资源简介

1.4 角平分线（第2课时 三角形三个内角的平分线）
教学目标
1．在角平分线的基础上归纳出三角形三个内角的平分线的相关性质．
2．能够运用三角形三个内角的平分线的性质解决实际问题．
3．提高学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力．
教学重点难点
重点：在角平分线的基础上归纳出三角形三个内角的平分线的相关性质．
难点：能够运用三角形三个内角的平分线的性质解决实际问题．
教学过程
导入新课
【问题】在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB，BC，CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
探究新知
【活动】活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
【互动】（小组讨论作图，教师引导总结结论）
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
【活动】活动2 （学生动手作图，发现结论）分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
【探究】（小组讨论）剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？
结论：三角形三个角的平分线相交于一点,且到三边的距离相等.
【思考】（小组合作，老师指导）要证明这个结论，该如何设计证明思路呢
要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.
【互动】（引发学生思考，老师指导）试写出证明过程．
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：点P在∠A的平分线上，且点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
由PD=PF，可得点P在∠A的平分线上.
【探究】（师生互动）下面我们用学得的这个结论，解决下面的例题.
【例题】如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,OM＝4.
(1)求点O到△ABC三边的距离和；
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
【思考】（激发学生思考）先分析第（1）小题.
由三角形三个角的平分线相交于一点,且到三边的距离相等知，点O到△ABC三边的距离和为3OM=12.
【探究】（学生小组讨论）第（2）小题，直角△ABC的两直角边的长未知，周长已知，如何利用条件求△ABC的面积？
用面积分割法来解答：
解：如图，连接OC，过点O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为N，E，
则S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB
=AC·OM+BC·ON+AB·OE
=OM·(AC+BC+AB)
=×4×32=64.
【总结】(学生总结，老师点评)三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中会经常用到．
课堂练习
1. 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
2. 已知： OE平分∠AOB，P为OE上一点，PC⊥OA于C，且PC=5，则P点到OB的距离为_____.
3．已知：如图，在直角三角形ACB中，∠ACB=90，∠B=40，AD平分∠CAB交BC于D点，则∠CAD =________.
4.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处 画出它的位置.
参考答案
1.A 2.5 3. 25°
4.解：有四处，如图所示.
课堂小结
(
性质：三角形的三条角平分线交
于一点，并且这一点到三条边的
距离相等
)
(
三角形内角平
分线的性质
)
(
应用：位置的选择问题
)
布置作业
教材习题1.10 题1、题2、题3.
板书设计
4 角平分线
第2课时 三角形三个内角的平分线
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
结论：三角形三个内角的平分线相交于一点,且到三边的距离相等.
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：点P在∠A的平分线上，且点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
由PD=PF，可得点P在∠A的平分线上.
例 如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,OM＝4.
(1)求点O到△ABC三边的距离和；
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.

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