
∵点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD
∴AD：AB=BD：AD
∴BD：BC=BC：BA
∵∠B=∠B
∴△BDC△BCA
（2）解：∵△BDC△BCA
∴∠BCD=∠A
∴∠BCD=∠B
∵∠ADC是△BDC的外角
∴∠ADC=∠B+∠BCD=2∠B=2∠A
∵AD=AC
∴∠ACD=∠ADC=2∠A
∵∠A+∠ADC+∠ACD=
∴∠A+2∠A+2∠A=
∴∠A=
∴∠A的度数为
【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，黄金分割点的定义．使用黄金分割点推出三角形两边成比例是解题关键．
35．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据正方形的性质得到BC=CD，∠BCD=90°，然后根据“SAS”可判断△BCE≌△DCF；
（2）先根据全等三角形的性质得到∠CBE=∠CDF，再加上公共角∠F，则根据相似三角形的判定方法得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）证明：∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF，
∵∠FBG＝∠CDF，∠BFG＝∠DFC，
∴△BGF∽△DCF．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了全等三角形的判定与性质与正方形的性质．
36．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠EFC，再根据同位角相等，两直线平行可证得结论；
（2）根据三角形的外角性质和已知可证∠ABG=∠FAE，再根据平行线的性质可证∠BAG=∠AFE，然后根据相似三角形的判定可证得结论．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，EF=EC，
∴∠ABC=∠ACB，∠EFC=∠ACB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴ABEF；
（2）证明：∵∠BGF＝∠BAC，
∴∠ABG+∠BAG=∠FAE+∠BAG，
∴∠ABG=∠FAE，
∵ABEF，
∴∠BAG=∠AFE，
∴△ABG∽△FAE．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，三角形的外角性质、圆的基本性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
37．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过C作，交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有；
（2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到△ABD的周长．
【详解】（1）证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E，
∵，
∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴．
（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴，即，
∴，
∴，
∴△ABD的周长．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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