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第10讲 相似三角形的性质
第6章图形的相似
6.5相似三角形的性质
课程标准 课标解读
1.探索相似三角形的性质，能运用性质解决有关的计算或证明问题．2.发展学生合情推理，和有条理的表达能力． 理解相似三角形的性质，能运用相似三角形的性质解决有关的问题．
知识点01相似三角形的性质
1.相似三角形周长的比等于相似比
（1）∽，则．
由比例性质可得：．
（2）相似多边形周长的比等于相似比．
1．在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（ ）
A． B． C． D．
2.相似三角形面积的比等于相似比的平方
∽，则，分别作出与的高和，则
【微点拨】相似多边形面积的比等于相似比的平方.
2．在中，AD平分交边BC于点D，点E在线段AD上，若，则与的面积比为( )
A．16：45 B．1：9 C．2：9 D．1：3
知识点02相似三角形中对应线段的比
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
2.相似三角形中的对应线段的比等于相似比．
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比．
【微点拨】要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段．
3．如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是( )
A． B．
C． D．
考法01利用三角形性质求解
4．如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，交BC于点E，则S△BDE：S△AEC等于（ ）
A．16：21 B．3：7 C．4：7 D．4：3
考法02证明三角形的对应线段成比例
5．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
题组A基础过关练
6．如图，在中，是斜边上的高，若，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．9 D．12
7．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式中不能得到DEBC的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2、BE＝1，则BC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且 ，AD=1，BD=2，DE=2那么BC的值为 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的对应周长的比是（ ）
A．3∶4 B． C．9∶16 D．3∶7
11．已知，，，则的周长之比为 ．
12．如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于 m．
13．如图，△ABC∽△CAD，∠ACB=∠D=90°， ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．
15．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若DE=4，求BC的长．
题组B能力提升练
16．下列命题中，是真命题 的是（　　）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．小明爬山时发现上山比下山的盲区小
C．若点P是线段AB的黄金分割点，则
D．相似三角形的周长比等于相似比的平方
17．如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，那么△MON与△BMN的面积的比是（ ）
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4
18．若，且与的面积比是，则与对应角平分线之比为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，在ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
20．如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．以BC上点O为圆心作⊙O分别与AB、AC相切E、C两点，与BC的另一交点为D，则线段BD的长为
21．如图，点G是的中线上一点，且，作，垂足为点E，若，则点A到的距离为 ．
22．如图，已知ABCD，AD与BC相交于点P，，若AP＝6，则PD的长是 ．
23．如图，在中，，，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动．如果与同时出发，那么经过 秒和相似．
24．如图，四边形中， ，且，E、F分别是、的中点，与交于点M．
(1)求证：；
(2)若，求BM．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝5，D是BC边上一点，且DB＝1，点E是AC边上的一个点，且AE，过点E作交AD于点F．
(1)求EF的长．
(2)求证：△DEF∽△ABD．
题组C培优拔尖练
26．如图，在梯形中，，，对角线与相交于点O，把、、、的面积分别记作，那么下列结论中，不正确（ ）
A． B． C． D．
27．如图，中，，，为边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点与，在同一直线上，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
28．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，BC＝12，AH＝8，D、E分别为AB、AC上的点，G、F是BC上的两点，四边形DEFG是正方形，正方形的边长DE为（　　）
A．4.8 B．4 C．6.4 D．6
29．如图，在中，D，C，E三点在一条直线上，，，，则的长为（ ）
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
30．如图RtAOB∽DOC，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，OB＝8，直线AD，CB交于P点，连接MP，AOB保持不动，将COD绕O点旋转，则MP的最大值是 ．
31．如图，为等边边上的高，，为高上任意一点，则的最小值为 ．
32．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．（填写正确结论的序号）
33．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则＝ ．
34．如图，在△ABC中，过点A作，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上，连接DE，交AB于点F，．
(1)求证：四边形ACED是菱形；
(2)当，时，直接写出的值．
35．如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE、CD交于点O，．
(1)如果，求AC的长；
(2)如果△ADE的面积为1，求的面积．
36．如图，在正方形中，点M是边上的一点（不与B、C重合），点N在边的延长线上．且满足连接、，与边交于点E．
(1)求证：；
(2)求证：．
37．如图，在RtABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若CD=6，AC=8，求AE．
38．矩形中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在延长线上（图1）
(1)若，求的度数与的长度；
(2)如图2将向右平移得，两直角边与拒形相交于点E、F；当平移的距离是多少时，能使与相似，（先填空，再完成解答）解：设平移的距离为x，则______________________（用含x的代数式表示）
39．【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接BD、CE．求证：BD=CE．
【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、CE，则___________．
【拓展提升】
（3）如图3，和都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，连接BD、CE．
①求的值；
②延长交于点G．交于点F．求．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案．
【详解】解：∵三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，
∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，
∴原三角形与缩印出的三角形的周长比为3：1，
∴缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
2．C
【分析】根据等高三角形的面积比等于底边的长度比，得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到的面积比，即可得到答案；
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD，
∵∠ABE=∠C，
∴，
∵，
∴，，
，
∴．
故选C；
【点睛】本题考查了相似三角形，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的相关事项是本题的解题关键．
3．A
【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．
【详解】解：∵△ABC∽△ADB，
∴，
∴AB2=AC AD．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键．
4．A
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及平行线分线段成比例，不难求得．
【详解】解：∵，
∴，且，
∴，，
∴，
∵，与的高相等，
∴，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题利用了平行线分线段成比例，相似三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．
5．C
【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案．
【详解】解：，
，，，
，
，
由，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，考查学生对相似三角形对应边成比例知识点及等量代换技巧的掌握情况．
6．C
【分析】在与中，利用两角对应相等的两个三角形相似，对应边对应成比例，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，且，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形的相似，掌握三角形相似的性质是解题的关键．
7．B
【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似逐项进行判断即可得到结论．
【详解】解：如图，
解：A．∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴DEBC；
故选项不符合题意；
B．当时，△ADE与△ABC不一定相似，
∴∠ADE不一定等于∠B，
∴不能得到DEBC，
故选项符合题意；
C．∵，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴DEBC；
故选项不符合题意；
D．∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴DEBC；
故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
8．D
【分析】根据相似三角形的性质可得AE：CE＝2：5，从而得到CE＝5，即可求解．
【详解】解：∵△ABE∽△CDE，△ABE与△CDE的周长之比是，
∴AE：CE＝2：5，
∵AE＝2，
∴CE＝5，
∵BE＝1，
∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．
9．C
【分析】证明利用对应边对应成比例即可求出．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
故选C．
【点睛】本题考查三角形的相似和性质综合，证明三角形相似并找准对应边是解题的关键．
10．A
【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为3：4，
∴它们的周长比是：3：4．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长比的比等于相似比是解答此题的关键．
11．4∶3
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴；
故答案为：4∶3．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．
12．3
【分析】作PF⊥CD于点F ，利用AB∥CD，推导△PAB∽△PCD，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可．
【详解】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，
∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，
∵△PAB∽△PCD，
∴，（相似三角形对应高之比是相似比）
即：，
解得PF＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应高之比是相似比是解题的关键．
13．AB DC
【分析】根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵∠ACB=∠D=90°，且△ABC∽△CAD，
∴，
即=AB DC，
故答案为：AB DC．
【点睛】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的性质得出线段比例解答．
14．2.4
【分析】根据已知可证明△ABE~ FCB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∵∠A=90°，∠CFB=90°，
∴△ABE∽△FCB
∴，
∵BC=3，E是AD的中点，
∴AE=1.5 ，
∴BE=2.5，
∴，
∴FC=2.4．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)BC=6．
【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可；
（2）利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴，，
∴BC=6．
【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
16．A
【分析】根据菱形的判定方法、黄金分割的定义、相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，故A正确；
B、爬山时上山比下山的盲区大，原命题是假命题，故B错误；
C、若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP时，则，原命题错误，故C错误；
D、相似三角形的周长比等于相似比，原命题错误，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
17．C
【分析】利用三角形重心的性质得到MO：MC＝1：3和点N是BC的中点，从而得到△MON和△MNC的面积比、△BMN和△CMN的面积比，然后综合两个面积比求得结果．
【详解】解：∵点O是△ABC的重心，
∴MO：MC＝1：3，点N是BC的中点，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质和三角形中线的性质，熟知三角形的重心将中线分为1：2两部分是解题的关键．
18．B
【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，且与的面积比是，
∴与的相似比是，
∴与对应角平分线之比为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
19．C
【分析】先根据三角形的中位线定理证明，则△ADE∽△ABC，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，即可由求出四边形DBCE的面积．
【详解】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴，AE＝CE＝AB，
∴，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题重点考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积是解题的关键．
20．1
【分析】连接OE，OE⊥AB，OE=OC，AC⊥OC，△BEO∽△BCA，故，故可得OC的长，即可得出BD的长．
【详解】解：如图，连接OE，
∵AB是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，OE=OC，
∵AC⊥OC，
∴BEO∽BCA，
∴，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴，
∴，
∴OE=，
∴OC=，
∴BD=BC-2×OC=4-2×．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到BEO∽BCA．
21．
【分析】过点作，则的长即为到的距离，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点作，则的长即为到的距离，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22．10
【分析】证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵ABCD，
∴，
∴ ，即，
解得：PD＝10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
23．4或
【分析】分两种情况讨论，由相似三角形对应边成比例列方程求解即可．
【详解】解：设经过x秒，△PQC和△ABC相似，
∴CP=8-x（cm），CQ=2x（cm），
当△PCQ∽△ACB，则，
∴，
∴x=4，
当△PCQ∽△BCA，则，
∴，
∴x=，
综上所述：经过4或秒，△PQC和△ABC相似．
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解答本题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得四边形是平行四边形，从而得到，即可求证；
（2）根据相似三角形的对应边成比例求出相似比，即可求得线段的长．
【详解】（1）证明：，E是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
；
（2）解：，F是的中点，
，
，
，
，
又 ，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
25．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用，证明△AEF∽△ACD，根据对应边对应成比例进行计算即可；
（2）利用勾股定理求出AD，利用，求出AF，利用求出DF，从而得出，在利用外角的性质，得到，即可得证．
【详解】（1）解：∵CB＝5，DB＝1，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴△AEF∽△ACD，
∴，即：，
∴；
（2）证明：∵∠C＝90°，AC＝3，CD＝4，
∴，
∵∴△AEF∽△ACD，
∴，即：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴△DEF∽△ABD
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明两个三角形相似是解题的关键．
26．C
【分析】由，推出，推出，利用等高模型以及相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴选项A，B，D正确，选项C错误，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
27．B
【分析】由旋转和平行线的性质易证，从而易证，即得出，代入数据即可求出BD的长．
【详解】∵，
∴．
由旋转的性质可知，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理是解题关键．
28．A
【分析】利用相似三角形对应高的比也等于相似比，可以求出x,注意所画图形是正方形，用同一未知数表示未知边，即可求出．
【详解】解：设△ABC的高AH交DE于点M，正方形的边长为x.
由正方形DEFG得，DE∥FG，即DE∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AM⊥DE．
由DE∥BC得△ADE∽△ABC，
∴，
把BC=12，AH=8，DE=x,AM=8-x代入上式得：，
解得：x=4.8．
答：正方形的边长是4.8．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．
29．B
【分析】设对角线AC与BD交于点O，过点O作于M，利用平行四边形性质得BO=DO，得MC=MD，然后利用相似三角形的判定与性质得出CF的长．
【详解】解：设对角线AC与BD交于点O，
在中，
，，
过点O作于M（如图），
，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例性质、中位线的性质．熟练运用相关性质、会添辅助线、构造相似三角形是解决此题的关键．
30．9
【分析】根据相似三角形的判定定理证明COB∽DOA，得到∠OBC=∠OAD，得到O、B、P、A共圆，求出MS和PS，根据三角形三边关系解答即可．
【详解】解：取AB的中点S，连接MS、PS，
则PM≤MS+PS，
∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB=10，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠COB=∠DOA，
∵AOB∽DOC，
∴，
∴COB∽DOA，
∴∠OBC=∠OAD，
∴O、B、P、A共圆，
∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中点，
∴PS=AB=5，
∵M为OA的中点，S是AB的中点，
∴MS=OB=4，
∴MP的最大值是4+5=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质，掌握旋转前、后的图形全等以及全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
31．
【分析】连接，交于点，此时最小，过点作于点，证明，然后求得，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示：连接，交于点，此时最小，过点作于点，
∵为等边边上的高，
∴点与点关于对称，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴在中
，
∴的最小值为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和最小值问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，证明是解题的关键．
32．①③④
【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在RtABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明ABF∽DFE，利用相似比得到，而 =2，所以，所以DEF与ABG不相似，于是可对②进行判断；分别计算和可对③进行判断．
【详解】解：∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，
将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，
∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确；
在RtABF中，AF==8，
∴DF=AD-AF=10-8=2，
设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，
在RtGFH中，
∵，
∴，
解得x=3，
∴GF=5，
∴AG+DF=FG=5，所以④正确；
∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠EFD+∠AFB=90°，
而∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠EFD，
∴ABF∽DFE，
∴，
∴，
而 ，
∴，
∴DEF与ABG不相似；所以②错误．
∵=×6×3=9，=×3×4=6，
∴．所以③正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．
33．9：25##
【分析】先由DE：EC=3：2，得DE：DC=3：5，再根据平行四边形ABCD，得AB CD，AB=CD，所以，△DEF∽△BAF，然后根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方求解．
【详解】解：∵DE：EC=3：2，
∴DE：DC=3：5，
∵平行四边形ABCD，
∴AB CD，AB=CD，
∴，△DEF∽△BAF，
∴，
故答案为：9∶25．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
34．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据可得，即可证明四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质以及角平分线得出，则可根据邻边相等的平行四边形为菱形；
（2）根据菱形的性质可得，从而求出的长，然后根据可得，根据相似三角形对应边成比例可得结论．
【详解】（1）证明：，
，即，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）四边形是菱形；
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关的图形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
35．(1)18
(2)2
【分析】（1）首先证明，利用相似三角形的性质解决问题即可．
（2）证明，利用等高模型即可解决问题．
【详解】（1）解：∵，
∴＝，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴＝，，
∴＝，
∵，
∴．
（2）∵＝，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
36．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）证明，根据相似三角形的性质即可证明．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
37．(1)见解析
(2)12.5
【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出ODAC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）求出AD，连接DE，证DCA∽EDA，得出比例式，代入数值求解即可．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴ODAC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O切线；
（2）解：在RtADC中，AC=8，CD=6，
由勾股定理得：AD=10．
连接DE，
∵AE为直径，
∴∠EDA=∠C=90°，
∵∠CAD=∠EAD，
∴DCA∽EDA，
∴，
∴，
AE=12.5．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，平行线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．
38．(1)37°，4
(2)，，或x=3.4
【分析】（1）根据矩形的性质得出AD=BC=6，BCAD，∠B=90°，求出∠CAD=∠BCA=53°，则37°即可解答；由勾股定理求出=AC=10，进而求得；
（2）设平移的距离为x，则，然后再解直角三角形表示出，进而表示出，同理表示出，然后根据相似三角形的性质列方程求解即可；
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，BCAD，∠B=90°，
∴∠CAD=∠BCA=53°，
∴∠BAC=90°-∠BCA=90°-53°=37°，
∵将绕点A逆时针旋转得到
∴37°
在Rt△CBA中，AB=8，BC=6，由勾股定理得：=AC=10
∴．
（2）解：设平移的距离为x，则，
∵
∴，解得：
∴
同理：
∵与相似
∴或
∴或，解得或x=3.4
∴当或x=3.4时，与相似．
【点睛】本题主要考查了矩形性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识点，综合运用性质进行推理是解答本题的关键．
39．（1）见解析；（2）；（3）①；②30°
【分析】（1）证明BADCAE，从而得出结论；
（2）证明BAD∽CAE，进而得出结果；
（3）①利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得到，再证明BAD∽CAE，进而得出结果；
②由BAD∽CAE，得出∠ACE=∠ABD，进而得出∠BGC=∠BAC．
【详解】（1）证明：∵ABC和ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE∠BAE=∠BAC∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴BADCAE（SAS），
∴BD=CE；
（2）解：∵ABC和ADE都是等腰直角三角形，
∴，∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAE∠BAE=∠BAC∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴BAD∽CAE，
∴；
故答案为：；
（3）解：①∵∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，
∴AE=2DE，AC=2BC，
由勾股定理得AD=DE，AB=BC，
∴，
同理BAD∽CAE，
∴；
②∵BAD∽CAE，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AFC=∠BFG，
∴∠BGC=∠BAC=30°．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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