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4.3 公式法（第1课时 运用平方差公式因式分解）
教学目标
1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；
2.掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式，培养学生多步骤分解因式的能力.
教学重点难点
重点：掌握运用平方差公式分解因式的方法.
难点：能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.
教学过程
复习巩固
1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.
2. 平方差公式：(a+b)( a-b)＝a2-b2.
导入新课
活动1（学生交流，教师点评）
【问题1】
填空：
（1）（x+5）（x-5） ＝ ；
（2）（3x+y）（3x-y）＝ ；
（3）（3m+2n）（3m–2n）＝ .
它们的结果有什么共同特征？
答案：（1）；
（2）9 –；
（3）9 –
学生：以上都是用平方差公式：(a+b)( a-b)＝a2-b2计算得出来的.
【问题2】根据问题1中等式填空：
（1）x2-25＝ ；
（2）9＝ ；
（3）9 -＝ .
答案：（1）（x+5）（x-5）
（2）（3x+y）（3x-y）；
（3）（3m+2n）（3m–2n）.
教师总结：公共特点：是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，等于这两个数（式）的平方差，反过来，两个数（式）的平方差就可以化成这两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积的形式，这种变形就是我们今天学习的内容，引出课题.
探究新知
探究点一　用平方差公式因式分解
(a+b)( a-b)＝a2-b2
反过来，a2-b2＝(a+b)( a-b).
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
【注意】公式中的既可以是单项式，也可以是多项式
活动2（学生交流，教师点评）
【问题3】（师生互动）
下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A.a2+(-b)2 　　　　　　　　　B.5m2-20mn
C.-x2-y2 　　　　　　　　　　D.-x2+9
解析：A中a2+(-b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2-20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中-x2-y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中-x2+9＝-x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确.故选D.
【方法总结】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.
【互动】(小组交流)
下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是 .(填序号)
x2+y2；②1-x2；③-x2-y2；④x2-xy.
答案：②.
活动3　小组讨论(师生互学)
【例1】因式分解：
(1)a4-b4；　(2)x3y2-xy4.
【探索思路】(引发学生思考)观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解.
解：(1) a4-b4＝＝.
(2) x3y2-xy4＝xy2(x2-y2)＝xy2(x+y)(x-y).
【总结】(学生总结，老师点评)因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.
【例2】 分解因式：
9(m+n)2-(m-n)2.
解：原式＝[3(m+n)]2-(m-n)2
＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
＝(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
＝(4m+2n)(2m+4n)
＝4(2m+n)(m+2n).
【总结】
1.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差的形式，那么就可以用平方差公式分解因式，将多项式分解成两个整式的和与差的积.
2.当多项式各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.
【注意】多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
【即学即练】 (学生独学)
因式分解：
(1)(a+b)2-4a2； (2) x4-y4.
解：(1) (a+b)2-4a2＝(a+b-2a)(a+b+2a)
＝(b-a)(3a+b)；
(2) x4-y4＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y).
活动4（合作探究，解决问题）
探究点二　用平方差公式因式分解解决综合问题.
（师生互动）
【例2】 248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.
【探索思路】被自然数整除的含义是什么？248-1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？
解：248-1＝(224+1)(224-1)＝(224+1)(212+1)(212-1)＝(224+1)(212+1)(26+1)(26-1).
∵26＝64，∴26-1＝63,26+1＝65，
∴这两个数是65和63.
【题后总结】(学生总结，老师点评)解决整除的基本思路就是将数化为整数乘积的形式，然后分析被哪些数整除.
活动5　 拓展延伸(学生对学)
【例3】利用因式分解计算：
(1)1012-992；
(2)5722×-4282×.
【探索思路】观察式子特点，用提公因式法和平方差公式进行因式分解.
解：(1)1012-992＝(101+99)(101-99)＝400.
(2)5722×-4282×＝(5722-4282)×＝(572+428)(572-428)×＝1000×144×＝36 000.
【题后总结】(学生总结，老师点评)对于一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，使运算简便.
【即学即练】 (学生独学)
求证：当n为整数时，多项式
(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.
证明：原式＝(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)＝4n·2＝8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.
课堂练习
1下列多项式中能用平方差公式因式分解的是( )
A.　　　　　　B.20mn
C.　　　　　　 D.9
2.因式分解(2x+3)2 -x2的结果是（　　）
A.3(x2+4x+3) B.3(x2+2x+3)
C.(3x+3)(x+3) D.3(x+1)(x+3)
3 若a+b＝3，a-b＝7，则b2-a2的值为（　　）
A.-21 B.21 C.-10 D.10
4.用平方差公式进行简便计算:
（1）38 -37 ；　　　　　（2）213 -87 ；
（3）229 -171 ；　　　　 （4）91×89.
5.已知x2-y2＝-1，x+y＝，求x-y的值.
6.已知4m+n＝40，2m-3n＝5.求(m+2n)2-(3m-n)2的值.
参考答案：
1.C　解析：A.中两项符号相同，不能用平方差公式因式分解，故A选项错误；B.20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式因式分解，故B选项错误；C.中两项符号相反，能用平方差公式因式分解，故C选项正确；
D.中，两项符号相同，不能用平方差公式因式分解，故D选项错误.选C.
2.D 解析：(2x+3)2 -x2＝(2x+3+x )（2x+3-x )＝(3x+3)（x+3)＝3(x+1)(x+3)
3.A　解析： b2-a2＝(b+a)(b-a)＝ 3×(7)＝21.
4.解：（1）38 37 ＝（38+37）（3837）＝75.
（2）213 -87 ＝(213+87)(213-87)＝300×126＝37800.
（3）229 -171 ＝（229+171）（229-171）
＝400×58＝23200.
（4）91×89＝（90+1）（901）
＝90 -1＝8100-1＝8099.
5.解：∵x2-y2＝(x+y)(x-y)＝-1，x+y＝，∴x-y＝-2.
6.解：原式＝(m+2n+3mn)(m+2n3m+n)
＝(4m+n)(3n2m)
＝ (4m+n)（2m3n).
当4m+n＝40，2m3n＝5时，
原式＝40×5＝200.
课堂小结
(学生总结，老师点评，当堂达标)
一、运用平方差公式因式分解：a2-b2＝(a+b)(a-b).
二、平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.
布置作业
教材第100页习题4.4
板书设计
3　公式法
第1课时　运用平方差公式因式分解
用平方差公式因式分解：
a2-b2＝(a+b)(a-b).
【问题1】　　　　　　　　　　　　　　
例1因式分解：
(1)a4-b4；　(2)x3y2-xy4.　　　　　　　　　
【问题2】　　　　　　　　　　　　　　
例2 248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.

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