资源简介

1.3 线段的垂直平分线（第1课时 线段垂直平分线的性质定理和判定定理）
教学目标
1.线段的垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题．
2.探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力，丰富对几何图形的认识．
教学重点难点
重点：掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理．
难点：证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理．
教学过程
导入新课
【问题】如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？如何准确地做出呢？这就是我们本节课要学习的知识.
【思考】（激发学生思考）我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗
探究新知
【互动】试写出整个结论的已知和求证.
【互动】（小组讨论）教师引导学生写出证明过程.
已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点. 求证：PA=PB．
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90.
∵AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS），
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．
【互动】（学生动脑）同学们，证明了这一结论的正确性，那么下面我们试写出该定理的文字语言和符号语言.
文字语言：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
符号语言：
如图，∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA=PB.
【总结】（教师归纳）这个结论是用来证明两条线段相等的根据之一.
【探究】（小组讨论） 加深对性质定理的理解.
【例题】如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，点C为垂足，请问在图形
中哪些线段相等？
答案：PA=PB，AC=BC.
【探究】（小组合作，老师指导）我们前面学习命题的逆命题，你能写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题吗？
逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【思考】（引发学生思考）你能判断它的真假吗？如果是真命题，请给出证明过程．
【探究】（师生互动）已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：点P在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为点C，
∵PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL），
∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．
【思考】（激发学生思考）你还有其他的证明方法吗？
证明：把线段AB的中点记为C,连接PC.
∵C为AB的中点，
∴AC=BC.
∵PA=PB,PC=PC，
∴△APC≌△BPC(SSS)，
∴∠PCA=∠PCB=90，
∴PC⊥AB， 即点P在AB的垂直平分线上.
【总结】判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
符号语言：
如图,∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
【总结】(学生总结，老师点评) 这个结论是用来证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一．
课堂练习
1. 如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED= cm；如果∠ECD=60 ，那么∠EDC= ．
2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
提示：△BCE的周长等于哪些线段的和？利用线段垂直平分线的性质可以将△BCE的周长转化为哪些线段的和(差)关系？
3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点. 求证：PB=PC.
参考答案
1. 7 60
2.解：∵DE为AB的垂直平分线，∴AE=BE.
∵△BCE的周长等于50，
∴BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50，
∴AC+BC=50.
∵AC=27，∴BC=23.
【总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
3.证明：连接BC（图略）.∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上.
∵BD=CD，
∴ 点D在线段BC的垂直平分线上.
∴ AD是线段BC的垂直平分线.
∵P是AD上一点，
∴PB=PC.
课堂小结
1.线段垂直平分线的定理及证明.
2.线段垂直平分线的逆定理及证明.
3.两个定理之间的区别与联系.
布置作业
教材习题1.7 题1、题2.
板书设计
3 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质定理和判定定理
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
符号语言：
∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA=PB.
提示：经常用来证明两条线段相等.
例
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
提示：经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）.

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