资源简介

1.1 等腰三角形（第3课时 等腰三角形的判定与反证法）
教学目标
1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
2.理解反证法的基本证题思路，培养学生的逆向思维能力，并能简单应用．
教学重点难点
重点：掌握等腰三角形的判定定理．
难点：利用反证法进行证明．
教学过程
复习回顾
等腰三角形有哪些性质？
1.等腰三角形的两底角相等（简写成 “等边对等角”）.
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（ 简写成“三线合一” ）.
探究新知
一、预习新知
（阅读教材P8～P9的内容，回答下面问题）
1．有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为等角对等边．
2．先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
二、合作探究
问题1 前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗
已知：在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC．
【探索】只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了. 比如作BC的中线，或作角A的平分线，或作BC边上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．
【互动】学生完成证明过程，老师进行指导点评.
【总结】定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为等角对等边.
例题讲解
例1 已知：如图所示，AB=DC,BD=CA.
求证：△AED是等腰三角形.
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS).
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）.
∴AE=DE(等角对等边）.
∴ △AED是等腰三角形.
问题2 小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
小明是这样想的：
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”可得∠C=∠B，这与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC.
【互动】你能理解他的推理过程吗
问题3 上面小明证明问题的方法与以前的有什么不同？他的证明思路是怎样的？
【总结】（学生表述，老师引导点评）小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
反证法是一种重要的数学证明方法，在解决某些问题时常常会有出人意料的效果.
例题讲解
例2 用反证法证明：一个三角形不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，
不妨设∠A和∠B是直角，
即∠A=90，∠B=90 ，
于是 ∠A+∠B+∠C=90+90+∠C＞180.
这与三角形的内角和定理矛盾，
因此，“∠A和∠B是直角”的假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
【总结】用反证法证题的一般步骤：
1.假设， 先假设命题的结论不成立；
2.归谬，从这个假设出发,应用正确的推理方法,得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；
3.结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
三、新知应用
例3 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F.求证：△CEF是等腰三角形．
【探索】(引发学生思考)要证△CEF是等腰三角形，结合已知条件考虑证明CE＝CF即可．
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90，∴∠B＋∠BAC＝90.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90，∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC.
又∵∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，∴ CE＝CF，∴ △CEF是等腰三角形．
【总结】(学生总结，老师点评)“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
例4 求证：△ABC中不能有两个钝角．
证明：假设△ABC中能有两个钝角，不妨设∠A＜90，∠B＞90，∠C＞90，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180，
这与三角形的内角和等于180矛盾，所以假设不成立.
因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角．
课堂练习
1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60”时，首先应假设这个三角形中(　　)
A．有一个内角大于60
B．有一个内角小于60
C．每一个内角都大于60
D．每一个内角都小于60
2．如图所示，在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，则图中的等腰三角形有(　　)
A．1个　B．2个　　C．3个　D．4个
第2题图 第3题图
3．如图所示，在△ABC中，∠A＝36，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连结DE，则图中的等腰三角形共有(　　)
A．2个　B．3个　　C．4个　D．5个
4．用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的第一步是假设 ．
5．用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角．
6.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形.
(2)当∠A＝50时，求∠DEF的度数．
参考答案
1.C 2.D 3.D
4.三角形的三个外角中，有两个锐角
5.证明：不妨设等腰三角形ABC中，∠A为顶角，则分情况证明．①设∠B，∠C都是直角，则∠B＋∠C＝180，故∠A＋∠B＋∠C＝180＋∠A＞180，这与三角形的内角和等于180矛盾；②设∠B，∠C都是钝角，则∠B＋∠C＞180，故∠A＋∠B＋∠C＞180，这与三角形的内角和等于180矛盾．综上所述，假设①②错误，所以∠B，∠C只能为锐角，即等腰三角形的底角必为锐角．
6.(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵ ∴△BDE≌△CEF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形．
(2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50，AB＝AC，∴∠B＝×(180－∠A)＝65，∴∠DEF＝65.
课堂小结
(学生总结，老师点评)
1.定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形,简述为等角对等边.
2.反证法的步骤：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．
布置作业
请完成教材习题1.3
板书设计
1　等腰三角形
第3课时　等腰三角形的判定与反证法
1.定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为等角对等边.
2.反证法的步骤：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立.
例3 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F.求证：△CEF是等腰三角形．

展开更多......

收起↑