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第15讲 特殊角的三角函数
第7章 锐角三角函数
7.3特殊角的三角函数
课程标准 课标解读
1.知道特殊锐角30°、45°、60°三角函数值。 2.了解特殊角与其三角函数之间的对应关系。 3.学会利用特殊角的三角函数值进行求值和化简。 1. 能通过推理得30°、45°、60°角的三角函数值，进一步体会三角函数的意义。 2. 会计算含有30°、45°、60°角的三角函数的值。 3. 能根据30°、45°、60°角的三角函数值，求出相应锐角的大小.
知识点 特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角α
30°
45° 1
60°
【微点拨】
（1）通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
（2）仔细研究表中数值的规律会发现：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
【即学即练1】
1．（ ）
A． B． C． D．不能确定
【即学即练2】
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练3】
3．在中，若，都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
考法01 求特殊角的三角函数值
【典例1】
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点H是高AD和BE的交点，∠CAD＝30°，CD＝4，则线段BH的长度为（ ）
A．6 B． C．8 D．
考法02 特殊角三角函数函数值的混合运算
【典例2】
5．下列计算中错误的是( )
A． B．
C． D．
题组A 基础过关练
6．的值是（ ）．
A．1 B． C． D．
7．计算的值为（ ）
A． B．-2 C． D．
8．下列三角函数的值是的是（ ）．
A． B． C． D．
9．点关于y轴对称的点的坐标是（ ）．
A． B．
C． D．
10．计算的结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列关于运用计算器的说法不正确的是（　　　）．
A．用计算器计算时，在按、、这三种键之前应先按键
B．要启动计算器的统计计算功能应按的键是
C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键
D．用计算器计算时，依次按键显示结果是0.5
12．计算 ＝ ．
13．比较与的大小，结果为： ．
14．计算：
15．计算 的结果是 ．
题组B 能力提升练
16．下列运算中，结果正确的的是（ ）
A． B． C． D．
17．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，，平分，交于，交于．若，则等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
21．如图，是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，，过点作⊙O的切线交的延长线于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
22．计算的值为 .
23． ．
24．计算： ．
25．计算：
(1)
(2)
题组C 培优拔尖练
26．如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为△ABC的角平分线，若，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
27．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，求阴影部分面积( )
A． B． C． D．
28．如图，在菱形ABCD中，AC＝CD，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
29．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，AB＝6，则BD的长为（　　）
A．3 B．3 C．5 D．5
30．如图，已知的两条弦，相交于点，，，连接OE，若E为AC中点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
31．如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点B(，2)．D是边BC上一点(不与点B重合)，过点D作DE∥OB交OC于点E．将该纸片沿DE折叠，得点C的对应点C′．当点C′落在OB上时，点C′的坐标为 ．
32．两块全等的等腰直角三角形如图放置，交于点P，E在斜边上移动，斜边交于点Q，，当是等腰三角形时，则的长为 ．
33．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积 ．
34．在平面直角坐标系中，过O点的直线分别交函数，的图象于点A，B，作轴于点C，作交的图象于点D，连接．若的面积为2，则k的值等于 ．
35．计算：
36．计算：．
37．如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为，请解决下列问题：
(1)若点P在边AC上，当为何值时，APQ为直角三角形？
(2)是否存在这样的值，使APQ的面积为cm2 ？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值直接求解即可．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．D
【分析】将锐角三角函数值代入计算，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：
=
=
故选：D．
【点睛】此题考查了锐角三角函数值及二次根式的运算，掌握以上知识点是解题的关键．
3．D
【分析】根据特殊角的三角函数值可判断，，从而可求出，即证明的形状是直角三角形．
【详解】∵，都是锐角，且，，
∴，，
∴，
∴的形状是直角三角形．
故选D．
【点睛】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
4．C
【分析】结合题意，根据直角三角形两锐角互余、三角函数、分式方程的性质，得，再根据等腰三角形和三角函数的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，得
∴
∴
∵CD＝4
∴
∴
经检验，是的解
∵∠ABC＝45°，∠CAD＝30°，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
经检验，是的解
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数、分式方程、等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．
5．A
【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得．
【详解】A、，此项错误；
B、，此项正确；
C、，则，此项正确；
D、，则，此项正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
6．A
【分析】利用特殊角的三角函数值来计算即可．
【详解】解：2sin30°
=2×
=1
故选：A
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，做题关键是掌握特殊角的三角函数值．
7．A
【分析】将tan30°的值代入计算即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了含三角形函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
8．A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】A、＝，符合题意；
B、＝，不符合题意；
C、＝，不符合题意；
D、＝，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．
9．C
【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y轴对称的坐标即可．
【详解】解：∵sin60°＝，cos30°＝，
∴点（，）关于y轴对称的点的坐标是（，）．
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
10．B
【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比，再按照正确的运算顺序进行计算即可．
【详解】解：
＝
＝
＝．
故选：B
【点睛】此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
11．D
【分析】根据计算器基础知识， 作用是某个键的功能即时转换为上方标注的功能；作用是启动计算器的统计计算功能；作用是将显示屏所显示的数字全部清除；用计算器计算锐角的三角函数值，即可判断选项正误，从而得到符合题意的选项．
【详解】解：A选项，用计算器计算时，在按、、这三种键之前应先按键，说法正确，不符合题意；
B选项，要启动计算器的统计计算功能应按的键是，说法正确，不符合题意；
C选项，启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键，说法正确，不符合题意；
D选项，用计算器计算时，依次按键显示结果是0.866025403，不是0.5，说法错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查计算器的基础知识，用计算器求锐角的三角函数值．熟练掌握计算器的功能键及掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
12．##0.5
【分析】直接利用特殊角的三角函数值化简，进而得出答案．
【详解】解：原式＝
＝1﹣
＝
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
13．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接比较即可．
【详解】解：，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和实数的大小比较，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
14．##-0.5
【分析】直接利用零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值化简各数是解题的关键．
15．
【分析】根据根式乘除法运算规则以及特殊角度三角函数值进行计算即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的运算，准确掌握二次根式化简规则以及特殊角度三角函数值是解决本题的关键．
16．D
【分析】根据负整指数幂运算法则计算并判定A；根据零指数幂运算法则计算并判定B；根据合并同类项法则判定C；根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算并判定D．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
D．，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查负整指数幂，零指数幂，特殊角三角函数值，积的乘方与幂的乘方，合并同类项，熟练掌握负整指数幂、零指数幂，积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键．
17．D
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、幂的乘方运算法则、二次根式的乘除法、整式的乘除法则分别判断得出答案．
【详解】解：A．，故此选项错误；
B．故此选项错误；
C．与无意义，故此选项错误；
D．，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值、幂的乘方运算法则、二次根式的乘除法、整式的乘除法则，正确掌握相关的运算法则是解决本题的关键．
18．A
【分析】连接EA、EC，先证明∠AEC=90°，E、C、B共线，再根据tan∠ABC=，求出AE、EB即可解决问题．
【详解】解：如图，连接EA，EC，
设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACE=∠ACG=∠BCG=60°，
∴∠ECB=180°，
∴E、C、B共线，
在Rt△AEB中，tan∠ABC===．
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．B
【分析】过D点作DG⊥AC于G点，通过DF⊥AB，DE⊥DF，可得，进而有∠BAD=∠ADE，∠DAE=∠ADE=15°，即可得AE=DE=8，易证得，即可求解DF=DG=4．
【详解】过D点作DG⊥AC于G点，如图，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠CAD=15°，
又∵DF⊥AB，DE⊥DF，
∴，∠AFD=∠AGD=90°，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠DAE=∠ADE=15°，
∴△AED是等腰三角形，
∴AE=DE=8，∠DEC=∠EDA+∠EAD=30°，
在Rt△DEG中，有，
∴DG=4，
∵∠AFD=∠AGD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴，
∴DF=DG=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行的相关的性质、等腰三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数等知识，利用角平分线的性质是解答本题的关键．
20．C
【分析】求出∠DAE的度数，再利用弧长计算公式求出即可．
【详解】解：由题意可知：AE＝AD＝BC＝2，
在Rt△ABE中，sin∠AEB＝＝＝，
∴∠AEB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝60°，
的长度为 ＝＝，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧长的计算，锐角三角函数，矩形的性质，本题求出∠DAE的度数是解题的关键．
21．D
【分析】如图，连接，，，，进而可求正弦值．
【详解】解：如图，连接，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正弦等知识．解题的关键在于求出的度数．
22．1
【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
23．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
24．##
【分析】先计算特殊角三角函数值，然后根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键．
25．(1)0；
(2)．
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值运算，熟练掌握特殊角的三角函数值运算是解本题的关键．
26．D
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，设AB=AC=x，则AD=x-2，根据等腰Rt△ABC中，，得到∠C=45°，根据BD为△ABC的角平分线，∠A=90°，DE⊥BC，推出DE=AD=x-2，运用∠C的正弦即可求得．
【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E，则∠DEB=∠DEC=90°，
设AB=AC=x，则AD=x-2，
∵等腰Rt△ABC中，，∠A=90°，AB=AC，，
∴∠C=（180°-∠A）=45°，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴DE=AD=x-2，
∵，
∴，
∴，即．
故选D．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，角平分线，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正弦的定义和45°的正弦值，是解决问题的关键．
27．C
【分析】过E点作EM⊥BC于M点，作EN⊥AB于N点，利用解含特殊角的直角三角形，得到MC=、BM=，根据BM+MC=BC=4，求出EM，进而求出BM，依据NE⊥AB，EM⊥BC，且∠ABC=90°，可知四边形BMEN是矩形，则有NE=BM=1，根据即可求解．
【详解】过E点作EM⊥BC于M点，作EN⊥AB于N点，如图，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∵∠BCE=30°，
∴∠EBC=60°，
∵EM⊥BC，
∴在Rt△EMC中，
∴tan∠ECM==tan30°=，
∴MC=，
∴∴在Rt△EBM中，
∴tan∠EBM==tan60°=，
∴BM=，
∵BM+MC=BC=4，
∴+=4，
∴，
∴BM=，
∵NE⊥AB，EM⊥BC，且∠ABC=90°，
∴四边形BMEN是矩形，
∴NE=BM=1，
∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和解含特殊角的直角三角形等知识，求出EM、EN是解答本题的关键．
28．D
【分析】首先根据菱形的性质可得AB=CD=BC，再根据AC=CD，可证得△ABC是等边三角形，可得∠B＝60°，最后根据特殊角的三角函数值即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=BC，
∵AC=CD，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，证得△ABC是等边三角形是解决本题的关键．
29．B
【分析】根据圆的切线性质，圆的基本性质，特殊角的函数值计算选择即可．
【详解】解：∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝60°，
连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝6，
∴BD＝AB sin60°＝6×＝3，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，圆的基本性质，特殊角的函数值，熟练掌握圆的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．
30．A
【分析】由圆周角定理可知，再在中求出；因为E为AC中点，由垂径定理的逆定理可知，即，进而计算出，然后求的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵E为AC中点，
∴，即，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理的逆定理、特殊角的三角函数值以及三角形内角和定理等知识，解题关键是熟练运用圆周角定理和垂径定理的逆定理．
31．
【分析】根据B点坐标可求出AB、OB，得到，所以，，再利用折叠与平行的性质，证明△OEC′是等边三角形，OE=CD=，然后可利用三角函数求出点C′的坐标．
【详解】∵点B坐标为(，2)，
∴AB=2，OA=，
∴
∴
∴，
∵C′是C关于DE的对称点
∴， EC=EC′
∵DE∥OB
∴=60°
∴∠OE C′=180°-2×60°=60°
∴△OE C′是等边三角形
∴OE= EC=EC′==
∴C′横坐标=，纵坐标=
∴C′坐标为
【点睛】本题考查了三角形，熟练运用特殊三角形的性质是解题的关键．
32．或或
【分析】解答时，分BE=PE，PB=PE和BP=BE三种情况求解即可．
【详解】解：当BE=PE时，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠BPE=45°，∠BEP=90°，∠QEC=45°，∠EQC=90°，
∴PE=BE=BPsin45°=，EQ=CQ=ECsin45°=，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°=，
∴AQ=AC-QC=．
当PB=PE时，
根据前面计算，得到BH=PH=3，
∴BH=HE=3，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠EQC=45°，∠CEQ=90°，EC=EQ=BC-BE=10-6=4，
∴CQ=，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°=，
∴AQ=AC-QC=．
当BP=BE时，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠BPE=∠BEP=∠QEC=∠EQC，
∴PE=BE=，EQ=CQ=BC-BE=，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°=，
∴AQ=AC-QC=，
综上所述AQ的长为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握等腰直角三角形的性质和准确进行等腰三角形的等腰分类，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．
33．
【分析】首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB的面积，继而求得阴影部分面积．
【详解】解：如图，连接OD，
根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=∠DBO=30°，
∵∠AOB=90°，
∴OC=OB tan∠CBO=6，
∴S△BDC=S△OBC=×OB×OC=×6×=6，
S扇形AOB=π×62=9π，
∴整个阴影部分的面积为：S扇形AOB-S△BDC-S△OBC=9π-6-6=9π-12，
故答案为：.
【点睛】本题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
34．
【分析】先作DE⊥x轴，设点A的坐标，可表示AC，OC，再根据，表示出EO，然后根据四边形AOFC是平行四边形，得FO，∠A=∠CFO=∠DFE，可知EF，再表示出DE，最后根据三角函数值相等求出答案．
【详解】如图，过点D作DE⊥x轴于点E．
设点，则，．
∵，
∴，
解得EO=-4a．
由题意可知四边形AOFC是平行四边形，
∴FO=-a，∠A=∠CFO=∠DFE，
∴EF=-3a．
令x=-4a，得，
∴．
∴，
即，
解得k=-12．
故答案为：-12．
【点睛】这是一道反比例函数的综合应用问题，考查了求反比例函数的关系式，平行四边形的性质和判定，锐角三角函数等知识，构造直角三角形是解题的关键．
35．2+3
【分析】利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值
【详解】解：原式＝
＝
＝2+3．
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
36．＋
【分析】先代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算即可．
【详解】解：原式＝2×＋×＋×－1
＝＋＋－1
＝＋
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数以及实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
37．(1)1.2或3
(2)存在，或4
【分析】（1）当APQ为直角三角形时，∠A=60度，所以可能只有∠APQ=90°或∠AQP=90°，当∠APQ=90°时，∠AQP=30°，AP=AQ，求出t=1.2秒；当∠AQP=90°时，∠APQ=30°，AQ=AP，求得t=3秒；
（2）当点P在AC上时，边AQ=6-t，算出AQ上的高PD=，即可写出（6-）●=，求得t=3-；当点P在BC上时，算出AQ边上的高PF=，即可写出（6-）●=，求得t=4．
【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA=6，∠A=∠B=∠C=60°，
当点P在边AC上时，由题意知，AP=2，AQ=6-，
当∠APQ=90°时，AP=AQ，即2=（6-），解得=1.2，
当∠AQP=90°时，AQ=AP，即6-=×2，解得=3，
所以，点P在边AC上，当为1.2s或3s时，△APQ为直角三角形；
（2）存在
①当点P在边AC上时，此时0≤≤3，
过点P作PD⊥AB于点D，
在Rt△APD中，∠A=60°，AP=2，
∴sinA=，即sin60°==，
∴PD=，S△APQ=AQ●PD=（6-）●，
由（6-）●=，得（不合题意，舍去），；
②当点P在边BC上时，此时3≤≤6，
如图，过点P作PF⊥AB于点F，
在Rt△BPF中，∠B=60°，BP=12-2，
∴sinB=，即sin60°==，
∴PF=，S△APQ=AQ●PF=（6-）●，
由（6-）●=得
因此，当t为s或4s时，△APQ的面积为．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的存在性和三角形的面积的存在性，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形的直角三个角都有可能，要分类讨论；面积是同一个值的三角形不可能只有一个，全面考虑，分类讨论．
答案第1页，共2页
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