资源简介

1.2 直角三角形（第1课时 直角三角形的性质与判定）
教学目标
1.掌握勾股定理及其逆定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题．
2.证明直角三角形的性质定理与判定定理.
3.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立．
教学重点难点
重点：掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)及判定定理的证明方法．
难点：运用定理解决与直角三角形有关的问题．
教学过程
新课导入
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？
探究新知
一、预习新知
（阅读教材P14～P16的内容，回答下面问题）
1.直角三角形的性质与判定
①直角三角形的两个锐角互余．反之，有两个角互余的三角形是直角三角形．
②勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
③如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
2.命题、逆命题、互逆定理
①在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
②如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理．
二、合作探究
问题1 直角三角形的两锐角有什么关系？
【互动】三角形的内角和定理是怎样的？
【探究】已知在直角△ABC中，∠C＝90.由三角形的内角和定理可知∠A+∠B+∠C=180，所以∠A+∠B=180-∠C=90.
【总结】定理：直角三角形的两锐角互余.
【追问】一个三角形有两锐角互余，这个三角形是什么三角形？
【探究】已知在△ABC中，∠A+∠B=90，结合三角形的内角和定理我们可以得到∠C=180-（∠A+∠B）=90，所以这个三角形是直角三角形.
【总结】定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
问题2 直角三角形的三边之间的关系
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
【互动】反过来，如果一个三角形的三边满足其中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是什么三角形呢？
【探究】已知：如图，在△ABC中， AB2+AC2=BC2.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：如图，作Rt△A′B′C′,使∠A′=90，A′B′=AB,A′C′=AC,A′B′2+ A′C′2=B′C′2（勾股定理）.
∵AB2+AC2=BC2 ,
∴BC2=B′C′2.
∴BC=B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠A==∠A′=90(全等三角形的对应角相等).
∴ △ABC是直角三角形.
【总结】定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
问题3 互逆命题
【互动】观察下面各组内的两个定理条件和结论之间有什么关系？
（1）直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形．
（2）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【探究】观察发现，每组内的两个定理，其中一个定理的条件和结论分别是另一个定理的结论和条件.
【总结】在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
【互动】请写出下面两个命题的逆命题，并判断是不是真命题？
1.如果两个角是对顶角，那么它们相等；
2.一个三角形中相等的边所对的角相等.
逆命题分别是
如果两个角相等，那么它们是对顶角；假命题.
一个三角形中相等的角所对的边相等；真命题.
【总结】在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
三、新知应用
例1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AB＝13 cm，BC＝5 cm，CD⊥AB于点D.求：
(1)AC的长.
(2)△ABC的面积.
(3)CD的长．
【分析】观察图形与已知条件，利用勾股定理求AC的长，利用三角形的面积公式计算△ABC的面积，利用等面积法求CD的长．
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90，AB＝13 cm，BC＝5 cm，
∴AC＝＝12 cm.
(2)S△ABC＝CB·AC＝×5×12＝30（cm2）.
(3)∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，
∴CD＝＝＝( cm).
【总结】解此类题，一般是先利用勾股定理求出第三边，利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．
例2 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60的三角形是等边三角形．
解：(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行． 真命题．
(2)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线． 真命题．
(3)逆命题：内错角相等． 假命题．
(4)逆命题：等边三角形有一个角是60. 真命题．
课堂练习
1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　 　)
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝∠B＝3∠C
2．下列线段a∶b∶c的值，能够组成直角三角形的是（ ）
A.3∶4∶6 B.5∶12∶13
C.1∶2∶4 D.1∶3∶5
命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是 ．
4．如图，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝AD，求证：CE⊥EF.
5．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．
(1)求证：∠ACD＝∠B.
(2)若AC＝3，BC＝4，AB＝5，求CD的长．
参考答案
1.D
2.B
3.周长相等的三角形是全等三角形
4.证明：如题图，连结CF，设正方形的边长为4.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4. ∵点E为AB的中点，AF＝AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3，∴由勾股定理，得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∴EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90，即CE⊥EF.
5.(1)证明：∵CD是Rt△ABC斜边上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝90，∴∠A＋∠ACD＝∠A＋∠B＝90，∴∠ACD＝∠B.
(2)解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，∴5CD＝3×4，∴CD＝.
课堂小结
1．直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)．
2．直角三角形的判定
有两个角互余的三角形是直角三角形.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
3．逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
4．如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理．
布置作业
请完成教材习题1.5
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2　直角三角形
第1课时　直角三角形的性质与判定
1.直角三角形的性质.
2.直角三角形的判定.
3.逆命题.
例1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AB＝13 cm，BC＝5 cm，CD⊥AB于点D.求：
(1)AC的长.
(2)△ABC的面积.
(3)CD的长．

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