资源简介

6.3 三角形的中位线
教学目标
1.理解三角形的中位线的定义.
2.理解并掌握三角形中位线的性质定理，能够应用这个定理解决有关的问题.
3.探索三角形中位线性质定理的证明过程，体会转化的思想方法，进一步发展学生操作、观察、归纳、推理的能力.
教学重点难点
重点：掌握中位线的定义以及中位线定理.
难点：三角形中位线的性质定理的证明.
教学过程
复习旧知
三角形的中线：三角形的一个顶点与它对边中点的连线叫做三角形的中线.
导入新课
活动1　动手操作（探究发现，教师点评）
【问题1】你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗
连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形
【结论】四个全等的三角形.
探究新知
【探究点一】三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
①如果D，E分别为AB，AC的中点,连接DE, 那么DE为△ABC的中位线.
②如果DE为△ABC的中位线，那么 D，E分别为AB，AC的中点.
活动2
【问题2】除此之外△ABC还有其它中位线吗 你会画吗 （展示图形）
【注意】任意一个三角形都有三条中位线.
【说明】若连接AF，则AF是△ABC的中线.
【问题3】（师生互动，教师点评）
请你说出三角形的中线和中位线的区别.
学生：中位线是两个中点的连线，而中线是一个顶点和对边中点的连线.
【探究点二】三角形中位线定理
活动3 （动手操作，小组讨论）
【问题4】你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
小明的做法：将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC面积相等的平行四边形DBCF.
【问题5】如图，DE是△ABC的中位线，你能猜出DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？能证明你的猜想吗？
猜想：DE∥BC，DE＝ BC.
【总结】
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线.那么DE∥BC ,DE＝BC.
【探究点三】三角形中位线定理的证明
【问题6】（动手操作，小组讨论）
已知：在△ABC中，DE是△ABC的中位线.
求证：DE∥BC ,DE＝BC.
证明:如图,延长DE至F,使EF＝DE,连接CF.
∵ AE＝CE, ∠AED＝∠CEF，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE(SAS) .
∴AD＝CF,∠A＝∠ECF.
∴CF∥AB.
∵AD＝BD,
∴BD＝CF.
∴四边形DBCF是平行四边形.
∴DF∥BC，DF＝BC.
∴DE∥BC，DE＝BC.
【例1】如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为(　　)
A. 　　 　　 B.3 　 　　　C.6 　　　 D.9
解析：∵D，E分别为AC，BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故选C.
答案：C
【即学即练】(小组交流)
如图，C，D分别为EA，EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为(　　)
A.80° 　　　　　 B.90°　　　　　 C.100° 　　　 D.110°
解析：∵C，D分别为EA，EB的中点，∴CD是三角形EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110，∠E＝30，∴∠ECD＝80，∴∠2＝80，故选A.
答案：A
【例2】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长.
【探索思路】(引发学生思考)要证MN为△BCD的中位线，应根据等腰三角形的“三线合一”，得到DM＝MC，即可解决问题.
解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，
∴AD＝AC＝3，DM＝CM.
∵BN＝CN，
∴MN为△BCD的中位线，
∴MN＝(5-3)＝1.
【方法总结】当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点.如已知一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点.
【即学即练】 (学生独学)
已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
（教师讲解规范证明过程）
证明:如图，连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴EF∥AC,EF＝AC.
HG∥AC,HG＝AC.
∴ EF∥HG, EF＝HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
课堂练习
1.如图所示，在△ABC中，点E，F分别为AB，AC的中点.若EF的长为2，则BC的长为( )
A.1　　　　　B.2　　　　　C.4　　　　　　D.8
2.如图所示，在△ABC中，已知AB8，∠C90°，∠A30°，DE是△ABC的中位线，则DE的长为( )
A.4　　　　　B.3　　　　　C.2　　　　　D.2
3.如图所示，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点.若OE
3 cm，则AB的长为( )
A.3 cm　　　　B.6 cm　　　　C.9 cm　　　　D.12 cm
4.如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF1.若∠AFC90°，则BC的长度为( )
A.12　　　　　　B.13　　　　　C.14　　　　　　D.15
5.直角三角形两条边长分别是6和8，则连接两条直角边中点的线段长是( )
A.3　　　　　　B.5　　　　　C.4或5　　　　　D.5或3
6.如图所示，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.求证：EF∥BC.
7.如图，E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于点O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论.
参考答案：
1.C　解析：∵ 点E，F分别为AB，AC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，∴ BC2EF224.故选C.
2.D　解析：∵ ∠C90°，∠A30°，AB8，∴ BCAB4.
又∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DEBC2.故选D.
3.B　解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OAOC.
又∵ 点E是BC的中点，∴ OE是△ABC的中位线.
∵ OE3 cm，∴ AB2OE236(cm).故选B.
4.C　解析：∵ ∠AFC90°，AECE，AC12，
∴ EFAC6，∴ DEDFEF167.
∵ D，E分别是AB，AC的中点，∴ DE为△ABC的中位线，
∴ BC2DE2714.故选C.
5.C　解析：分两种情况：
①当8是直角边长时，如图(1)所示，
在Rt△ABC中，∠C90°，AC6，BC8，
根据勾股定理知，
AB10.
∵ 点E，F分别是直角边AC，BC的中点，
∴ EF是Rt△ABC的中位线，
∴ EFAB105.
图(1)
②当8是斜边长时，如图(2)所示，
在Rt△ABC中，∠C90°，AB8.
又∵ 点E，F分别是直角边AC，BC的中点，
∴ EF是Rt△ABC的中位线，
∴ EF4.
综上可知，连接两条直角边中点的线段长是5或4.故选C.
图(2)
6.证明：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，∴CF是△ACD的中线，∴点F是AD的中点.∵点E是AB的中点，∴EF∥BD，即EF∥BC.
7.解：AB∥OF，AB＝2OF.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OA＝OC.
∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.
∵CE＝DC, CD＝AB，∴AB＝CE.
在△ABF和△ECF中，
∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.
∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，
∴AB∥OF，AB＝2OF.
课堂小结
1.三角形的中位线
连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
布置作业
完成教材习题6.6.
板书设计
3　三角形的中位线
1.三角形的中位线的定义.
2.三角形中位线定理.
3.三角形中位线定理的证明.

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