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第16讲 由三角函数值求锐角
第7章 锐角三角函数
7.4由三角函数值求锐角
课程标准 课标解读
1、会根据锐角的三角函数值，利用科学计算器求锐角的大小． 2、1．会根据锐角的三角函数值，利用科学计算器求锐角的大小． 1、能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题． 2、 进一步体会锐角三角函数的意义．
知识点 锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
1．互余关系：，；
2．平方关系：；
3．倒数关系：或；
4．商数关系：．
【微点拨】锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【即学即练1】
1．已知∠A，∠B均为锐角，且cosA＝，sinB＝，则下列结论中正确的是（ ）
A．∠A＝∠B＝60° B．∠A＝∠B＝30°
C．∠A＝30°，∠B＝60° D．∠A＝60°，∠B＝30°
【即学即练2】
2．若，则ABC的形状是（ ）
A．含有60°直角三角形 B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形
考法01 根据特殊角三角函数值求角的度数
【典例1】
3．如图，将矩形绕点A旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与点重合，交于点．若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
考法02 利用同角三角函数的关系求值
【典例2】
4．如图，平面直角坐标系中，四边形的边在轴正半轴上，轴，，点，连接，以为对称轴将翻折到，反比例函数的图象恰好经过点、，则的值是（ ）
A． B． C． D．
题组A 基础过关练
5．已知，则锐角α的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
6．在△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=1，则∠A的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．若某斜面的坡度为，则该坡面的坡角的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且，，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
9．已知，则锐角的取值是（ ）
A． B． C． D．
10．在中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如果，那么锐角的度数为 °．
12．比较大小：sin50° sin60°（填“＞”或“＜”）．
13．若为锐角，已知，那么 °．
14．如果是锐角，且，那么 度
题组B 能力提升练
15．下列说法正确的是（　　）
A．若|a|＝a，则a＞0
B．若，则锐角∠A＝60°
C．矩形的对角线互相垂直平分
D．菱形的面积等于对角线的乘积
16．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB-）（2sinA-）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．至少一个角是60°的三角形
17．如图，在中，弦AB垂直平分半径OC，D为垂足，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，梯子，，两梯脚之间的距离BC的长为d．则d与l的关系式为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，在矩形按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点；③连接，．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，在矩形ABCD中，，，点E是CD边上一点，连接BE，将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
21．在△ABC中，，则∠C= ．
22．在中，，a，b，c分别是的对边．已知，那么 ．
23．如图，已知直线l：y=x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，……；按此作法继续下去，则点M2020的坐标为 ．
24．计算：
(1)cos30°+sin45°；
(2)；
(3)已知：中，，tanA=2，求的值．
题组C 培优拔尖练
25．如图，是的外接圆，为直径，交于点E，若点C为半圆的中点，弦，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，射线互相垂直，，点B位于射线的上方，且在线段的垂直平分线l上，连接，．将线段绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离是（ ）
A． B． C．4 D．
27．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（ ）
A． B． C． D．
28．阅读材料：一般地，当为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：：根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，AB是直径，，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，AD是半圆弧的，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．1
29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2CB＝4.以点B为圆心、适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点F，作射线BF；分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于G，H两点，作直线GH交BF于点J，交AB于点K，则△JKB的面积是（ ）
A．2 B．1 C． D．
30．如图，在等腰梯形中，，，直角三角板含角的顶点在边上移动，一直角边始终经过点，斜边与所在的直线交于点．若为等腰三角形，则的长等于 ．
31．已知是关于的方程的一个实数根，则锐角的度数为 ．
32．如图，在中，，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为 ．
33．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC平分∠DAB，于点D，E是AB延长线上一点．
(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若，，⊙O的半径为，求线段CE的长．
34．如图，已知是的外接圆，，．
(1)求的正弦值；
(2)求弦的长．
35．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为．
(1)如图①，当时，求点的坐标；
(2)如图②，当点落在轴的正半轴上时，与交于点求点的坐标；
(3)将矩形旋转一周，求边扫过的面积S（直接写出结果即可）．
36．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示）
②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）
（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）
②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵∠A，∠B均为锐角，cosA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=30°．
故选D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
2．A
【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解∶∵，
∴，
解得：，
∴，
∴∠C=90°，
∴ABC是含有60°直角三角形．
故选：A
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
3．B
【分析】先由旋转的性质及直角三角形的性质求出，进而可算出、，再算出的面积．
【详解】解：由旋转的性质可知：，
为的中点，
，
是矩形，
，，，
∴，
，
，
，
根据旋转可知，，
，
∴，
，
，
，，
∴，
，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数，三角形面积计算等知识点，熟练掌握旋转的性质是解答的关键．
4．D
【分析】过点作轴于，过点作轴于，连接交射线于，过作轴于，根据勾股定理求出OC，根据三角函数用k表示出，，，根据平行线分线段成比例定理，得出，用k表示出点的值，即可求出k的值．
【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，连接交射线于，过作轴于，如图所示：
设，
在中，，，，
∴，
由翻折得，，，
∴，
∴，
，，
，
，
∴，
，
∴，
轴，轴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合问题，平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角函数解直角三角形，作出辅助线，设，用k表示出点的坐标，是解题的关键．
5．A
【分析】根据得到即可求解．
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．
6．B
【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=，BC=1，
∴sinA=，
∴∠A=45°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
7．A
【分析】斜面的坡度值等于正切值，由特殊角的三角函数值可得到答案．
【详解】解：设该坡面的坡角的度数为，
∵斜面的坡度为，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值和正切的概念，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．C
【分析】利用特殊角的三角函数值得出∠A及∠C的度数，继而可判断△ABC的形状．
【详解】解：由题意得，，，
故∠A=60°，∠C=60°，
故可得∠B=60°，
故△ABC是等边三角形．
故选：C．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值，难度一般．
9．B
【分析】根据tan45°＝1解答即可．
【详解】解：∵tan＝1，为锐角，
又∵tan45°＝1，
∴∠＝45°，故B正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查特殊角的三角函数值，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
10．B
【分析】利用三角函数的定义解答即可．
【详解】因为∠ACB=90°，CD⊥AB，
所以，
故选 B．
【点睛】此题考查三角函数的问题，关键是利用三角函数的定义解答．
11．30
【分析】根据特殊角的三角函数值可直接得出答案
【详解】解：∵，
∴锐角A的度数为30°，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键．
12．＜
【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵50°＜60°，而锐角正弦值随着角度的增大而增大，
∴sin50°＜sin60°，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大是正确判断的前提．
13．60
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：由为锐角，且，那么等于，
故填：60．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
14．48
【分析】根据锐角三角函数关系：，即可求解．
【详解】∵是锐角，，
又∵，
∴48°．
故答案是48．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的关系，掌握，是解题的关键．
15．B
【分析】A．根据绝对值的性质判断即可；
B．根据特殊角的三角函数值判断即可；
C．根据矩形的性质判断即可；
D．根据菱形的面积的计算方法判定即可．
【详解】A、当|a|＝a时，a≥0，故选项A错误，不符合题意；
B、∵，
∴锐角∠A＝60°，故选项B正确，符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，故选项C错误，不符合题意；
D、菱形的面积等于对角线的乘积的一半，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，矩形的性质，菱形面积的计算方法．熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．D
【分析】根据题意得或，即或 ，根据、均为锐角得或，分类讨论即可得．
【详解】解：∵，
∴或，
即或 ，
∵、均为锐角，
∴或，
即当或时，满足，此时三角形是有一个角是60°的三角形；当且时，满足，此时三角形为等边三角形，
综上，一定是有一个角是60°的三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用锐角三角函数求角度，三角形的判定，解题的关键是分类讨论．
17．D
【分析】连接，，根据，可得，进而求得，根据垂径定理可得，进而根据，求得，根据弧长公式即可求解．
【详解】如图，连接，
∵弦AB垂直平分半径OC，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D
【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，弧长公式，垂径定理，求得半径是解题的关键．
18．B
【分析】根据锐角三角函数值即可求解；
【详解】解，如图
∵，
∴
∴
∴
故选：B
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．
19．D
【分析】利用ED、CD的长度在Rt△ECD中求出∠DEC=60°，即有∠EAC+∠ECA=∠DEC=60°，再根据MN是线段AC的垂直平分线，得出AE=EC，继而得出∠EAC=∠ECA，则有∠EAC=30°，再根据，得到∠EAC=∠ACB，即有∠ACB=30°．
【详解】在Rt△ECD中，tan∠ECD=，
∴∠ECD=30°，
又∵∠EDC=90°，
∴∠DEC=60°，
∴∠EAC+∠ECA=∠DEC=60°，
据图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠EAC=30°，
在矩形ABCD中，，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠ACB=30°．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、用锐角三角函数解直角三角形等知识，利用三角函数解出∠DEC是解答本题的关键．
20．A
【分析】根据折叠的性质即可判断A、B；利用勾股定理求出AF即可判断C；求出即可判断D．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=∠A=90°，
由折叠的性质可知BF=BC=10，EF=EC，∠BFE=∠C=90°，故B选项不符合题意；
在△DEF中，∠D=90°，EF是斜边，即EF＞DE，
∴CE＞DE，故A选项符合题意；
在Rt△ABF中，，，
∴∠AFB=30°，
故C、D选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，根据特殊角三角函数值求角的度数等，正确理解矩形与折叠的性质是解题的关键．
21．75°##75度
【分析】根据非负数的性质，可得特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：∵
∴，
∴
∴
故答案为：75°
【点睛】本题考查了非负数的性质，利用非负数的性质得出特殊角三角函数值是解题关键．
22．##45度
【分析】先画出图形，再求出的余弦值即可得．
【详解】解：由题意，画图如下：
在中，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由三角函数值求角的度数，熟练掌握余弦的求法是解题关键．
23．（24041，0）
【分析】根据直线l的解析式求出∠MON=60°，从而得到∠MNO=∠OM1N=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OM1=22 OM，然后表示出OMn与OM的关系，再根据点Mn在x轴上写出坐标即可．
【详解】解：∵直线l：y=x，M（2，0），NM⊥x轴，
∴点N的横坐标为2，
∴点N的纵坐标为2，
在Rt△OMN中，OM=2，MN=2，
∴tan∠MON==，
∴∠MON=60°，
∵NM⊥x轴，M1N⊥直线l，
∴∠MNO=∠OM1N=90°-60°=30°，
∴ON=2OM，OM1=2ON=4OM=22 OM，
同理，OM2=22 OM1=（22）2 OM，
…，
OMn=（22）n OM=22n 2=22n+1，
所以，点Mn的坐标为（22n+1，0）．
∴M2020的坐标为（24041，0）．
故答案为：（24041，0）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出变化规律是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解；
（2）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解；
（3）分子分母同时除以原式可变形为，再把tanA=2代入，即可求解．
【详解】（1）解：cos30°+sin45°
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，同角三角函数关系，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
25．D
【分析】利用锐角三角函数值可求出，及利用点C为半圆的中点，求出，即可得出的度数．
【详解】∵为直径，
∴，
在中，
∴．
∵点C为半圆的中点，
∴，
∴．
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了圆的基本性质、利用锐角三角函数求特殊角的度数，熟练运用圆的基本性质是解题的关键．
26．A
【分析】添加辅助线，连接，，过点作交ON与点P．根据旋转的性质，得到，在和中，，根据三角函数和已知线段的长度求出点到射线的距离．
【详解】解：如图所示，连接，，过点作交ON与点P．
∵线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，
∴，，
∴，
即，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴， ，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
27．C
【分析】根据锐角三角函数求得到∠AEB＝30°，则∠CBE＝30°，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，
∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC，
∵ sin∠AEB＝，
∴∠AEB＝30°，
∴∠CBE＝∠AEB＝30°，
∴S扇形EBC＝＝12π（cm2），
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
28．D
【分析】连结OD、过点D作DF⊥AC于F，根据是半圆弧的，求出∠AOD=60°，再求∠DOC=90°-∠AOD=30°，根据，求出OD=OC=OA=，利用三角函数ADsin∠DAF=CDsin30°求解即可．
【详解】解：连结OD、OC，过点D作DF⊥AC于F，
∵是半圆弧的，
∴∠AOD=60°，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠DAO=60°，AD=OA，
∵点C在半圆弧的中点处，
∴=半圆弧的一半，
∴∠CAO=45°，
∵，
∴AD=OA=，
∵∠DAF=∠DAO-∠CAO=60°-45°=15°，∠DCA==30°，
∴DF=ADsin∠DAF=CDsin30°，
∴CD=2ADsin15°=2（）（sin60°cos45°-cos60°sin45°）=2×=1．
故选择：D．
【点睛】本题考查弧与圆心角，圆周角的关系，等边三角形判定与性质，锐角三角函数，掌握弧与圆心角，圆周角的关系，等边三角形判定与性质，锐角三角函数是解题关键．
29．D
【分析】如图，过点K作KH⊥BJ于H，设KJ交AC于W．解直角三角形求出BJ，KH，可得结论．
【详解】如图，过点K作KH⊥BJ于H，设KJ交AC于W，
∵∠C=90°，AB=2BC，
∴，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，
由作图可知，BJ平分∠ABC，KJ垂直平分线段AC，
∴∠KBJ=∠CBJ=∠ABC=30°，AW=WC，
∵WK∥BC，
∴AK=KB=2，∠KJB=∠CBJ=30°，
∴HK=KB=1，BH=KH=，
∵∠KBJ=∠KJB=30°，
∴KB=KJ，
∵KH⊥BJ，
∴HB=HJ=2，
∴S△KBJ=×2×1=，
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图、角平分线的定义、线段的垂直平分线的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
30．或
【分析】分三种情况进行讨论，当时，过作于，根据等腰梯形的性质求出和，由勾股定理求出，进一步求出，根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理求出，根据勾股定理求出即可；当时，由勾股定理求出，进一步求出，根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理求出，由勾股定理求出即可；根据三角形的内角和定理求出、，进一步求出，求出即可．
【详解】解：有三种情况：
当时，过作于，如图①所示：
∵，
，
∵AE=BE，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DH⊥BC，
∴，
∴四边形ADHE为矩形，
∴EH=AD=，DH=AE，
四边形是等腰梯形，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∵，
，
，
∴；
当时，如图所示：
由勾股定理求得：，
，
同理可得，，
由勾股定理得：；
当时，如图所示：
，
，
，
，
；
综上分析可知，CF的长为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等腰梯形的性质，勾股定理，三角函数的应用，三角形的内角和定理，注意进行分类讨论，根据题意画出图形，求出的长，是解此题的关键．
31．45°##45度
【分析】直接把代入，即可求出答案．
【详解】解：∵是关于的方程的一个实数根，
∴把代入，则
，
∴，
∴；
故答案为：45°
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，特殊角的锐角三角函数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
32．
【分析】设直线AO交于M点（M在O点右边），当与AB、BC相切时，AM即为点到上的点的最大距离．
【详解】设直线AO交于M点（M在O点右边），则点到上的点的距离的最大值为AM的长度
当与AB、BC相切时，AM最长
设切点分别为D、F，连接OB，如图
∵，，
∴，
∴
∵与AB、BC相切
∴
∵的半径为1
∴
∴
∴
∴
∴
∴点到上的点的距离的最大值为．
【点睛】本题考查切线的性质、特殊角度三角函数值、勾股定理，解题的关键是确定点到上的点的最大距离的图形．
33．(1)CD与⊙O相切于点C；理由见解析
(2)
【分析】（1）连接OC，利用等腰三角形的性质和角平分线的性质得到∠ACO＝∠DAC，得到，则利用平行线的性质得出OC⊥CD，然后根据切线的判定定理可判断CD为⊙O的切线；
（2）作OM⊥CE于点M，由知∠EOC＝∠DAO＝105°，结合∠E＝30°可得∠OCE＝45°，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CM＝OM，由得出CM＝OM＝2，在Rt△OME中，由∠E＝30°可得答案．
【详解】（1）解：CD与⊙O相切于点C，理由如下：
连接OC， 如图所示：
∵AO＝CO，
∴∠ACO＝∠CAO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠ACO＝∠DAC，
∴，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD与⊙O相切于点C．
（2）解：作于点M，如图所示：
∵∠DAB＝105°，，
∴∠COE＝∠DAB=105°，
∵∠E＝30°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质，三角形函数的应用，熟练掌握平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质，是解题的关键．
34．(1)
(2)
【分析】（1）过点作，垂足为点；根据圆的性质，即可求的正弦值；
（2）过点作，垂足为点；由圆的性质得，延长交于点，，，根据即可求弦的长；
【详解】（1）解：（1）过点作，垂足为点．
，，
，
，
，
在中，
．
（2）过点作，垂足为点．
，
，
延长交于点．
，，
在中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查圆的性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题的关键．
35．(1)点的坐标为
(2)点的坐标为
(3)边AB扫过的面积S为
【分析】（1）作DG⊥轴于G，利用特殊角的三角函数值求得DG、OG的长，即可求解；
（2）先求得∠EOD=30，在Rt△CMO中，利用特殊角的三角函数值即可求解；
（3）根据题意知，边AB扫过的面是一个同心圆环，根据圆的面积公式求解即可．
【详解】（1）∵点A（，0），点C（0，1），
∴OA=，OC=1，
∵四边形OABC是矩形，
∴B（，1），
过D作DG⊥轴于G，
在Rt△ODG中，∠DOG=30，
∴，，
∵，
∴，，
∴点D的坐标为：；
（2）在Rt△EDO中，ED=1，OD=，
∴OE==2，
∴∠EOD=30，
在Rt△CMO中，∠COM=30，CO=1，
∴，
∴点M的坐标为：；
（3）根据题意知，边AB扫过的面是一个同心圆环，
，，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、旋转变换的性质、特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线．
36．（1），1；（2）①；②；（3）①；②见解析．
【分析】（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可；
（2）①先求得边长为的正的面积，再根据解题即可；②设点为正五边形的中心，连接，，过作于，先由正切定义，解得的长，由①中结论知，，继而得到，据此解题；
（3）①由切线性质解得，再由平行线性质及等腰三角形性质解得，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接，过点作交的延长线于点，根据，据此解题．
【详解】解：（1）直角三角形的面积为：，
直角三角形斜边为：，
设直角三角形斜边上的高为，则
设直角三角形内切圆的半径为，则
，
故答案为：，1；
（2）①边长为的正底边的高为，面积为：
，
故答案为：；
②类比①中方法可知，
设点为正五边形的中心，连接，，
由①得，
过作于，，
故，，
故，从而得到：
．
（3）①是的切线，
过点作
，
是的高，
故答案为：；
②如图，连接，过点作交的延长线于点，则点即为所求，
连接，∵，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正多边形和圆的知识，涉及含30°角的直角三角形、正切、切线的性质、扇形面积公式、平行线的性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
答案第1页，共2页
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